Symetria jest obecna nie tylko w dziełach sztuki stworzonych przez człowieka. Natura również bardzo ją lubi. Za przykład niech posłużą dwie rośliny. Słonecznik oraz aloes. Zauważ, jak rozchodzą się kwiaty w koszyczku słonecznika albo jak są ułożone liście aloesu. Na planszy mamy narysowany pewien prostokąt. Są podpisane jego wierzchołki. To punkt A, tutaj jest punkt B tutaj punkt C, a tutaj punkt D. Narysujmy teraz dwie przekątne tego prostokąta. Ich punkt przecięcia nazwę literą S. Oznaczenie tego punktu nie jest przypadkowe. Spróbujemy teraz znaleźć punkty symetryczne do wierzchołków tego prostokąta względem punktu S. Czy pamiętasz może czym charakteryzowały się takie punkty? Krótkie przypomnienie. Te punkty muszą leżeć na jednej prostej przecinającej punkt S po jego przeciwnych stronach oraz odległości tych punktów od punktu S muszą być sobie równe. Z kolei figura symetryczna względem punktu S powstaje poprzez obrót o 180 stopni względem tego punktu. Jeśli nie pamiętasz albo w ogóle nie masz pojęcia czym jest symetria środkowa zachęcam Cię najpierw do zobaczenia odpowiedniego filmu. Wyznaczmy teraz punkt symetryczny do punktu A. Odpowiedni punkt musi leżeć na tej samej prostej co punkty A i S. Jaka to prosta? Ta prosta będzie się pokrywać z przekątną tego prostokąta. Wiemy też, że ten punkt będzie leżał za punktem S. Czyli gdzieś tutaj. Dodatkowo wiemy że odległość punktu A od punktu S musi być taka sama jak odległość punktu S od szukanego punktu. Jak myślisz gdzie będzie się znajdował ten punkt? Nazwijmy go A'. Pokryje się z punktem C. Przekątne w prostokącie dzielą się na połowy. W takim razie odległość punktu A od punktu S jest taka sama jak odległość punktu S od punktu C. To teraz spróbujmy znaleźć punkt symetryczny do punktu B względem punktu S. Gdzie będzie on leżał? Na drugiej przekątnej. Wiemy, że będzie po drugiej stronie punktu S, czyli gdzieś tutaj. I odległość punktu B od punktu S będzie taka sama jak odległość punktu S od tego szukanego punktu. Jak myślisz, gdzie on się znajdzie? Pokryje się z punktem D. Tak, jak wspomnieliśmy wcześniej punkt S dzieli przekątną DB na pół. W takim razie odległość punktu D od punktu S jest taka sama jak odległość punktu B od punktu S. Świetnie. A teraz zatrzymaj film i spróbuj znaleźć punkty symetryczne do punktu C i punktu D. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Punkt symetryczny do punktu C pokryje się z punktem A natomiast punkt symetryczny do punktu D pokryje się z punktem B. Świetnie. Znaleźliśmy wszystkie punkty symetryczne względem punktu S do wierzchołków tego prostokąta. Zauważ, że wierzchołki tak jakby zamieniły się miejscami. Podobny efekt uzyskalibyśmy gdybyśmy obrócili ten prostokąt do góry nogami. Albo mówiąc matematycznie o 180 stopni wokół punktu S. Ciekawa obserwacja. Spróbujmy zrobić coś takiego. W miejscu zielonego prostokąta utworzyłem nowy, żółty prostokąt. Obrócimy go teraz o 180 stopni i zobaczymy, co się stanie. Czy coś szczególnego się stało? Można powiedzieć, że nic się nie stało ale warto zauważyć, że prostokąt po obrocie znowu pokrył zielony prostokąt. Zauważmy, że ten prostokąt jest symetryczny sam do siebie względem punktu S. O takich figurach mówimy że są to figury środkowosymetryczne. Takie figury po obrocie o 180 stopni pokrywają się ze sobą. Każda figura środkowosymetryczna ma środek symetrii względem którego jest obracana. Przetrenujmy to na odpowiednich przykładach. Czas na obiecane ćwiczenie. Masz tutaj pokazanych kilka