Figury symetryczne względem punktu

Jest spora szansa że w domu posiadasz przedmiot który od razu kojarzy się z tematem dzisiejszej lekcji czyli symetrią względem punktu. To koronkowa serwetka. Zwróciłeś kiedyś uwagę na pewną regularność jej kształtu? Dzisiaj się tym zajmiemy. Nasze rozważania pozostaną na razie przy zastawie kuchennej. Zobacz. Na planszy masz klasyczny rodzaj papierowej serwetki. W jej rogach umieszczone są zdobienia. Tutaj w kształcie liścia. Zauważ, że te liście są identyczne. Są jednak przeciwnie skierowane. Nasza kwadratowa serwetka może być traktowana jako figura. Jak myślisz, czy ma ona oś symetrii? Nie. Zauważ, że gdybyśmy zgięli serwetkę wzdłuż jej przekątnej to liście nie pokryją się idealnie bo są skierowane w przeciwne strony. Jednak podświadomie możesz czuć że mamy do czynienia z pewną symetrią. I masz rację. A co, jakbyśmy nie zginali tej serwetki tylko ją obrócili? Zauważ, że jeśli obrócimy serwetkę o 180 stopni, to ten liść przejdzie w miejsce tego liścia. Tak, jakby się poruszał po okręgu albo jak wyścigówka na torze. Natomiast ten liść po obróceniu o 180 stopni trafi w miejsce tego liścia i idealnie się pokryją. Jeśli nadal do końca nie wiesz o czym mówię, to patrz uważnie. Jak widzisz, oba te liście tak jakby zamieniły się miejscami. Taka symetria nosi nazwę symetrii środkowej. Nazwa symetria środkowa wskazuje że musi tutaj być jakiś środek. Jak go znaleźć? Zaraz Ci pokażę. Zaznaczmy na końcówce tego liścia punkt A. Gdzie znajdzie się ten punkt po obróceniu tego liścia o 180 stopni? Jak sądzisz? Będzie tutaj. Połączmy te dwa punkty. Zaznaczmy teraz jakiś inny charakterystyczny punkt. Nazwijmy go na przykład B. Gdzie znajdzie się punkt B po obrocie tej serwetki? Jak myślisz? Będzie tutaj. Połączmy te dwa punkty. Zwróć uwagę, że te dwa odcinki przecinają się w jednym punkcie. Co więcej, wszystkie odcinki łączące odpowiadające sobie punkty w tych dwóch figurach będą się przecinać w tym punkcie. Ten punkt nazywamy środkiem symetrii i oznaczamy go literą S i stąd nazwa symetria środkowa. Zauważ, że to właśnie wokół tego punktu obracaliśmy naszą serwetkę. Wyobraź sobie, że punkt A porusza się po pewnym okręgu który ma środek w punkcie S. Pokonuje 180 stopni i trafia w miejsce punktu A'. Jaki jest promień tego myślowego okręgu? To odległość AS. Oznaczyłem ją literą a. Ale skoro ma to być środek tego okręgu to odcinek SA' również będzie jego promieniem. W takim razie tutaj też będzie długość małe a. To ciekawa obserwacja. Zauważ, że odległości dwóch symetrycznych punktów od punktu S są takie same. Możemy to zapisać w taki sposób. Długość odcinka AS, czyli tego jest taka sama jak długość odcinka SA' czyli tego. Podobnie będzie również w przypadku tych dwóch punktów. Długości tych odcinków, oznaczę jako b. Albo możemy zapisać, że długość odcinka BS czyli tego, jest taka sama jak długość odcinka SB', czyli tego. Mówimy że punkty A i A' są symetryczne względem punktu S. Tak samo punkty B oraz B' też są symetryczne względem punktu S. Podsumujmy nasze obserwacje. Para punktów jest symetryczna względem punktu S jeżeli punkty te leżą na jednej prostej przecinającej punkt S i po przeciwnych stronach tego punktu oraz odległości tych punktów od punktu S są sobie równe. Mówiliśmy przed chwilą o punktach symetrycznych względem danego punktu. Jak myślisz, czy figury geometryczne też mogą być symetryczne względem punktu? Jasne, że tak. Zaraz Ci to pokażę. Mamy tutaj narysowane dwa trójkąty. A tutaj jest naniesiony pewien punkt S. Jak myślisz, w jaki sposób sprawdzić czy te dwa trójkąty, są symetryczne względem tego punktu. Jak pamiętasz, środek symetrii jest punktem przecięcia odcinków łączących odpowiednie symetryczne punkty. Weźmy na przykład ten punkt. Jak myślisz, z którym punktem w tym trójkącie musimy go połączyć? Wiemy, że dwa punkty symetryczne muszą leżeć na jednej prostej która przecina również punkt S. Poprowadźmy zatem z tego wierzchołka półprostą przechodzącą przez punkt S i sprawdźmy czy przecina ona jakikolwiek wierzchołek tego drugiego trójkąta. Zauważ, że ta półprosta przechodzi przez ten wierzchołek. Dodatkowo możemy zauważyć że długość tego odcinka jest taka sama jak długość tego odcinka. W takim razie ten punkt jest symetryczny do tego punktu względem punktu S. A jak myślisz, który punkt należy połączyć z tym punktem? Ten czy