Ostrosłup prawidłowy trójkątny - obliczanie długości odcinków

Bryły pokazane na planszy noszą nazwę wielościanów gwiaździstych. Powstają one z kilku innych wielościanów. Najstarszym wielościanem gwiaździstym jest tak zwana stella octangula która została opisana już w 1509 roku. Zabieramy się do działania. Na początku wyznaczymy objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi bocznej 5 i krawędzi podstawy 3. Ostrosłup ten jest narysowany tutaj. Mamy zaznaczoną długość krawędzi bocznej i długość krawędzi podstawy. Co musimy znać, żeby wyznaczyć objętość ostrosłupa? Pole podstawy oraz wysokość. Zacznijmy od pola podstawy. Jaka figura jest w podstawie ostrosłupa prawidłowego trójkątnego? To trójkąt równoboczny. Jeżeli tego nie pamiętasz zachęcam cię do obejrzenia filmu na Pi-stacji. Czy jesteśmy w stanie wyznaczyć pole podstawy? Oczywiście. Skoro jest to trójkąt równoboczny to do wyznaczenia jego pola wystarczy nam długość krawędzi podstawy. Pamiętasz odpowiedni wzór? To a kwadrat pierwiastków z 3 przez 4. Ile wynosi a w naszym przypadku? Jest równe 3. Podstawiamy i uzyskujemy: pole równa się 9 pierwiastków z 3 przez 4. Potrzebujemy jedynie wyznaczyć długość wysokości. Pytanie tylko, jak to zrobić? Zauważ, że w ostrosłupach kryje się wiele trójkątów prostokątnych. Na przykład tutaj. W tym trójkącie jedną z przyprostokątnych jest szukana wysokość, a przeciwprostokątną jest krawędź boczna ostrosłupa. Tutaj możemy się dokładniej przyjrzeć temu trójkątowi. Znamy długość tego odcinka – to 5. Tutaj jest nasza szukana wysokość. Gdybyśmy tylko znali długość żółtego odcinka moglibyśmy wyznaczyć wysokość ostrosłupa z twierdzenia Pitagorasa. W jaki sposób wyznaczyć tę długość? Spójrzmy na nasz ostrosłup z góry. Powinieneś wiedzieć, że w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym spodek wysokości pokrywa się z punktem przecięcia wysokości podstawy. Jak możemy to wykorzystać? Zobacz: ten żółty odcinek jest pewnym fragmentem wysokości podstawy a w trójkącie równobocznym punkt przecięcia wysokości dzieli je w stosunku 2 do 1. Ten odcinek jest 2 razy dłuższy od tego odcinka. Mówiąc inaczej, ten odcinek stanowi 2/3 całej wysokości podstawy. Wystarczy teraz, że wyznaczymy długość wysokości podstawy tego ostrosłupa a wyznaczymy długość żółtego odcinka. Zatrzymaj teraz film i samodzielnie wyznacz długość wysokości podstawy tego ostrosłupa. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Wysokość w trójkącie równobocznym to a pierwiastków z 3 przez 2. W naszym przypadku a jest równe 3. Podstawiamy i otrzymujemy 3 pierwiastki z 3 przez 2. Nie interesuje nas h. Interesuje nas długość odcinka x. Musimy więc tę liczbę pomnożyć przez 2/3. 3 pierwiastki z trzech przez 2 razy 2/3 skracają nam się dwójki i trójki i otrzymujemy pierwiastek z 3. Zobacz: znam już długości dwóch boków w tym trójkącie prostokątnym. Możemy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyznaczyć wysokość ostrosłupa. To też spróbuj zrobić samodzielnie. Układamy równanie: H kwadrat plus pierwiastek z 3 do kwadratu to 5 do kwadratu czyli dalej H do kwadratu plus 3 to 25. H kwadrat to 22 czyli H to pierwiastek z 22. Co teraz? Czy to już koniec zadania? Nie. Mieliśmy wyznaczyć objętość tego ostrosłupa. Ale zobacz, mamy pole podstawy i wysokość. Możemy więc obliczyć objętość. Również spróbuj to zrobić samodzielnie. Objętość to 1/3 razy pole podstawy razy wysokość, czyli 1/3 razy 9 pierwiastków z 3 przez 4 razy pierwiastek z 22. Ostatecznie otrzymujemy, że objętość tego ostrosłupa to 3 pierwiastki z 66 przez 4. Zobacz, znaliśmy jedynie krawędź boczną i krawędź podstawy. Dzięki temu, że znaleźliśmy tutaj trójkąt prostokątny i znaliśmy właściwości trójkąta równobocznego byliśmy w stanie wyznaczyć objętość tego ostrosłupa. A teraz podobne zadanie. Oblicz objętość czworościanu foremnego o boku 12 cm. Czym był czworościan foremny? To taki ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi. To