Z tego filmu dowiesz się:

  • co to jest przekrój osiowy kuli,
  • jak obliczyć pole przekroju osiowego kuli.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Co otrzymasz po przecięciu kuli na pół? Oczywiście półkulę. A gdzie najłatwiej można spotkać półkulę? Na różnych budynkach w formie kopuły. Kopuły możesz spotkać na budynkach sakralnych, rządowych a nawet na prywatnych domach. Na ekranie masz narysowaną kulę. Zaznaczyłem środek tej kuli i oznaczyłem dużą literą O. Promień, oznaczyłem dużą literą R. Litera P oznacza powierzchnię tej kuli. Co jako pierwsze przychodzi Ci do głowy kiedy mówimy o przekrojach? Pewnie nóż i krojenie bryły. Przekrójmy tę kulę na pół tak, jak kroimy na przykład pomarańczę albo inne okrągłe owoce lub warzywa. Zobaczmy, co się stanie. Po przekrojeniu naszej bryły otrzymaliśmy dwie półkule. Albo inaczej mówiąc dwie identyczne połówki. Jaką figurę widzimy w miejscu przecięcia? Albo inaczej, jaka figura jest tutaj zamalowana innym kolorem? To koło. Tutaj mamy jedno koło. Tutaj drugie. Zauważ, że oba te koła mają taki sam promień duże R. Taki sam, jak promień kuli. Figurę, którą widać w miejscu przecięcia bryły nazywamy przekrojem. Być może pamiętasz to z lekcji o walcach i stożkach. Wśród przekrojów wyróżniamy jeden szczególny. Czy wiesz, albo czy może pamiętasz jak się nazywa? To tak zwany przekrój osiowy. Zawiera on w sobie oś obrotu danej bryły. W naszym przypadku te przekroje są przekrojami osiowymi. W jaki sposób to zapamiętać? Zauważ, że przekrój osiowy dzieli bryłę na dwie identyczne części. Co powinieneś z tego zapamiętać? Że przekrojem osiowym kuli jest koło które ma taki sam promień, jak ta kula. Oto pierwsze zadanie na rozgrzewkę. Dana jest kula o średnicy 14 centymetrów. Jakie jest pole przekroju osiowego tej kuli? Co mamy wyznaczyć w tym zadaniu? Pole przekroju osiowego kuli. Jaka jest ta kula? Możemy to odczytać z treści. Ma ona średnicę o długości równej 14 centymetrom. Zanim przejdziemy do obliczeń narysujmy tę kulę. Oto ona. Dodatkowo zaznaczyłem jej promień jak widzisz, oznaczony dużą literą R. No dobrze. Szukamy pola przekroju osiowego tej kuli. Czy jesteś w stanie wskazać tutaj przekrój osiowy? Ja zaznaczyłem go na zielono. Mam nadzieję, że pamiętasz o tym że przekrój osiowy to figura, którą widać w miejscu przecięcia bryły. Jaka figura jest przekrojem osiowym kuli? To koło. Skoro szukamy pola przekroju osiowego to musimy znaleźć pole tego koła. Jak to zrobić? Z pomocą przyjdzie nam wzór na pole koła pi r kwadrat. Jaki jest promień przekroju osiowego? Jest on równy promieniowi tej kuli. Znamy ten promień? Nie, ale znamy średnicę. Skoro średnica to 14 centymetrów to jak długi jest promień? Promień tej kuli ma długość 7 centymetrów. Możemy już obliczyć pole tego przekroju? Pewnie, że tak. Musieliśmy znać jedynie długość promienia. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć pole przekroju osiowego tej kuli. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. W miejsce R podstawiam wartość liczbową 7 centymetrów. Teraz należy 7 centymetrów podnieść do kwadratu. 