ten? Poprowadzona półprosta przecina ten wierzchołek. Dodatkowo możemy zauważyć że długość tego odcinka jest taka sama jak długość tego odcinka. W takim razie te dwa punkty są symetryczne względem punktu S. A ten punkt? Spróbuj teraz samodzielnie narysować odpowiednią półprostą i powiedz czy te dwa punkty są symetryczne względem punktu S. Jak widać, ta półprosta przecina ten wierzchołek. Tak, jak myśleliśmy. Ponadto długość tego odcinka jest taka sama, jak długość tego odcinka. Jak widać, punkt S jest punktem przecięcia tych wszystkich trzech odcinków. A ponadto dzieli te odcinki na pół. A ponieważ te trzy punkty wyznaczają jednoznacznie rozważane trójkąty to nie tylko te punkty, ale i trójkąty są symetryczne. W jaki inny sposób można sprawdzić czy figury są symetryczne względem punktu? Poprzednio mówiliśmy o obracaniu poszczególnych punktów o 180 stopni. Spróbujmy obrócić ten trójkąt o 180 stopni tak, aby pokrył się z tym trójkątem. Zobacz. Te dwie figury się pokryły. Dwie figury są symetryczne względem środka symetrii jeżeli po obrocie jednej z nich wokół środka symetrii o 180 stopni te dwie figury się pokryją. Dobrze. A teraz zadanie dla Ciebie. Jak sądzisz, czy te dwa koła są symetryczne względem punktu S? Zatrzymaj film, zastanów się i odpowiedz. Następnie porównaj swoją odpowiedź z moją. Na pierwszy rzut oka widać że to koło jest większe niż to. W takim razie nie ma szans aby przez obrót mogły się nałożyć na siebie. W takim razie nie są to figury symetryczne względem punktu. Teraz trochę trudniejszy przypadek. Jak sądzisz, czy te dwa kwadraty są symetryczne względem punktu S? Zatrzymaj film spróbuj odpowiedzieć samodzielnie a potem porównaj swoją odpowiedź z moją. Poprowadziłem z wierzchołków tego kwadratu odpowiednie półproste przecinające punkt S. Widać, że każda z nich przecina jeden z wierzchołków tego kwadratu. Widać, że punkt S dzieli te odcinki na połowy. W takim razie te dwa kwadraty są symetryczne względem tego punktu. Obróćmy teraz ten kwadrat o 180 stopni. Zobacz, że figury idealnie się pokryły. W takim razie są one symetryczne względem punktu S. A teraz mamy inny rodzaj ćwiczenia. Masz narysowane dwa trójkąty. Zielony i pomarańczowy. A do tego trzy punkty: punkt A, punkt B oraz punkt C. Wiemy, że te dwa trójkąty są symetryczne. Pytanie tylko, względem którego punktu? Jak sądzisz? Musimy wybrać jeden z nich. Mówiliśmy już wcześniej że odcinek łączący odpowiednie punkty w dwóch figurach symetrycznych musi przechodzić przez środek symetrii. W takim razie spróbujmy powiedzmy z tego punktu poprowadzić 3 półproste. Pierwsza będzie przechodzić przez punkt A. Druga przez punkt B a trzecia przez punkt C. Jak widać, dwie półproste które przechodzą przez punkt A oraz przez punkt C w ogóle nie przecinają tego trójkąta. W takim razie jedynym punktem który może być środkiem symetrii tych dwóch figur jest punkt B. Sprawdźmy to prowadząc odpowiednie odcinki tak, jak w poprzednich przypadkach. I rzeczywiście punkt B jest punktem przecięcia tych wszystkich odcinków. Dla formalności obróćmy ten trójkąt tak, aby pokrył się z tym zielonym trójkątem. Tutaj sytuacja jest analogiczna. Mamy tym razem dwa kwadraty. Wiemy, że również one są symetryczne. Pytanie, względem którego punktu? Zatrzymaj film i odpowiedz samodzielnie. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Podobnie jak poprzednio narysowałem półproste wychodzące z jednego wierzchołka i przecinające punkty E, F oraz D. Zauważ, że ta półprosta ucieka nam gdzieś w kosmos więc nie może to być środek symetrii. Ta półprosta przechodzi przez figurę ale nie przechodzi przez żaden z jej wierzchołków. Jedyną sensowną opcją wydaje się punkt E. Widać, że wszystkie zaznaczone przez nas odcinki przecinają się w tym punkcie. Dla formalności dokonajmy jeszcze jednego obrotu. Gratulacje. Dwa punkty są symetryczne względem punktu S jeżeli spełnione są dwa warunki. Po pierwsze, punkty te muszą leżeć na jednej prostej przecinającej punkt S i po przeciwnych stronach tego punktu. A po drugie, odległości tych punktów od punktu S muszą być sobie równe. Dwie figury są symetryczne względem punktu jeżeli pokrywają się po obrocie jednej z nich o 180 stopni wokół tego punktu. Zobaczyłeś właśnie kolejny film dotyczący symetrii. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do odwiedzenia naszej strony internetowej pi-stacja.tv