Kule są wszędzie wokół nas. Przecież cały nasz świat czyli planeta Ziemia jest okrągła i przypomina wielką kulę. Miniaturę Ziemi, czyli globus mogłeś zobaczyć na lekcji geografii. Do tej pory poznaliśmy dwie charakterystyczne bryły obrotowe. Walec, który powstaje poprzez obrót prostokąta oraz stożek, który powstaje poprzez obrót trójkąta równoramiennego albo trójkąta prostokątnego. Na ekranie masz narysowane teraz koło. Zaznaczyłem środek tego koła oraz jego promień który oznaczyłem dużą literą R. Zastanówmy się teraz jaką bryłę otrzymamy po obrocie tego koła wokół jego średnicy. Możemy wybrać dowolną. Ja wybrałem tę. Zobaczmy, co się stanie. Co otrzymaliśmy? To kula. Kolejna bryła obrotowa, którą poznaliśmy. Kula powstaje poprzez obrót koła wokół jego średnicy. Czy pamiętasz, jak nazywaliśmy prostą wokół której obracaliśmy figurę aby otrzymać bryłę obrotową? To oś obrotu. W tym przypadku oś obrotu pokrywa się ze średnicą koła. Z tą średnicą, wokół której obracaliśmy nasze koło. Charakterystyczne dla kuli są jej promień oraz jej środek. Co możemy o nich powiedzieć? Zauważ, że promień kuli jest dokładnie taki sam jak promień obracanego koła. Podobnie środek kuli, który pokrywa się ze środkiem koła, które obracaliśmy na samym początku. No dobrze, skoro znamy kolejną bryłę to czy potrafimy obliczyć jej objętość? Wydaje się to skomplikowane ale odpowiedni wzór podał już 2200 lat temu słynny Archimedes. Oto ten wzór. Objętość kuli, to 4/3 razy pi razy r do sześcianu. Zapamiętaj go dobrze będziemy go wykorzystywać w zadaniach. Przećwiczmy teraz wyznaczanie objętości. Mamy takie zadanie. Koło o promieniu 10 centymetrów obrócono wokół jego średnicy i otrzymano kulę. Oblicz objętość tej kuli. Jak widzisz, w tym zadaniu musimy wyznaczyć objętość kuli. Jaka to jest kula? Ta kula powstała poprzez obrót pewnego koła. Narysujmy więc to koło. Oto ono. Zaznaczyłem od razu promień równy 10 centymetrom. Musimy teraz otrzymać kule. W jaki sposób? Obracamy to koło wokół jego średnicy. Ja będę obracał to koło wokół tej osi obrotu która pokrywa się ze średnicą koła. Mamy już naszą kulę. No to do roboty. Pamiętasz wzór na objętość kuli? To 4/3pi razy r do sześcianu. Mam nadzieję, że pamiętasz o tym że objętość oznaczamy dużą literą V. Czy jesteśmy w stanie wyznaczyć tę objętość? Tak, musimy tylko znać promień. A wiemy, że wynosi on 10 centymetrów. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć tę objętość. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Pod R, podstawiam 10 centymetrów. 10 centymetrów do sześcianu to 1000 centymetrów sześciennych. Mnożę 1000 razy 4/3 i otrzymuję że objętość tej kuli to 4000/3 razy pi centymetrów sześciennych. Zastanówmy się teraz czy możemy uzyskać kulę w jakiś inny sposób. Zobacz, na planszy jest narysowane pewne półkole o promieniu R. Obróćmy je teraz wokół tej osi obrotu. Sprawdźmy, co się stanie. I co? Otrzymaliśmy kulę. Jak sądzisz, w jaki inny sposób można by otrzymać tę samą kule? Moglibyśmy na przykład obracać koło o takim samym promieniu jak pierwotne półkole. Albo moglibyśmy obracać inne półkole wokół innej osi obrotu. Tak jak widzisz jest wiele różnych sposobów na otrzymanie takiej samej kuli. Skupmy się teraz na kuli po której stąpamy na co dzień czyli na kuli ziemskiej. A tak dokładniej na jej makiecie czyli na globusie. Jak wiesz, globus jest pokryty siatką równoleżników oraz południków. Czy wiesz jaki jest najdłuższy równoleżnik? To oczywiście równik. A czy znasz najważniejszy południk? To południk zero. Równik dzieli Ziemię na dwie półkule północną oraz południową. Natomiast południk zero na półkulę zachodnią i półkulę wschodnią. Równik jest najdłuższym równoleżnikiem. Jednocześnie jest to tak zwane koło wielkie Ziemi. Czym jest koło wielkie? Koło wielkie kuli to takie koło opisane na kuli, które ma taki sam promień jak ta kula. Albo inaczej mówiąc koło wielkie kuli stanowi jej obwód. W takim razie skoro równik jest kołem wielkim Ziemi to długość równika jest w przybliżeniu równa obwodowi Ziemi. Jak możemy wyznaczyć długość równika? Albo inaczej, jak możemy wyznaczyć obwód Ziemi? Musimy znać jej promień. Wynosi on w przybliżeniu 6400 kilometrów. No dobrze, ale co możemy zrobić z tą informacją? Otóż do wyznaczenia obwodu Ziemi wystarczy nam dobrze znany Ci wzór na obwód koła. To 2 razy pi razy promień. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć obwód Ziemi a w konsekwencji długość równika. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Podstawiam odpowiednie dane i otrzymuję, że obwód Ziemi to 12800 razy pi kilometrów. Powiedzmy, że chcemy mieć dokładniejszą wartość. Musimy wykorzystać przybliżenie pi. Załóżmy że pi jest równe 22/7. Korzystając z tego przybliżenia wyznacz przybliżony obwód Ziemi. Pod pi podstawiam 22/7 i otrzymuję że obwód Ziemi to w przybliżeniu 40000 kilometrów. Te obliczenia są nieco zbyt skomplikowane aby robić je w pamięci, więc spokojnie mogliśmy używać kalkulatora. Wyznaczyliśmy więc długość równika. I na koniec mamy jeszcze jedno zadanie. Objętość kuli wynosi 36 razy pi centymetrów sześciennych. Wyznacz długość promienia tej kuli. Czego szukamy w tym zadaniu? Długości promienia. A co znamy? Znamy objętość kuli. Czy jesteśmy w stanie wyznaczyć promień znając objętość? Spójrzmy do wzoru na objętość kuli. To 4/3pi razy R do sześcianu. Gdy znamy objętość to możemy łatwo wyznaczyć R. Spróbuj to zrobić samodzielnie. Pod V podstawiam 36 razy pi centymetrów sześciennych. Widać, że pi po obu stronach tego równania się skróci. 4/3R sześcian, to 36 centymetrów sześciennych. Dzielę teraz obustronnie przez 4/3 aby otrzymać R sześcian. Dzielenie to to samo co mnożenie przez odwrotność więc lewą stronę równania mnożę przez 3/4. 3/4 razy 36 to 27 W takim razie R do trzeciej to 27 centymetrów sześciennych. Czyli R to pierwiastek trzeciego stopnia z 27 centymetrów sześciennych a ostatecznie R równa się trzem centymetrom. W każdej kuli możemy wyróżnić jej promień oznaczany dużą literą R oraz jej środek. Wzór na objętość kuli to 4/3 razy pi razy promień do sześcianu. Koło wielkie kuli ma taki sam promień jak ta kula. Kołem wielkim Ziemi jest równik. Zobaczyłeś właśnie jeden z filmów o kulach. Zachęcam Cię do zobaczenia. Innych filmów z tej playlisty a także do odwiedzenia naszej strony internetowej pi-stacja.tv