Symetria środkowa w układzie współrzędnych

Do tej pory szukaliśmy w architekturze gotyckiej symetrii osiowej. Jednakże symetria środkowa również jest tam obecna. Jednym z przykładów jest motyw dekoracyjny zwany rybim pęcherzem. Symetria środkowa została wykorzystana również w rozecie, która znajduje się w katedrze w Mediolanie jednym z największych kościołów na świecie. W układzie współrzędnych mamy zaznaczony pewien punkt B. Jego współrzędne to 2 i 3. Mówiliśmy już wcześniej o symetrii środkowej względem określonych punktów. Jak myślisz, czy w tym układzie współrzędnych i w każdym układzie znajduje się jakiś punkt charakterystyczny? To środek układu współrzędnych. Jakie są współrzędne tego punktu? Te współrzędne to 0, 0. Zaznaczmy ten punkt i nazwijmy go S. Teraz zastanówmy się w jaki sposób można znaleźć punkt symetryczny do punktu B względem punktu S. Czy pamiętasz czym charakteryzowały się takie punkty? Te dwa punkty muszą leżeć na jednej prostej przechodzącej przez punkt S. Dodatkowo szukany punkt znajduje się na tej prostej po przeciwnej stronie punktu S czyli gdzieś tutaj a odległość punktu B od punktu S jest taka sama, jak odległość punktu S od szukanego punktu. No dobrze. Spróbujmy więc znaleźć ten punkt. Zauważ, że punkt B oraz punkt S są wierzchołkami pewnego prostokąta. Jakie są pozostałe wierzchołki tego prostokąta? Tutaj będzie jeden z nich. Ja go nazwę A. Jego współrzędne to 2 i zero. Tutaj będzie czwarty wierzchołek. Oznaczę go jako C. Jego współrzędne to zero i 3. Widzisz już ten prostokąt? Jest tutaj. Mówiliśmy, że punkty symetryczne względem danego punktu leżą na jednej prostej. Jaka prosta przechodzi przez punkt B i punkt S? To prosta zawierająca przekątną tego prostokąta. Ja przedłużyłem ją jeszcze ponieważ będziemy na niej szukać odpowiedniego symetrycznego punktu. Zauważ, że tutaj też będziemy mieć pewien prostokąt, który będzie symetryczny względem punktu S do tego prostokąta. Jego odpowiednie wierzchołki będą symetryczne do wierzchołków tego prostokąta. Musimy znaleźć te pozostałe 3 wierzchołki a jeden z nich będzie symetryczny do punktu B. Jak znaleźć punkt symetryczny do punktu A? Wiemy, że musi leżeć na tej samej prostej co punkty S i A. A ta prosta to oś x. Wiemy też, że będzie tak samo odległy od S jak A od S. Jaka jest odległość punktu A od punktu S? To dwie kratki. W takim razie punkt symetryczny do A będzie się znajdował dwie kratki na lewo od punktu S. Dlaczego na lewo? Ponieważ musi leżeć po przeciwnej stronie tego punktu. Odliczam dwie kratki i ten punkt powinien znaleźć się tutaj. W podobny sposób możemy znaleźć punkt symetryczny do punktu C. Na jakiej prostej będzie on leżał? Na osi y która przecina zarówno punkt C jak i punkt S. Jaka jest odległość punktu C od punktu S? To 3 kratki. W takim razie odliczam 3 kratki na dół od punktu S i tutaj powinien być punkt symetryczny do C. Już wyraźnie widać nasz prostokąt. Zaznaczmy go na rysunku. Punkt symetryczny do B znajduje się tutaj. Jakie będą jego współrzędne? To minus 2 i minus 3. Gratulacje. Znaleźliśmy punkt symetryczny do punktu B względem środka układu współrzędnych. Zwróć uwagę na współrzędne punktu B i punktu B'. Czy wydają Ci się podobne? Zauważ, że zarówno współrzędna x jak i współrzędna y różnią się znakiem. Tutaj mamy 2 i 3 a tutaj minus 2 i minus 3. Zapamiętaj, że w symetrii względem środka układu współrzędnych obie współrzędne punktu zmieniają się na przeciwne. Tym razem w układzie współrzędnych mamy narysowany pewien trójkąt. ABC Spróbujmy znaleźć trójkąt symetryczny do naszego trójkąta względem środka układu współrzędnych. Jak to zrobić? Przed chwilą nauczyłeś się jak znajdować punkty symetryczne względem środka układu współrzędnych. Jeśli przeniesiemy odpowiednio 3 punkty znajdziemy punkt A', B' oraz C' i je połączymy to znajdziemy trójkąt symetryczny do naszego trójkąta. Pamiętaj, że w symetrii środkowej względem środka układu współrzędnych odpowiednie współrzędne punktów zmieniają się na przeciwne. Zatrzymaj teraz film i powiedz jakie są współrzędne punktu A, punktu B oraz punktu C. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Współrzędne punktu A to minus 3 i 1. Współrzędne punktu B to zero i 4. Natomiast współrzędne punktu C to 3 i minus 3. Teraz musimy znaleźć punkty symetryczne do nich względem środka układu współrzędnych. Zacznijmy od punktu A. Jego współrzędne to minus 3 i 1. Jaka będzie współrzędna x punktu A'? Zmieniamy minus 3 na przeciwną liczbę. To będzie 3. A współrzędna y? Minus 1. Współrzędne punktu A' to 3 i minus 1. Punkt o współrzędnych 3 i minus 1 znajduje się tutaj. Teraz Twoja kolej. Samodzielnie znajdź współrzędne punktu B' oraz C' a potem włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Zacznijmy od punktu B'. Jego współrzędna x to zero. Natomiast współrzędna y to minus 4. Ten punk znajduje się tutaj. A współrzędne punktu C'? Liczba przeciwna do 3 to minus. Natomiast liczba przeciwna do minus 3 to 3. Współrzędne punktu C' to minus 3 i 3. Punkt C', znajduje się tutaj. Czy to już wszystko? Mieliśmy znaleźć symetryczny trójkąt a na razie mamy tylko 3 punkty. Połączmy je zatem. I teraz nasze zadanie jest kompletne. Znaleźliśmy trójkąt symetryczny do trójkąta ABC względem środka układu współrzędnych. Jeszcze pytanie bonusowe. Jak myślisz, jaki punkt jest symetryczny do środka układu współrzędnych względem środka układu współrzędnych? Ten punkt jest symetryczny sam do siebie. Jego współrzędne to 0, 0 więc jak zamienimy je na liczby przeciwne to również otrzymujemy 0, 0. Gratulacje. Punkty symetryczne względem środka układu współrzędnych mają przeciwne współrzędne. Jeżeli jeden z nich ma współrzędne x i y to drugi ma współrzędne minus x i minus y. Był to kolejny film o symetrii. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do zasubskrybowania naszego kanału na YouTube PistacjaMatematyka.