Proste w przestrzeni - równoległe, prostopadłe i skośne

Willis Tower to wieżowiec w centrum Chicago w Stanach Zjednoczonych. Ma 108 pięter i prawie 450 metrów wysokości. Jest najwyższym budynkiem w Ameryce Północnej a do tego jeszcze cały złożony jest z graniastosłupów prostych czworokątnych. Matematycy muszą być zachwyceni jak go widzą. Prosta to jedno z podstawowych pojęć w geometrii. Dzisiaj opowiem Ci o prostych w przestrzeni i żeby wszystko lepiej zrozumieć znaczymy je na tym sześcianie. Będziemy posługiwać się sześcianem o którym już dużo wiesz i który pozwoli nam zobrazować niektóre rzeczy. Nadal jednak trzeba uważać ponieważ płaski rysunek nie oddaje wszystkich zależności. Przykładowo górna podstawa jest kwadratem. Wobec tego jej krawędzie są do siebie prostopadłe. Natomiast kąt EFG na pierwszy rzut oka nie wygląda na prosty. Ponadto odcinki które przecinają się na rysunku nie muszą przecinać się w rzeczywistości. Na przykład odcinki BF i DC leżą w równoległych ścianach więc nie mogą się przecinać. Na szczęście Ty o sześcianie wiesz już bardzo dużo więc nie dasz się nabrać na takie pułapki. Na pewno pamiętasz że proste na płaszczyźnie mogą być równoległe. Oznacza to, że w każdym punkcie są od siebie tak samo odległe. Proste w przestrzeni również mogą być równoległe. Zaznaczmy w naszym sześcianie pary takich równoodległych od siebie prostych. Obrócę go trochę żeby można było lepiej to zobaczyć. Tak samo jak na płaszczyźnie są one równoodległe. Dlaczego? Popatrz na czworokąt ABGH. Jest on prostokątem więc proste zawierające AH i BG są równoodległe. Analogicznie możemy przyjrzeć się podstawie ABCD i prostym zawierającym AD oraz BC. Widzisz, że te proste leżą na jednej płaszczyźnie i są to po prostu proste równoległe na tej płaszczyźnie. Zapamiętaj, że proste równoległe zawsze leżą na tej samej wspólnej płaszczyźnie i na niej są równoległe. Na płaszczyźnie proste nie przecinające się musiały być równoległe. Czy tak samo będzie w przestrzeni? Zastanów się chwilę. Przyjrzyj się prostym EA oraz FC. Czy one się przecinają? Na rysunku proste się przecinają jednak w przestrzeni nie bo zawierają się w dwóch równoległych ścianach. Czy w takim razie są one równoległe? Zauważ , że punkty A, E i F leżą na lewej ścianie sześcianu a punkt C na prawej. Więc punkt C nie leży w tej samej płaszczyźnie co pozostałe punkty czyli proste nie są równoległe. Bo tak jak wcześniej powiedzieliśmy proste równoległe muszą leżeć na wspólnej płaszczyźnie. Można również zauważyć że odległości są inne w różnych punktach. Odcinki EF i AC mają różną długość więc proste nie są równoodległe. Czyli w przestrzeni istnieją proste które nie mają punktów wspólnych a mimo to nie są równoległe. Takie proste nazywamy prostymi skośnym. Aby utrwalić zdobytą wiedzę rozwiążmy zadanie. Na rysunku wyróżniono kolorem kilka prostych. Które z nich będą skośne do prostej BC? Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie rozwiązać to zadanie a później sprawdź czy Twój wynik zgadza się z moim. Prosta EH nie będzie skośna. Popatrz na EHCB. Jest to prostokąt. Proste zawierające odcinki EH i BC są równoodległe ponieważ leżą naprzeciwko siebie w tym prostokącie. Czyli prosta EH jest równoodległa do prostej BC stąd nie mogą one być skośne. Teraz prosta AF. Spójrzmy na charakterystyczne punkty. B,C i F zawierają się w jednej ścianie ale A już na niej nie leży. Oznacza to, że nie istnieje płaszczyzna zawierająca jednocześnie proste BC i AF czyli te proste muszą być skośne. I ostatnia prosta EC. Ma ona z prostą BC punkt wspólny. C. Punkt C jest punktem przecięcia w związku z tym proste EC i BC nie mogą być skośne. Są to proste przecinające się. Kolejnym przykładem są proste prostopadłe. Gdzie można znaleźć takie proste w naszym sześcianie? Zastanów się. Na przykład tu i tu. Czasami na pierwszy rzut oka nie widać tej prostopadłości ale wystarczy obrócić bryłę pod odpowiednim kątem. Jeżeli dwie proste mają punkt