Być może wiesz, że jeżeli mamy dwa wielokąty o tym samym polu, to jeden z nich zawsze można pociąć na mniejsze wielokąty tak, aby ułożyć z nich drugi. Nie jest to prawdą w przypadku brył. Udowodniono, że nie da się podzielić czworościanu foremnego na mniejsze wielościany tak, aby dało się z nich skleić sześcian o tej samej objętości. Wzoru na objętość musisz więc nauczyć się na pamięć. Spójrz na ten trójkąt. Tutaj jest narysowana jego wysokość. Do czego jest nam potrzebna wysokość w trójkącie? Potrzebujemy jej, aby obliczyć pole figury. W przypadku brył odpowiednikiem pola jest objętość. Zobacz, cały czas patrzyliśmy na ostrosłup ale ustawiony pod odpowiednim kątem. Jak mówiliśmy, w figurach płaskich wysokość pomaga obliczyć pole. Natomiast w bryłach, w tym w ostrosłupach wysokość wykorzystujemy do obliczenia objętości bryły. Wyobraź sobie, że nasz ostrosłup leży na jakieś płaskiej powierzchni na przykład na stole. Wysokość jest wtedy odcinkiem poprowadzonym z jego wierzchołka prostopadle do tej powierzchni. Zapamiętaj, że wysokość zawsze jest prostopadła do tej powierzchni tak samo jak wysokość w trójkątach jest prostopadła do przeciwległego boku. Punkt, w którym wysokość dotyka płaszczyzny podstawy ostrosłupa nazywamy spodkiem wysokości. Jak myślisz, skąd taka nazwa? Spójrzmy na ostrosłup z góry. Jak widzisz, patrząc z góry na ostrosłup wierzchołek i spodek wysokości pokrywają się. Można powiedzieć, że gdyby z wierzchołka upuścić wysokość, trafi ona dokładnie na spodek. W tym przypadku spodek wysokości znajduje się na podstawie ostrosłupa. Ale czy zawsze musi tak być? Zaraz to sprawdzimy. Na ekranie widzimy kolejny trójkąt. Tym razem jest to trójkąt rozwartokątny. Również narysowana jest jego wysokość. Jak wiesz, w trójkątach rozwartokątnych nie każda wysokość pada na przeciwległy bok tylko na jego przedłużenie. Zobacz. Znowu patrzyliśmy na ostrosłup ale pod innym kątem. Tutaj jest narysowana wysokość tego ostrosłupa. Zauważ, że spodek wysokości nie znajduje się na podstawie ostrosłupa. Tak samo, jak nie zawsze wysokość w trójkącie rozwartokątnym pada na przeciwległy bok. Spójrzmy jeszcze na ten ostrosłup z góry. Jak już mówiliśmy, spodek wysokości pokrywa się z wierzchołkiem tego ostrosłupa. To, że znajduje się on poza podstawą nie ma najmniejszego znaczenia. Wiesz już, czym jest wysokość oraz spodek. Zaraz dowiemy się, jak możemy obliczyć objętość ostrosłupa. Zanim przejdziemy do objętości ostrosłupów najpierw wróćmy do sześcianu. Podzielimy go teraz na 3 identyczne ostrosłupy. Patrz uważnie. Zobacz, podzieliliśmy sześcian na 3 identyczne ostrosłupy. Podstawa każdego z tych ostrosłupów była ścianą boczną sześcianu. Suma objętości tych ostrosłupów daje nam objętość sześcianu. Ale pamiętajmy, że te ostrosłupy są identyczne. To oznacza, że 3 objętości tego ostrosłupa albo 3 objętości tego ostrosłupa albo 3 objętości tego ostrosłupa dają nam objętość sześcianu. Jak w takim razie policzyć objętość 1 ostrosłupa? To będzie 1/3 objętości pierwotnego sześcianu. Jeżeli ten sześcian miał bok o długości a to objętość ostrosłupa to 1/3 razy a do 3. Mówiliśmy wcześniej, że do wyznaczania objętości potrzebna jest nam wysokość. Jak myślisz, gdzie jest wysokość tego ostrosłupa? To ta krawędź boczna. Dlaczego? Aby mieć pewność, że jakiś odcinek w przestrzeni jest prostopadły do płaszczyzny trzeba znaleźć 2 proste zawarte w tej płaszczyźnie które są do tego odcinka prostopadłe. Tutaj takimi prostymi są proste zawierające te dwie krawędzie. Ponieważ ten ostrosłup uzyskaliśmy przez pocięcie sześcianu, to tutaj mamy dwa szukane kąty proste, ponieważ to były kiedyś kąty w kwadratach. Wysokość tego ostrosłupa jest tutaj. Oznaczamy ją dużą literą H. W naszym przypadku jest to również bok sześcianu czyli H ma długość a. Wprowadźmy to do wzoru. Doszliśmy do tego, że objętość tego ostrosłupa to 1/3 H razy a kwadrat. A czym jest a