Kwadrat magiczny to kwadrat podzielony na kilka wierszy i taką samą liczbę kolumn. W każde z powstałych pól wpisano pewną liczbę. Liczby nie mogą się powtarzać a na dodatek suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i wzdłuż każdej przekątnej musi być taka sama. Jakiej liczby brakuje na środku tego kwadratu magicznego? W miejscu oznaczonym znakiem zapytania brakuje liczby 5. Teraz mamy kwadrat magiczny. A może stworzysz własny kwadrat magiczny? Plac ma kształt kwadratu. Pod ziemią wzdłuż przekątnej biegnie światłowód o długości 10 metrów. Jakie pole ma plac pod którym położony jest kabel? Co wiemy z treści zadania? Znamy długość światłowodu która wynosi 10 metrów. Wiemy też, że ten światłowód biegnie wzdłuż przekątnej kwadratowego placu. Przekątna dzieli plac na dwa jednakowe trójkąty prostokątne i równoramienne o kątach 90, 45 i 45 stopni. Skupmy się na jednym z nich. Skoro przeciwprostokątna tego trójkąta prostokątnego ma 10 metrów to jak obliczyć długość przyprostokątnej? Oznaczmy ją literą a. Wiemy, że w trójkącie o kątach 90, 45 i 45 stopni długość przeciwprostokątnej to iloczyn długości przyprostokątnej i pierwiastka z dwóch. a razy pierwiastek z dwóch wynosi zatem 10 metrów. To ile wynosi a? 10 metrów podzielić przez pierwiastek z dwóch. Usuńmy jeszcze niewymierność z mianownika mnożąc licznik i mianownik przez pierwiastek z dwóch. Otrzymamy 10 pierwiastków z dwóch metrów podzielić przez 2 czyli 5 pierwiastków z dwóch metrów. Ta długość jest jednocześnie długością boku kwadratowego placu. Teraz możemy obliczyć jego pole. Spróbuj zrobić to samodzielnie. Aby obliczyć pole tego kwadratu podnosimy długość jego boku do potęgi drugiej. Od tego momentu w obliczeniach pominę jednostkę metra. Dopiszę ją w odpowiedzi. Otrzymujemy 5 pierwiastków z dwóch do kwadratu a to wynosi 5 do kwadratu razy pierwiastek z dwóch do kwadratu czyli 25 razy 2 a to jest 50. Pole placu wynosi 50 metrów kwadratowych. Pamiętaj, że pole wyrażamy w jednostkach kwadratowych. Skoro długość boku była wyrażona w metrach to pole wyrażamy w metrach kwadratowych. Wykonaliśmy nasze zadanie. Możemy przejść do kolejnego. Oblicz obwód i pole trapezu prostokątnego którego krótsza podstawa ma długość dwóch centymetrów, dłuższe ramię ma długość czterech centymetrów a kąt ostry ma miarę 45 stopni. To jest klasyczne zadanie tekstowe które dotyczy geometrii. Zaczynamy najpierw od stworzenia rysunku pomocniczego. Weź kartkę i długopis i spróbuj go zrobić samodzielnie. Mamy do czynienia z trapezem prostokątnym. Rysujemy zatem trapez prostokątny. Teraz odczytujemy kolejne informacje z treści zadania i nanosimy je na nasz rysunek. Wiemy, że długość krótszej podstawy to 2 centymetry. Nanieśmy tę informację na ilustrację. Wiemy też, że dłuższe ramię ma 4 centymetry. Tę informację również nanosimy na rysunek. Ostatnia informacja w treści zadania brzmi kąt ostry ma miarę 45 stopni. Ten kąt znajduje się tutaj i ma 45 stopni. Do obliczenia obwodu potrzebujemy długości pozostałych boków. Do obliczenia pola potrzebujemy długości podstaw i wysokości trapezu. W trapezie prostokątnym wysokością jest jednocześnie bok przy którym znajdują się kąty proste. A czy możemy narysować w tym trapezie jeszcze inną wysokość, która utworzy nam trójkąt zawierający ten kąt? Jak myślisz? Możemy. Jeśli narysujemy taki odcinek prostopadły do dłuższej podstawy i wychodzący z tego wierzchołka to tutaj otrzymamy trójkąt prostokątny. Ten odcinek jest przyprostokątną tego trójkąta ale również wysokością tego trapezu. Oznaczmy jej długość literą h. Skoro tutaj mamy 45 stopni, a tutaj 90 to tutaj również mamy 45 stopni. Znamy długość przeciwprostokątnej tego trójkąta i widzimy też że jest on równoramienny. Jaka jest więc długość przyprostokątnych? W tym trójkącie długość przeciwprostokątnej czyli 4 jest równa iloczynowi długości przyprostokątnej i pierwiastka z dwóch. Ile równa się h? 4 podzielić przez pierwiastek z dwóch. Usuń niewymierność z mianownika mnożąc licznik i mianownik przez pierwiastek z dwóch. Otrzymujemy 4 pierwiastki z dwóch przez 2 czyli 2 pierwiastki z dwóch. Wysokość tego trapezu to 2 pierwiastki z dwóch. Oznacza to, że długość tego odcinka to również 2 pierwiastki z dwóch i tego także. Zwróć uwagę, że ten odcinek jest jedną z dwóch części dłuższej podstawy. Jaką długość ma druga część? Taką samą jak krótsza podstawa czyli 2 centymetry. Mamy wszystkie dane do obliczenia obwodu i pola trapezu. Spróbuj to zrobić samodzielnie. Obwód to suma długości wszystkich boków czyli 2 pierwiastki z dwóch centymetrów dodać 2 centymetry dodać 4 centymetry dodać 2 pierwiastki z dwóch centymetrów dodać 2 centymetry. Te dwa ostatnie składniki sumy to długość dłuższej podstawy. Po uproszczeniu otrzymamy 8 centymetrów dodać 4 pierwiastki z dwóch centymetrów. Teraz obliczę pole. Pole trapezu obliczamy dodając do siebie w liczniku długości podstaw czyli 2 centymetry dodać 2 centymetry dodać 2 pierwiastki z dwóch centymetrów. Tę sumę dzielimy przez 2 i otrzymany ułamek mnożymy przez długość wysokości czyli 2 pierwiastki z dwóch centymetrów. Upraszczamy licznik otrzymując 4 centymetry dodać 2 pierwiastki z dwóch centymetrów. Mianownik skracamy z tą dwójką i mamy 4 centymetry dodać 2 pierwiastki z dwóch centymetrów w nawiasie razy pierwiastek z dwóch centymetrów. Każdy składnik nawiasu mnożymy przez pierwiastek z dwóch centymetrów otrzymując 4 pierwiastki z dwóch centymetrów kwadratowych dodać 4 centymetry kwadratowe. Pole tego trapezu to 4 pierwiastki z dwóch centymetrów kwadratowych dodać 4 centymetry kwadratowe. Wykonaliśmy wszystkie zadania. Gratulacje! Przekątna kwadratu dzieli go na dwa trójkąty prostokątne równoramienne. Jej długość to iloczyn boku kwadratu i pierwiastka z dwóch. Trójkąty 45, 45 i 90 stopni możesz też znaleźć w innych czworokątach. Ten dział dotyczy trójkąta o kątach 45, 45 i 90 stopni. Wszystkie działy znajdziesz na naszej stronie internetowej pistacja.tv