wspólny to zawsze leżą na jednej płaszczyźnie. Więc wystarczy się zastanowić czy na tej płaszczyźnie są prostopadłe. A czy proste skośne mogą być prostopadłe? Tak. Mimo że nie mają żadnego punktu wspólnego. Na przykład DH i FG pomimo, że są rozłączne będziemy uważali za prostopadłe. Jak to sprawdzić? Potrzebujemy dwóch płaszczyzn równoległych tak, aby każda zawierała jedną z badanych prostych. W przypadku sześcianu nie jest to trudne ponieważ wiemy że przeciwległe ściany sześcianu są równoległe. Spróbuj samodzielnie wybrać dwie ściany tak, aby były one równoległe i każda z nich zawierała jedną z badanych prostych. Szukanymi ścianami są te dwie. Dla ułatwienia wyróżnimy sobie nie tylko pomarańczową ścianę ale także płaszczyznę na której leży. Rysunek, który w tej chwili mamy jest rysunkiem w rzucie równoległym. Ma on tę zaletę że żadne krawędzie się nie pokrywają więc wszystkie fragmenty bryły są dobrze widoczne. Natomiast taki rysunek nie zachowuje dobrze kątów. Jak wiemy, ten kąt jest kątem prostym mimo że na taki nie wygląda. W związku z tym będziemy potrzebowali innego rysunku. Takiego, który dobrze te kąty zachowuje. Będzie to rysunek w rzucie prostokątnym. Jak otrzymać taki rysunek? Trzeba przekręcić naszą bryłę tak jakbyśmy chcieli ją oglądać przez przednią żółtą ścianę. Możesz teraz wziąć sobie dowolne prostopadłościenne pudełko i spróbować je ustawić w analogiczny sposób. Będziesz wtedy widział tylko jedną ścianę tego pudełka. Tą, przez którą patrzysz na bryłę. To, co właśnie zrobiliśmy to rzut prostokątny. Jak widzisz w tym ustawieniu widoczne kąty proste wyglądają na proste. Za to niektóre punkty się nam pokryły. Na przykład punkt F z punktem E lub punkt G z punktem H. Te punkty pokryły się dlatego że te cztery krawędzie są prostopadłe do pomarańczowej ściany. Naszym celem było zbadanie czy żółta i pomarańczowa prosta są prostopadłe. W tej perspektywie to bardzo dobrze widać. Te proste zawierają sąsiednie boki kwadratu czyli muszą być prostopadłe. Gdybyśmy chcieli narysować rzut tej żółtej prostej na pomarańczową płaszczyznę to byłaby to taka prosta bo jak widzisz z tej perspektywy te dwie proste się pokrywają. Ten rzut można rozumieć jako cień żółtej prostej na pomarańczową płaszczyznę. Do rzutu prostokątnego będziemy jeszcze wracali w kolejnych lekcjach na tej playliiście. Teraz najważniejsze jest to żebyś zapamiętał, że proste skośne też mogą być prostopadłe. Spróbujmy rozwiązać teraz takie zadanie. Punkt D jest środkiem odcinka AB. Sprawdź, czy odcinek AB jest prostopadły do odcinka CD. Przyjrzyjmy się trójkątowi ABC. Wyznacza on płaszczyznę na której leży również punk D ponieważ leży wewnątrz odcinka AB. Jaki to trójkąt? Zauważ, że AC i BC to przekątne ścian sześcianu dlatego muszą mieć taką samą długość. Czyli jest to trójkąt równoramienny. A skoro jest to trójkąt równoramienny to wysokość opuszczona z punktu C dzieli podstawę na pół czyli CD musi być wysokością trójkąta ABC. Stąd odcinki AB I CD są prostopadłe. Kolejny przykład jest dla Ciebie. Zatrzymaj film i spróbuj odpowiedzieć czy AB jest prostopadły do CD? Tym razem odcinek AB to krawędź sześcianu. Widzimy, że przekątna AC jest prostopadła do krawędzi AB bo ściany sześcianu są wzajemnie prostopadłe. W związku z tym nasz trójkąt ACD jest prostokątny. Naszym zadaniem było jednak sprawdzić, czy odcinek CD jest prostopadły do odcinka AB. Widzimy, że tak nie może być bo w naszym trójkącie zaznaczyliśmy już kąt prosty więc nie może w nim być jeszcze jednego. Wtedy suma kątów wynosiłaby więcej niż 180 stopni. Jak widać, nie musimy niczego liczyć żeby stwierdzić, że odcinek AB nie jest prostopadły do odcinka CD. W dzisiejszej lekcji omówiliśmy różne rodzaje położenia prostych w przestrzeni. Zapamiętaj, że proste które się nie przecinają nie muszą być równoległe. Takie proste nazywamy skośnymi. Obejrzyj pozostałe filmy o graniastosłupach, a po więcej materiałów zajrzyj na naszą stronę pistacja.tv