7 centymetrów do kwadratu to 49 centymetrów kwadratowych. Pamiętamy jeszcze, że mnożymy przez pi. W takim razie pole przekroju osiowego to pi razy 49 centymetrów kwadratowych. Czy to wszystko? Tak, policzyliśmy wszystko o co byliśmy proszeni w treści zadania. Spójrzmy teraz no to zadanie. Przekrojem osiowym kuli jest koło o obwodzie równym 16 razy pi centymetrów. Oblicz pole powierzchni i objętość tej kuli. Narysujmy naszą kulę. Oto ona wraz z zaznaczonym promieniem. Co mamy obliczyć? Pole powierzchni oraz objętość tej kuli. Czy coś o niej wiemy? Tak, jak widzisz w pierwszym zdaniu jej przekrojem osiowym jest koło o obwodzie równym 16 razy pi centymetrów. No dobrze. Zastanówmy się teraz w jaki sposób obliczyć pole powierzchni oraz objętość tej kuli. Czy pamiętasz odpowiednie wzory? Spróbuj je zapisać samodzielnie. Objętość kuli to 4/3pi razy R do sześcianu. Natomiast pole powierzchni kuli to 4pi razy R do kwadratu. Zauważ, że te wzory są bardzo do siebie podobne. Zarówno tutaj, jak i tutaj znajduje się pi. Podobnie tutaj, jak i tutaj znajduje się czwórka. Pamiętaj jednak, że w objętości kuli zawsze jest ułamek 4/3 no i promień jest oczywiście do sześcianu. Natomiast w polu powierzchni kuli promień jest do kwadratu. Czego potrzebujemy do wyznaczeni zarówno objętości jak i pola powierzchni? Promienia. Tylko skąd go wziąć? Skupmy się na tym obwodzie. Zaznaczmy go na rysunku. Mówiliśmy to już wcześniej i zostało to jeszcze podkreślone w treści zadania. Przekrojem osiowym kuli jest koło. Znamy obwód tego koła. Czy pamiętasz, co szczególnego łączy przekrój osiowy z kulą? Mają taki sam promień. Czyli promień tego czerwonego koła jest taki sam, jak promień całej tej kuli. Czy możemy wyznaczyć ten promień? Tak. Możemy skorzystać ze wzoru na obwód. Obwód koła to oczywiście 2pi R. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć długość promienia. 16 razy pi centymetrów to 2pi R. Po obu stronach tego równania występuje liczba pi, więc mogę ją skrócić. W takim razie 16 centymetrów to 2R czyli promień tego koła a zarazem naszej kuli to 8 centymetrów. Świetnie, możemy już obliczyć zarówno objętość jak i pole powierzchni tej kuli. Ponownie zatrzymaj film i zrób to samodzielnie następnie porównaj otrzymane wyniki z moimi. Najpierw zabrałem się za objętość i pod R podstawiłem 8 centymetrów. 8 centymetrów do sześcianu to 512 centymetrów sześciennych. 512 niestety nie skraca się przez 3. W odpowiedzi będziemy mieli więc ułamek. Objętość kuli to 2048/3 razy pi centymetrów sześciennych. Dlaczego akurat tyle? 512 razy 4 to właśnie 2048. A pole powierzchni? Ponownie w miejsce R podstawiam 8 centymetrów. A 8 do kwadratu to 64. Mnożę 64 razy 4 i otrzymuję że pole powierzchni tej kuli to 256 razy pi centymetrów kwadratowych. Jak widzisz, w większości zadań z kulami wystarcza nam znajomość promienia. Dobra robota. Przekrojem osiowym kuli jest koło. Promień tego koła jest równy promieniowi kuli. Zobaczyłeś przed chwilą kolejny film o kulach. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do polubienia naszego fanpage'a na Facebook 'u PistacjaMatematyka.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Damian Artyszak

Konsultacja: Maria Mędrzycka

Grafika podsumowania: Joanna Mędrzycka

Materiały: Valeriia Malyk, Aleksandra Wojnicz

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Klaudia Abdeltawab, Татьяна Кравец

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

sosinda (CC0)
Engin_Akyurt (CC0)
rmac8oppo (CC0)
Gozitano (CC0)
annaklein (CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg