Liczba przekątnych wielokąta foremnego

Oto Carl Friedrich Gauss. Jeden z największych naukowców w historii zwany też księciem matematyki. Najbardziej był dumny z odkrycia że siedemnastokąt foremny można skonstruować za pomocą cyrkla i linijki. Był z tego tak dumny, że kazał tę figurę wyryć na swoim grobie. Wielcy matematycy rzeczywiście mają coś z głową. Dzisiaj zajmiemy się przekątnymi wielokątów foremnych. Na planszy widzisz kilka z nich. Jakie to wielokąty foremne? To trójkąt równoboczny, kwadrat pięciokąt foremny oraz sześciokąt foremny. Policzmy ile mają przekątnych. Ile przekątnych ma trójkąt? To jest prosta sprawa. Trójkąt w ogóle nie ma przekątnych. A ile jest przekątnych w kwadracie? Są dwie przekątne. A w pięciokącie? W pięciokącie jest 5 przekątnych. W sześciokącie natomiast jest już aż 9 przekątnych. Jak widzisz, liczba przekątnych rośnie wraz z liczbą boków. Czy są sposoby, aby wyznaczyć liczbę przekątnych dla wielokątów foremnych o bardzo dużej liczbie boków? Zaraz się przekonamy. To pomyślmy, ile przekątnych ma dwunastokąt foremny? Jak znaleźć tę liczbę bez rysowania ich wszystkich? Zastanówmy się. Ile przekątnych można poprowadzić z jednego wierzchołka? Powiedzmy z tego. Przekątne prowadzimy do wszystkich wierzchołków wielokąta oprócz dwóch wierzchołków sąsiednich oraz rzecz jasna wierzchołka, z którego zaczynamy. Czyli prowadzimy do wszystkich wierzchołków oprócz trzech. Ile jest wierzchołków w dwunastokąciekącie foremnym? 12. Od 12 odejmujemy 3 i otrzymujemy, że z jednego wierzchołka możemy poprowadzić 9 przekątnych. Tak, jak zostało to pokazane na rysunku. No dobrze. Wiemy, że tyle można poprowadzić z jednego wierzchołka. To ile przekątnych możemy poprowadzić ze wszystkich wierzchołków dwunastokąta? Musimy przemnożyć 9 przez liczbę wierzchołków, czyli 12. A 12 razy 9 to 108 To bardzo dużo, prawda? Ale zauważ, że niektóre przekątne będą pokrywać się ze sobą. Na przykład z tego wierzchołka poprowadzimy jeszcze jedną przekątną do tego wierzchołka. Każda przekątna łączy dwa wierzchołki. Więc mnożąc liczbę wierzchołków przez liczbę przekątnych wychodzących z jednego wierzchołka każdą z nich policzymy dwa razy. Dlatego wynik musimy podzielić przez 2. Ostatecznie otrzymujemy że w dwunastokącie foremnym są 54 przekątne. Oto wszystkie przekątne dwunastokąta foremnego. Byłyby spore problemy z policzeniem ich wszystkich. Prześledźmy nasz wywód krok po kroku. Najpierw policzyliśmy ile przekątnych wychodzi z jednego wierzchołka. Potem policzyliśmy ile przekątnych wychodzi ze wszystkich wierzchołków a otrzymaną liczbę ostatecznie podzieliliśmy przez 2. A co gdybyśmy chcieli policzyć liczbę przekątnych w dowolnym wielokącie? Na przykład takim który ma n boków? Wystarczy w miejsce 12 podstawić n. Ile przekątnych będzie wychodziło z jednego wierzchołka? Tyle, ile jest wierzchołków minus 3, czyli n minus 3. To ile będzie przekątnych ze wszystkich wierzchołków? Musimy tę liczbę pomnożyć przez liczbę wierzchołków czyli razy n. n razy n minus 3 Ostateczna liczba przekątnych to ta liczba podzielona przez 2. Czyli n razy n minus 3 przez 2. I oto mamy wzór na liczbę przekątnych. Zauważ, że nigdzie w tym rozumowaniu nie korzystamy z tego że wielokąt jest foremny. Ten wzór będzie działał dla dowolnego wielokąta nie tylko foremnego. Skoro znamy już wzór ogólny to policzymy teraz ile przekątnych ma osiemnastokąt foremny. Ten wielokąt wygląda właśnie tak. No właśnie, pamiętasz ten wzór? Liczba przekątnych to n razy n minus 3 podzielone przez 2. Ile wynosi n w naszym przypadku? To liczba boków wielokąta. W tym przypadku 18. Zatrzymaj teraz film i samodzielnie wyznacz liczbę przekątnych osiemnastokąta foremnego. