Jest mnóstwo różnych, często bardzo skomplikowanych wielościanów. Jest jednak coś, co je łączy: twierdzenie Eulera. Okazuje się, że w każdym wielościanie jeżeli zsumujemy liczbę wierzchołków i liczbę ścian i odejmiemy od tego liczbę krawędzi to zawsze otrzymamy liczbę 2. Na tej planszy są przykłady brył przestrzennych. Być może uczyłeś się już o graniastosłupach a w szczególności o sześcianach i prostopadłościanach. Zauważ, że na rysunku wyróżniłem na zielono kilka brył. Czy wiesz, co je łączy? Zauważ, że w każdej zielonej bryle wszystkie ściany oprócz jednej łączą się w jednym punkcie. Ponadto wszystkie te ściany są zawsze trójkątami. Takie bryły nazywamy ostrosłupami. Przyjrzyjmy się teraz dokładniej przykładowemu ostrosłupowi. Jak mówiliśmy wcześniej, w tej bryle wszystkie ściany oprócz jednej są trójkątami. I zbiegają się w jednym punkcie. Ten punkt to wierzchołek ostrosłupa. Wszystkie ściany, które zbiegają się w wierzchołku to ściany boczne. Na rysunku są narysowane cztery: raz, dwa, trzy i jedna z tyłu. W ostrosłupie możemy też wyróżnić krawędzie boczne. Jedyna ściana w ostrosłupie która nie styka się z wierzchołkiem to jego podstawa. Podstawa, jak każdy wielokąt również ma swoje wierzchołki. W ostrosłupie oprócz krawędzi bocznych możemy wyróżnić krawędzie podstawy. Oto wszystkie podstawowe pojęcia jakich używamy do opisywania ostrosłupów. Czy jesteś w stanie powiedzieć ile wierzchołków ma ten ostrosłup? W każdym ostrosłupie zawsze mamy ten wierzchołek w którym zbiegają się ściany boczne. A ponadto mamy wierzchołki podstawy. W podstawie są 4 wierzchołki czyli razem mamy ich 5. A ile ścian ma ten ostrosłup? Wcześniej policzyliśmy że ma on 4 ściany boczne. Do tego musimy dodać podstawę która również jest ścianą ostrosłupa. Mamy więc 5 ścian. Policzmy jeszcze na samym końcu krawędzie w tym ostrosłupie. Mamy 4 krawędzie boczne i do tego musimy doliczyć jeszcze 4 krawędzie podstawy. Sumujemy je i otrzymujemy 8 krawędzi. Sprawdźmy, czy wzór, o którym mówiliśmy na początku jest prawdziwy. Bierzemy liczbę wierzchołków dodajemy liczbę ścian i odejmujemy liczbę krawędzi. Ile to wynosi? 5 i 10 to 10 a 10 minus 8 to 2. Rzeczywiście wzór Eulera zachodzi dla naszego ostrosłupa. Dla każdego innego zresztą też. Jesteś w stanie wskazać ostrosłupy w prawdziwym życiu? Przykładem powtarzanym do znudzenia są piramidy egipskie. Tutaj również widzisz piramidę jednak znajduje się ona we Francji przed Luwrem w Paryżu. Ponadto namioty Indian z Ameryki Północnej czyli tipi, również mają kształt ostrosłupa. Gdzie możesz tu wskazać wierzchołek? Jest oczywiście tutaj. Te kije stanowią krawędzie boczne a tutaj mamy podstawę. Oprócz tego, w architekturze często spotyka się dachy o kształcie ostrosłupów. Często są to dachy wież zamkowych albo budynków sakralnych. Wiesz już, jak wygląda ostrosłup i potrafisz go opisać za pomocą podstawowych zwrotów. Teraz dowiesz się, w jaki sposób kategoryzujemy ostrosłupy. Zobacz: widzisz pewien ostrosłup. Jaka figura znajduje się w jego podstawie? To trójkąt. Nazwy ostrosłupów zależą od figury która znajduje się w ich podstawie. Skoro tutaj mamy trójkąt to powiemy, że ten ostrosłup jest ostrosłupem trójkątnym. A jaka figura jest w podstawie tego ostrosłupa? To czworokąt. W takim razie jak nazwałbyś ten ostrosłup? To oczywiście ostrosłup czworokątny. Teraz zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie nazwać ten ostrosłup. