Boiska w każdym sporcie różnią się od siebie nie tylko wyposażeniem. Na przykład bramkami, obecnością siatki albo koszy, ale również układem linii. Mimo, że linie są różne to jednak każde boisko jest symetryczne aby zawodnicy dwóch drużyn mieli równe szanse. W poprzednich filmach mówiliśmy o punktach symetrycznych względem osi symetrii. Czy pamiętasz, jakie warunki muszą spełniać dwa punkty aby były symetryczne względem określonej prostej? Podpowiem Ci, że były 3 takie warunki. Po pierwsze, te dwa punkty muszą leżeć po przeciwnych stronach tej prostej. Pamiętaj jednak, że jeżeli punkt leży na osi symetrii to jest symetryczny sam do siebie. Po drugie, muszą leżeć w równych odległościach od tej prostej. A po trzecie, muszę leżeć na prostej prostopadłej do tej prostej zwanej osią symetrii. Jeśli nie pamiętasz dokładnie o co chodziło z punktami symetrycznymi względem osi symetrii zachęcam Cię najpierw do zobaczenia odpowiedniego filmu. Po lewej masz narysowany układ współrzędnych. Mamy na nim naniesione dwie proste. Oś x, oraz oś y. Zastanówmy się w takim razie czy możemy rysować punkty symetryczne względem tych prostych? Oczywiście, że tak. Zaraz zobaczysz, jak to się robi. Wprowadźmy do tego układu współrzędnych jakiś punkt. Powiedzmy A. Punkt A znajduje się tutaj. Jakie są jego współrzędne? Jego współrzędna x, to 3. A współrzędna y, to 2. Punkt A ma w takim razie współrzędne 3 i 2. Znajdźmy punkt symetryczny do punktu A względem osi x. Pierwszy warunek mówi, że ten drugi punkt będzie leżał po przeciwnej stronie osi x. Czyli gdzieś tutaj. Wiemy też, że szukany punkt i punkt A leżą na prostej prostopadłej do osi x. Jaka to będzie prosta? Jest tutaj. Na tej prostej będziemy szukać punktu symetrycznego. Pozostaje jeszcze jedna kwestia. Musimy znać odległość szukanego punktu od osi x. Wiemy, że musi być ona taka sama jak odległość punktu A od osi x. Ile ona wynosi? Zobacz. Nasz punkt A leży o dwie kratki od osi x. W takim razie nasz szukany punkt również będzie się znajdował dwie kratki od osi x. Zauważ, że odległość punktu A od osi x jest równe jego współrzędnej y. Schodzimy po tej prostej i dochodzimy do osi x. Musimy jeszcze przejść dwie kratki w dół i tutaj znajduje się nasz szukany punkt. Od razu naniosłem jego współrzędne 3 i minus 2. Zauważ, że te dwa punkty mają taką samą współrzędną x. Rzeczywiście nie mogła się ona zmienić ponieważ leżą na jednej prostej prostopadłej do osi x. A co ze współrzędną y? Zauważ, że współrzędna y jest taka sama jak współrzędna y punktu A tylko, że z minusem. Znak się zmienił, ponieważ przerzuciliśmy ten punkt na drugą stronę osi x. Zapamiętaj, że dwa punkty symetryczne względem osi x mają takie same współrzędne x. Natomiast ich współrzędna y różni się znakiem. Skoro udało nam się znaleźć punkt symetryczny względem osi x to znajdźmy teraz punkt symetryczny do punktu A względem osi y. Wiemy już, że ten punkt będzie leżał po tej stronie osi y. Wiemy też, że będzie leżał na tej samej prostej co punkt A prostopadły do osi y. Czyli tutaj. Wiemy też, że jego odległość od osi y będzie taka sama jak odległość punktu A od tej osi. Ile wynosi odległość punktu A od osi y? Liczymy. 1, 2, 3. Jest ona równa współrzędnej x tego punktu. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie nanieść punkt C symetryczny do punktu A względem osi y. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Oto nasz punkt. Ma współrzędne minus i 2. Zauważ, że tym razem współrzędna y się nie zmieniła. Natomiast współrzędna x zmieniła znak na minus. Zapamiętaj, że dwa punkty symetryczne względem osi y mają takie same współrzędne y natomiast różne współrzędne x różniące się znakiem. W układzie współrzędnych mamy narysowany pewien odcinek. Jego początek to punkt A o współrzędnych 2 i minus 3. Natomiast jego koniec, to punkt B o współrzędnych 4 i minus 5. Spróbujmy znaleźć odcinek symetryczny do tego odcinka względem osi x. Do tej pory wiedzieliśmy tylko jak znajdować punkty symetryczne. Jak w takim razie przenieść odcinek? To proste. Wystarczy przerzucić jego początek czyli punkt A i jego koniec, czyli punkt B i połączyć otrzymane punkty. W ten sposób otrzymamy odcinek symetryczny. Zacznijmy od punktu A. Jaka będzie współrzędna x punktu symetrycznego do punktu A względem osi x? Tutaj masz odpowiednią ściągawkę. Widzimy, że podczas symetrii względem osi x zmienia się jedynie współrzędna y. x pozostaje bez zmian. W takim razie współrzędna x punktu symetrycznego do A będzie równa 2. A współrzędna y? Musimy dostawić minus. A minus i minus daje plus. Czyli współrzędna y tego punktu będzie równa 3. Oto punkt C o współrzędnych 2 i 3. A teraz samodzielnie znajdź punkt symetryczny do punktu B względem osi x. Współrzędna x tego punktu będzie równa 4. Natomiast współrzędna y minus - 5, czyli 5. Gratulacje. Znaleźliśmy odcinek symetryczny do naszego pierwotnego odcinka względem osi x. To teraz samodzielnie spróbuj znaleźć odcinek symetryczny do tego odcinka, ale względem osi y. Odpowiednią ściągawkę masz tutaj. Przy symetrii względem osi y współrzędna y pozostaje bez zmian. Zmienia się jedynie współrzędna x. Punkt symetryczny do punktu A względem osi y będzie miał więc współrzędne równe minus 2, minus 3. Ten punkt znajduje się tutaj. Natomiast punkt symetryczny do punktu B będzie miał współrzędne równe minus 4 i minus 5. W ten sposób uzyskaliśmy odcinek symetryczny do naszego pierwotnego odcinka względem osi y. Gratulacje. Punkty symetryczne względem osi x mają taką samą współrzędną x i przeciwne współrzędne y. Natomiast punkty symetryczne względem osi y mają taką samą współrzędną y i przeciwne współrzędne x. Na naszym wykresie punkt B jest symetryczny do punktu A względem osi x. Natomiast punkt C jest symetryczny do punktu A względem osi y. Zobaczyłeś właśnie kolejny film z playlisty o symetrii. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do zasubskrybowania naszego kanału na YouTube PistacjaMatematyka.