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Podstawiamy 18 w miejsce n do wzoru. 18 minus 3 to 15 a 18 przez 2 to 9 a 9 razy 15 to 135. W osiemnastokącie foremnym jest 135 przekątnych. Jest ich tak wiele, że nawet nie próbowałem ich rysować. To teraz jeszcze jedno zadanie. W jakim wielokącie foremnym liczba przekątnych jest równa liczbie boków? Musimy znaleźć pewien wielokąt foremny. Czym się charakteryzuje? Liczba przekątnych jest równa liczbie boków. Możemy to zapisać w ten sposób. Liczba boków równa się liczbie przekątnych. Tradycyjnie, oznaczmy liczbę boków literą n. A jak wyznaczyć liczbę przekątnych? Oczywiście z odpowiedniego wzoru. Czyli nasze równanie przyjmie postać: n równa się n razy n minus 3 przez 2. Rozwiążmy je wspólnie. Najpierw pozbądźmy się dwójki z mianownika. W jaki sposób to zrobić? Należy to równanie obustronnie pomnożyć przez 2. Otrzymujemy, że 2n to n razy n minus 3. Samodzielnie wymnóż teraz ten nawias. n razy n to n kwadrat a n razy minus 3 to -3n Przenosimy teraz 3n na drugą stronę i otrzymujemy, że 5n to n kwadrat. Co możemy teraz zrobić? Zobacz, że po obu stronach tego równania znajduje się n. Czy możemy je skrócić? Z zasady nie powinniśmy tego robić ale ponieważ n jest liczbą boków wielokąta to na pewno nie jest zerem. Czyli możemy podzielić przez n. Otrzymujemy, że n równa się 5 Jaki jest to wielokąt? To pięciokąt foremny. Narysujmy go i sprawdźmy. Rzeczywiście w pięciokącie foremnym jest 5 przekątnych. Dokładnie tyle samo ile wynosi liczba jego boków. Do tej pory mówiliśmy tylko o liczbie przekątnych. Teraz pomówmy o ich długościach. Jak sądzisz, ile jest w ośmiokącie foremnym przekątnych o różnej długości? Zauważ, że nie chodzi tutaj o wyznaczanie wszystkich przekątnych. Mamy po prostu znaleźć jakie długości przekątnych występują w ośmiokącie foremnym. Poprowadźmy więc przekątne z jednego wierzchołka. Dlaczego tylko z jednego? Przecież z każdego innego wierzchołka poprowadzimy przekątną tej samej długości. Jeden nam w zupełności wystarczy. W ośmiokącie z jednego wierzchołka wychodzi 5 przekątnych. Zatrzymaj teraz film i powiedz ile z nich jest różnej długości. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Ta przekątna ma taką samą długość jak ta przekątna. Z kolei ta przekątna ma taką samą długość jak ta przekątna. Mamy w takim razie 3 długości przekątnych. 1, 2, 3. Zaznaczmy to kolorem. To teraz zastanówmy się ile jest w ośmiokącie foremnym przekątnych każdej długości. Na przykład ile jest takich żółtych przekątnych? Zauważ, że z każdego wierzchołka możemy poprowadzić jedna taką przekątną. Czyli w sumie będzie ich 8. Jednakże będą pokrywać się ze sobą więc 8 należy podzielić przez 2. Będą 4 takie żółte przekątne. A ile będzie zielonych przekątnych? Z każdego wierzchołka możemy poprowadzić 2. Czyli 16 ze wszystkich wierzchołków ale dzielimy przez 2 i otrzymujemy 8. Podobna sytuacja będzie z fioletowymi przekątnymi. Po dwie z każdego wierzchołka jeszcze musimy podzielić przez 2. Ile łącznie mamy przekątnych? 8 plus 8 to 16 plus 4 to 20 Sprawdź teraz ze wzoru ogólnego czy policzyliśmy wszystkie przekątne. W miejsce n podstawiamy 8 i otrzymujemy że rzeczywiście w ośmiokącie foremnym jest 20 przekątnych. Oto wszystkie przekątne wraz z podziałem na odpowiednie długości. Bardzo ładnie wyglądają, prawda? Liczbę przekątnych w wielokącie foremnym można wyznaczyć z odpowiedniego wzoru. Mała litera n w tym wzorze to liczba boków danego wielokąta. Zobaczyłeś właśnie kolejny film z playlisty o wielokątach foremnych. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do zasubskrybowania naszego kanału na YouTube PistacjaMatematyka.