Czy wiesz, że taka dobrze Ci znana mapa świata jest nieprawidłowa? Tak zwana mapa Merkatora bardzo mocno zaburza wielkości niektórych terytoriów. Grenlandia jest na niej większa od Afryki chociaż w rzeczywistości to Afryka jest prawie 15-krotnie większa od Grenlandii. Dlaczego tak się dzieje? Dowiesz się z tego filmu. Na ekranie widzisz soczystą pomarańczę. Możemy przyjąć, że ta pomarańcza podobnie jak większość pomarańczy ma kształt kuli. Co na niej zaznaczyłem? To środek kuli, który zaznaczyłem dużą literą O. Jej promień, który oznaczyłem dużą literą R. Oraz powierzchnię tej kuli którą oznaczyłem dużą literą P. Czym będzie powierzchnia kuli w przypadku pomarańczy? To oczywiście jej skórka. Jak możemy obliczyć pole powierzchni takiej pomarańczy? Spróbujmy ją obrać i zobaczymy jaką figurę otrzymamy. Jeżeli będziemy ostrożnie obierać pomarańczę to otrzymamy taką figurę. Czy coś Ci ona przypomina? Albo inaczej, czy jesteśmy w stanie policzyć jej pole powierzchni? Wydaje się to skomplikowane. Nie przypomina żadnej znanej nam figury ale wzór na jej powierzchnię jest znany od ponad 2200 lat. Podał go znany grecki naukowiec Archimedes. Oto ten wzór. Pole powierzchni kuli to 4 razy pi razy promień tej kuli do kwadratu. Powierzchnię kuli w przestrzeni nazywamy sferą. Jeżeli w naszej pomarańczy wydłubiesz ze środka cały miąższ ale skórkę pozostawisz nienaruszoną to otrzymasz sferę. Inaczej mówiąc sfera to kula pusta w środku. Trochę jak bombka choinkowa. Jak widzisz do wyznaczenia pola powierzchni kuli musimy znać jedynie jej promień. Widać też, że powierzchnia kuli nie jest prostokątem, co sugerują znane Ci mapy świata. Jak powiedzieliśmy przed chwilą mapy takie jak ta niezbyt dokładnie przedstawiają powierzchnie Ziemi. Czy istnieją dokładniejsze mapy albo inne sposoby aby dokładniej przedstawić Ziemię i jej kontynenty? Tak. Odpowiednie przykłady są bardzo zakręcone. Zaraz Ci je pokażę. Tutaj widzisz dwie mapy które w inny sposób przedstawiają powierzchnię Ziemi. Zauważ, jaki ciekawy mają kształt. Ta przypomina nieco naszą skórkę pomarańczy o której mówiliśmy przed chwilą. Zauważ, jak malutka jest Grenlandia w porównaniu z Afryką. Obie te mapy zachowują rzeczywiste proporcje kontynentów. Warto o tym pamiętać. Wiemy już w jaki sposób można obliczyć pole powierzchni kuli. Przetestujmy teraz naszą wiedzę w praktyce. Kula ma średnicę o długości 12 centymetrów. Oblicz pole powierzchni tej kuli. Co mamy zrobić w tym zadaniu? W tym zadaniu jesteśmy proszeni o wyznaczenie pola powierzchni kuli. Jaka to kula? Ma ona średnicę o długości 12 centymetrów. Zatrzymaj teraz film i na podstawie treści zadania sporządź odpowiedni rysunek. Następnie włącz film ponownie i porównaj swój rysunek z moim. Oto ona. Zaznaczyłem jej średnicę oraz środek tej kuli. No dobrze. Pamiętasz wzór na pole powierzchni kuli? Mam nadzieję, że tak. To 4pi r kwadrat. Czy możemy obliczyć już to pole? Nie znamy promienia, ale znamy średnicę. Ile będzie wynosił promień? Promień jest dwa razy krótszy od średnicy czyli ma długość 6 centymetrów. Świetnie. To teraz zatrzymaj film jeszcze raz i spróbuj samodzielnie wyznaczyć pole powierzchni kuli korzystając z tego wzoru. Następnie porównaj swoją odpowiedź z moją. W miejsce R podstawiam 6 centymetrów. Podnoszę 6 centymetrów do kwadratu a 6 centymetrów do kwadratu to 36 centymetrów kwadratowych. 