kwadrat tym przypadku? To pole podstawy, która jest kwadratem o boku a. W ten sposób doszliśmy do ostatecznego wzoru na objętość ostrosłupa. To 1/3 razy wysokość razy pole podstawy ostrosłupa. Skupmy się na którymś wybranym ostrosłupie. Obróćmy go i postawmy na podstawie. Przed chwilą pokazaliśmy że w pewnym szczególnym wypadku objętość ostrosłupa wyraża się następującym wzorem. Niestety nie do każdego ostrosłupa da się taką sztuczkę zastosować ale wzór jest prawdziwy dla wszystkich ostrosłupów i trzeba go zapamiętać. Tak jak w trójkącie, przy ustalonej podstawie i długości wysokości nieważne, gdzie wysokość opadała otrzymywaliśmy takie samo pole. Jak tutaj, jeżeli będziemy przesuwali wierzchołek ostrosłupa, to dopóki wysokość się nie zmieni, objętość pozostanie taka sama. Spróbujmy teraz obliczyć objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości 12 i krawędzi podstawy 8. Czego potrzebujemy do wyznaczenia objętości? Długości wysokości i pola podstawy. Wysokość już mamy. Wiemy, że jest równa 12. A co z polem podstawy? Wiemy jedynie, że krawędź podstawy ostrosłupa ma długość 8. Jaka figura znajduje się w podstawie ostrosłupa? Oczywiście trójkąt... ale jaki? Trójkąt równoboczny. W treści zadania mamy powiedziane że jest to ostrosłup prawidłowy. Czy jesteś w stanie wyznaczyć pole podstawy? Pamiętasz wzór na pole trójkąta równobocznego? To a kwadrat razy pierwiastek z 3 przez 4. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć pole podstawy. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. W miejsce a podstawiamy 8 czyli pole podstawy to 8 do kwadratu razy pierwiastek z 3 przez 4. 8 do kwadratu to 64 a 64 na 4 to 16. Ostatecznie otrzymujemy, że pole podstawy to 16 pierwiastków z 3. Możemy już wyznaczyć objętość? Tak! Mamy wszystkie potrzebne dane. Przypomnijmy, że objętość liczymy z takiego wzoru: 1/3 razy wysokość razy pole podstawy. Oblicz objętość samodzielnie. W miejsce H wstawiam 12 a w miejsce pola podstawy 16 pierwiastków z 3. 12 przez 3 daje nam 4 czyli objętość to 4 razy 16 pierwiastków z 3 a 16 razy 4 to 64. Objętość tego ostrosłupa to 64 pierwiastki z 3. Teraz takie zadanie. Graniastosłup i ostrosłup mają takie same podstawy i równe objętości. Wysokość graniastosłupa jest równa 9 cm. Jaką wysokość ma ostrosłup? Jak widzisz, zadanie mówi o dwu bryłach. Co mamy znaleźć? Mamy obliczyć wysokość ostrosłupa. Co wiemy o tych bryłach? Jak myślisz, czy graniastosłup będzie wyższy od narysowanego ostrosłupa? Nie! Będzie niższy. Zaraz sprawdzimy to rachunkowo. Wiemy, że mają takie same podstawy co oznacza, że te podstawy mają takie same pola. Zaznaczyłem je dużą literą P z indeksem p. Wiemy też, że te 2 bryły mają równe objętości. W jaki sposób zapisać objętości tych dwu brył wykorzystując podane na planszy oznaczenia? Objętość ostrosłupa to 1/3 razy jego wysokość razy pole podstawy natomiast objętość graniastosłupa to po prostu jego wysokość razy pole podstawy. Wiemy, że te dwie objętości są równe. Możemy więc zapisać takie równanie. Podstawmy oba wyrażenia do tego równania. Zauważ, że pole podstawy nam się skróci. Wysokość graniastosłupa to 1/3 wysokości ostrosłupa. Wysokość graniastosłupa jest nam znana. To 9 cm. Spróbuj samodzielnie wyznaczyć wysokość ostrosłupa. Musimy przekształcić to równanie i pomnożyć obustronnie przez 3. Wysokość ostrosłupa jest 3 razy większa od wysokości graniastosłupa czyli ma ona długość 27 cm. Gratulacje! Wzór na objętość ostrosłupa to 1/3 razy pole podstawy razy wysokość. Wysokość ostrosłupa to odcinek łączący wierzchołek z płaszczyzną podstawy i do niej prostopadły. Wysokość może spadać w różnych miejscach. Wewnątrz podstawy na krawędź podstawy ostrosłupa albo nawet poza podstawą. Zobaczyłeś właśnie kolejny film o ostrosłupach. Zachęcam cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty i do polubienia naszego fanpage na Facebooku: Pi-stacja matematyka.