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Patrzymy na podstawę. W podstawie jest sześciokąt. W takim razie ten ostrosłup jest ostrosłupem sześciokątnym. Oprócz tego wśród ostrosłupów mamy specjalną kategorię tak zwanych ostrosłupów prawidłowych. Czym one się charakteryzują? Otóż ostrosłupy prawidłowe mają w swoich podstawach wielokąty foremne a ich krawędzie boczne mają taką samą długość. Pamiętasz, czym był wielokąt foremny? To taki wielokąt, który miał boki równej długości oraz kąty wewnętrzne równe miary. Czy podstawy tych ostrosłupów są wielokątami foremnymi? Widać, że boki są tutaj różnej długości ale pamiętaj, że jest to płaski rysunek przedstawiający figury przestrzenne. Na płaskim rysunku długości odpowiednich boków nie są zachowane o czym będziemy mówić w innym filmie. Jest jeszcze jedna cecha ważna dla ostrosłupów prawidłowych. Ponieważ ich krawędzie boczne są tej samej długości to nie są one pochylone. Ich wierzchołek znajduje się idealnie nad środkiem podstawy. Dlatego w zadaniu nie wystarczy nam rysunek z naniesionymi danymi. W treści musi być wspomniane że rozważamy ostrosłup prawidłowy. Jak sam widzisz, nie da się gołym okiem prosto z rysunku stwierdzić czy dany ostrosłup jest prawidłowy czy nie. A teraz zadanie. Oblicz sumę długości krawędzi każdego z narysowanych ostrosłupów. Na początek ten. Jak byś go nazwał? To ostrosłup sześciokątny ponieważ w podstawie ma sześciokąt. Co jeszcze o nim wiemy? Wiemy, że ta krawędź podstawy ma długość 1 a ta krawędź boczna ma długość 4. Czy jesteśmy w stanie rozwiązać to zadanie? Oczywiście nie. Potrzebujemy dodatkowych informacji. Jak być może się domyślałeś ten ostrosłup nie dość, że jest sześciokątny to jeszcze jest prawidłowy. Jakie są długości krawędzi podstawy? Są wszystkie takie same czyli mają długość 1. A jakie będą długości krawędzi bocznych? Ponieważ jest to ostrosłup prawidłowy to wszystkie będą miały tę samą długość. Korzystając z tych informacji samodzielnie wyznacz sumę długości krawędzi. Najpierw krawędzie podstawy. Mamy ich 6 i każda z nich ma długość 1. Sumujemy jeszcze krawędzie boczne. Mamy ich 6 i każda z nich ma długość 4. Otrzymujemy 6 plus 24, czyli 30. A tutaj mamy drugi przykład. Jaki to ostrosłup? To ostrosłup trójkątny. Ma w podstawie trójkąt. Mamy teraz informacje jedynie o krawędzi podstawy. Ma ona długość 2 pierwiastki z 3. Do rozwiązania zadania brakuje nam dodatkowej informacji. Okazuje się, że nie jest to zwykły ostrosłup prawidłowy. To czworościan foremny. Czworościan foremny jest bardzo ważnym ostrosłupem. Jest to taki ostrosłup trójkątny w którym wszystkie krawędzie są takiej samej długości. Krawędzie podstawy są więc równe krawędziom bocznym. Czworościan foremny, jak nazwa wskazuje ma 4 ściany, które są trójkątami równobocznymi. Na podstawie tych informacji powinieneś być w stanie wyznaczyć sumę długości jego krawędzi. W czworościanie mamy 3 krawędzie podstawy i 3 krawędzie boczne, czyli razem 6 krawędzi które mają taką samą długość. 6 razy 2 pierwiastki z 3 to 12 pierwiastków z 3. Ostrosłup jest wielościanem którego ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku a podstawa jest dowolnym wielokątem. Nazwy ostrosłupów tworzymy od figury która znajduje się w ich podstawie. Do szczególnych ostrosłupów należą ostrosłupy prawidłowe. Są to takie ostrosłupy, których podstawa jest wielokątem foremnym a krawędzie boczne są równej długości. W ostrosłupach wyróżniamy wierzchołki krawędzie oraz ściany. Zobaczyłeś właśnie film z playlisty poświęconej ostrosłupom. Zachęcam cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty, a także do odwiedzenia naszej strony internetowej pistacja.tv