4 razy 36, to 144 Pole powierzchni tej kuli to 144 razy pi centymetrów kwadratowych. A teraz mamy takie zadanie do rozwiązania. Ile metrów sześciennych powietrza zmieści się w balonie na uszycie którego zużyto 324 razy pi metrów kwadratowych materiału? Przyjmij, że balon ma kształt kulisty. O co jesteśmy proszeni w tym zadaniu? Musimy obliczyć ile metrów sześciennych powietrza zmieści się w balonie. Co wiemy o tym balonie? Wiemy ile materiału zużyto na jego uszycie. No dobrze. Jak wyznaczyć ilość powietrza w takim balonie? Inaczej mówiąc liczymy objętość tego powietrza. A czemu będzie ona równa? Objętość powietrza wypełniającego balon będzie równa objętości tego balonu. Czyli szukamy wzoru na objętość kuli. Pamiętasz jaki był wzór na objętość kuli? To 4/3pi R sześcian. Czego potrzebujemy aby wyznaczyć tę objętość? Promienia balonu. Czy go znamy? Jeszcze nie. Jak możemy go obliczyć? Zwróć uwagę na informacje jakie mamy. Wiemy ile materiału zużyto na uszycie tego balonu. Na uszycie tego balonu zużyto tyle materiału ile wynosi jego pole powierzchni czyli pole powierzchni kuli. A pamiętasz wzór na pole powierzchni kuli? To 4pi R kwadrat. Zauważ, że te dwa wzory są bardzo podobne do siebie. Musisz uważać aby ich ze sobą nie pomylić. Dobrze. Czy możemy wyznaczyć z tego R? Tak, znamy pole powierzchni kuli. Podstawmy tę wartość do tego wzoru. Po podstawieniu otrzymujemy że 324 razy pi metrów kwadratowych to 4pi R kwadrat. Spróbuj teraz samodzielnie wyznaczyć R. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Zauważam, że pi po obu stronach tego równania da się skrócić. Czyli 324 metry kwadratowe to 4R kwadrat. Dzielę teraz obustronnie przez 4 aby otrzymać samo R kwadrat. 324 podzielić na 4, to 81 W takim razie R kwadrat to 81 metrów kwadratowych czyli R wynosi 9 metrów. Świetnie, znamy już promień tego balonu. Czy możemy wyznaczyć już objętość powietrza? Pewnie, że tak. Spróbuj to zrobić samodzielnie. Podstawię do tego wzoru w miejsce R wyznaczoną wartość promienia czyli 9 metrów. 9 metrów do sześcianu to 729 metrów sześciennych. Możemy tę liczbę podzielić przez 3 i otrzymujemy, że objętość powietrza, to 4pi razy 243 metry sześcienne. Co w rezultacie daje 972 razy pi metrów sześciennych. Tyle powietrza mieści się w tym balonie. A teraz jeszcze jedno zadanie. Jak sądzisz, ile materiału jest potrzebne aby uszyć piłkę o objętości 500/3 razy pi centymetrów sześciennych? Jak widzisz, to zadanie jest bardzo podobne do poprzedniego. Idziemy tylko w drugą stronę. Czego szukamy? Musimy wiedzieć ile materiału potrzebujemy do uszycia piłki. A co wiemy o tej piłce? Znamy jej objętość. Jak wyznaczyć potrzebną ilość materiału? Musimy wyliczyć pole powierzchni tej kuli. Nie znamy jednak promienia. Ale znamy objętość. Tak, jak mówiliśmy w poprzednim zadaniu z objętości możemy wyznaczyć promień. Spróbuj to zrobić samodzielnie. Podstawiam do tego wzoru odpowiednie wartości liczbowe. Po obu stronach tego równania występuje pi. Mogę je więc skrócić. Teraz, aby otrzymać samo R do trzeciej mogę podzielić obustronnie przez 4/3. Dzielenie przez ułamek to to samo co mnożenie przez odwrotność czyli R do trzeciej to 500/3 razy 3/4. Tutaj skrócą nam się trójki. A 500 przez 4 to 125. R do trzeciej to 125 centymetrów sześciennych czyli R to 5. Nasza piłka ma promień 5 centymetrów. Teraz samodzielnie wyznacz pole powierzchni kuli. Pod R podstawiamy 5 centymetrów. Obliczamy i ostatecznie otrzymujemy że ta kula ma powierzchnię 100 razy pi centymetrów kwadratowych. Czyli tyle materiału musimy kupić. No dobrze, ale jak sądzisz co się stanie, gdy pójdziemy do sklepu i poprosimy o materiał o powierzchni 100pi? Musimy jakoś zaokrąglić ten nasz wynik. Załóżmy, że pi wynosi 22/7. W miejsce pi do naszego wyniku podstawiam wartość 22/7. Spróbuj teraz policzyć przybliżone pole powierzchni tej kuli. 100 razy 22 to 2200 Pole powierzchni tej kuli to 2200 przez 7 centymetrów kwadratowych. Otrzymuję, że pole tej powierzchni to w przybliżeniu 314,3 centymetra kwadratowego. W rzeczywistości jednak żeby uszyć taką piłkę potrzebujemy więcej materiału choćby na szwy a przy wykrawaniu elementów też zawsze pojawią się ścinki. Pamiętaj o tym w przyszłości. Rzeczy na styk rzadko kiedy się udają. Pole powierzchni kuli o promieniu R to 4pi razy R do kwadratu. Powierzchnią kuli jest sfera. Inaczej mówiąc sfera to kula pusta w środku. Zobaczyłeś właśnie kolejny film z playlisty o kulach. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do zasubskrybowania naszego kanału na YouTube PistacjaMatematyka.