oznacza, że wszystkie jego krawędzie mają tę samą długość. Narysujmy go. Oto nasz czworościan foremny. Krawędzie boczne mają taką samą długość jak krawędź podstawy. Jak obliczyć jego objętość? Dokładnie tak, jak robiliśmy to przed chwilą. Musimy wyznaczyć wysokość oraz pole podstawy. Pole podstawy możemy wyznaczyć już teraz. Zrób to samodzielnie. Krawędź podstawy to 12 czyli pole podstawy to 12 do kwadratu razy pierwiastek z 3 przez 4 czyli 36 pierwiastków z 3. Pole podstawy już mamy. Musimy jeszcze jakoś obliczyć wysokość. Pamiętasz, jak to robiliśmy? Znaleźliśmy odpowiedni trójkąt prostokątny. Jaki tutaj widzisz? Wykorzystamy ten trójkąt gdzie jedną z przyprostokątnych jest wysokość ostrosłupa. To jest krawędź boczna ostrosłupa. Tutaj mamy długość 12. To jest nasza szukana wysokość oraz odcinek znajdujący się w podstawie ostrosłupa. Jak wyznaczyć jego długość? Jak pamiętasz, to 2/3 wysokości podstawy. Zatrzymaj film i samodzielnie wyznacz wysokość podstawy tego ostrosłupa a następnie długość odcinka x. Wysokość podstawy ostrosłupa to 12 razy pierwiastek z 3 przez 2 czyli 6 pierwiastków z 3. Natomiast odcinek x to 2/3 tej długości czyli 4 pierwiastki z 3. Świetnie! Możemy teraz samodzielnie obliczyć wysokość ostrosłupa i w konsekwencji objętość naszego czworościanu. Jestem pewien, że uda ci się to zrobić. Najpierw obliczamy wysokość korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Tutaj zamieściłem swoje obliczenia. Powinieneś otrzymać, że wysokość ostrosłupa to 4 pierwiastki z 6 albo inaczej pierwiastek z 96. Tutaj wyznaczamy objętość. 1/3 razy 36 pierwiastków z 3 czyli pole podstawy razy 4 pierwiastki z 6, czyli wysokość to 48 pierwiastków z 18 albo inaczej 144 pierwiastki z 2. Aby rozwiązać to zadanie musieliśmy znaleźć odpowiedni trójkąt prostokątny i pamiętać o odpowiednich zależnościach w trójkącie równobocznym. Jeżeli czegoś nie zrozumiałeś, przewiń film i spróbuj prześledzić wszystkie te równania od początku na spokojnie. Jeszcze jedno zadanie na koniec. Oblicz wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego którego krawędź podstawy ma długość 6 a wysokość 7. Co mamy obliczyć w tym zadaniu? Zauważ, że tym razem szukamy długości wysokości ściany bocznej. Tego jeszcze nie robiliśmy, prawda? Na samym początku narysuj odpowiedni rysunek korzystając z danych zawartych w treści zadania. Oto nasz ostrosłup. Krawędź podstawy ma długość 6, a wysokość 7. Gdzie znajduje się wysokość ściany bocznej? Jest tutaj. Oznaczyłem ją małą literą z. W jaki sposób wyznaczyć tę długość? Do tej pory szukaliśmy odpowiednich trójkątów prostokątnych. Widzisz tutaj jakiś? Zobacz, tutaj mamy trójkąt prostokątny. Ten odcinek to wysokość ostrosłupa. Ma on długość 7. Natomiast to jest nasz szukany odcinek wysokość ściany bocznej. Potrzebujemy jeszcze wyznaczyć długość tego odcinka. Gdzie on się znajduje w ostrosłupie? Jest tutaj. Co to jest? To pewien fragment wysokości. Mówiliśmy wcześniej, że ten fragment to 2/3 całej wysokości podstawy. W takim razie ten odcinek to 1/3 całej wysokości podstawy. Korzystając z tej informacji, spróbuj samodzielnie wyznaczyć wysokość ściany bocznej ostrosłupa. Wysokość podstawy to 3 pierwiastki z 3 a 1/3 to pierwiastek z 3. W takim razie długość tego odcinka to pierwiastek z 3. Następnie układamy odpowiednie równanie korzystając z twierdzenia Pitagorasa aby obliczyć długość z. z to pierwiastek z 52 albo 2 pierwiastki z 13. W ostrosłupach prawidłowych trójkątnych wysokość możemy obliczyć na podstawie twierdzenia Pitagorasa. Musimy tylko znaleźć odpowiednie trójkąty prostokątne. Warto też pamiętać, że w podstawie w której jest trójkąt równoboczny środek przecięcia wysokości przecina je w stosunku 2 do 1. Zobaczyłeś właśnie kolejny film poświęcony ostrosłupom. Zachęcam cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty, a także do zasubskrybowania naszego kanału na YouTube: PistacjaMatematyka