figur geometrycznych. Trójkąt równoboczny, równoległobok, romb sześciokąt foremny, pięciokąt foremny oraz koło. Spróbujemy wśród tych wszystkich figur wskazać figury środkowosymetryczne. Zacznijmy od trójkąta równobocznego. Jak mówiliśmy wcześniej figura środkowosymetryczna charakteryzuje się tym że po jej obrocie o 180 stopni pokryje się sama ze sobą. Jak sądzisz, czy trójkąt równoboczny jest środkowosymetryczny? Sprawdźmy to. Jak widzisz, po obrocie trójkąt nie pokrył się z pierwotnym trójkątem. W takim razie trójkąt równoboczny nie jest figurą środkowosymetryczną. Zauważ też, że trójkąt równoboczny mimo, że nie ma środka symetrii to jednak ma osie symetrii. Równoległobok, podobnie jak prostokąt jest figurą środkowosymetryczną. Jego środek symetrii znajduje się w miejscu przecięcia się przekątnych. Czyli tutaj. Sprawdźmy to teraz i obróćmy równoległobok wokół środka symetrii. Zauważ też, że równoległobok który posiada środek symetrii nie posiada jednak osi symetrii. Dobrze. A teraz samodzielnie określ czy pozostałe figury są środkowosymetryczne, czy nie. Jeżeli tak, znajdź ich środek symetrii. Romb jest figurą środkowosymetryczną. Zauważ, że każdy romb jest równoległobokiem. A skoro równoległobok ma środek symetrii to romb również musi go mieć. Jego środek symetrii znajduje się w miejscu przecięcia przekątnych. Czyli tutaj. Sześciokąt foremny również jest figurą środkowosymetryczną. Jego środka symetrii również będziemy szukać w miejscu przecięcia się przekątnych. Jest tutaj. A pięciokąt foremny? Jak widać, nie jest środkowosymetryczne. A koło? Nie ulega wątpliwości że koło jest środkowosymetryczne. A środek symetrii pokrywa się z jego środkiem. Jak myślisz, czy są figury które mogą mieć więcej niż jeden środek symetrii? Taką figurą jest prosta. Każdy punkt leżący na prostej jest jej środkiem symetrii. Ale to taka uwaga na marginesie. Przejdźmy do kolejnego ćwiczenia. Do tej pory rozmawialiśmy tylko o figurach środkowosymetrycznych. Teraz poszukamy również liter które mają środek symetrii. Masz tutaj podane dwa słowa. Znosić oraz chart. Wskaż teraz, które litery zawarte w tych słowach posiadają środek symetrii. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Litery, które mają środek symetrii po obróceniu o 180 stopni pokryją się ze sobą. Takie litery to: Z, N, O, S, I oraz H. Zaznaczmy je. Przyjrzyjmy się im dokładniej. Rzeczywiście, gdy każdą z nich obrócimy o 180 stopni to odpowiednie litery pokryją się ze sobą. Zobacz sam. Jak myślisz, czy w polskim alfabecie znajdują się jeszcze jakieś litery które posiadają środek symetrii? Nie. Wypisaliśmy wszystkie. Spróbuj jeszcze samodzielnie znaleźć środek symetrii tych figur. Środek symetrii litery Z będzie tutaj. Dla litery N, tutaj. Dla O szukamy w środku. Dla S, tutaj. Dla I idealnie w połowie a dla H tutaj, pośrodku poprzeczki. Gratulacje. Wiesz już wszystko o figurach środkowosymetrycznych. Figura środkowosymetryczna to taka która jest symetryczna sama do siebie względem pewnego punktu. Ten punkt nazywamy środkiem symetrii. Po obróceniu figury środkowosymetrycznej o 180 stopni wokół środka symetrii pokryje się ona ze sobą. Istnieją figury, które mają środek symetrii, ale nie mają osi symetrii albo nie mają środka symetrii ale mają osie symetrii. I są też takie, które mają więcej niż jeden środek symetrii. Zobaczyłeś właśnie kolejny film o symetrii. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do polubienia naszego fanpage'a na Facebook 'u PistacjaMatematyka.