Z tego filmu dowiesz się:

  • czym są pierwiastki kwadratowe, pierwiastki sześcienne i pierwiastki wyższych stopni,
  • jak obliczać pierwiastki wyższych stopni,
  • jak obliczać wyrażenia z pierwiastkami.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Geneza symbolu pierwiastka nie jest do końca jasna. Niektórzy twierdzą, że pochodzi od pierwszej litery słowa oznaczającego po arabsku korzeń. W Europie pierwiastki najpierw oznaczono wielką literą R. Znak, którego używamy dzisiaj wprowadził niemiecki matematyk Christophe Rudolf w 1525 roku. Na pewno do tej pory spotkałeś się z pierwiastkami nie raz. Ile wynosi pierwiastek z trzydziestu sześciu? To oczywiście 6 ponieważ 6 do kwadratu daje nam właśnie 36. Inny przykład pierwiastka? Bardzo proszę! Ile wynosi pierwiastek ze 144? To oczywiście 12 ponieważ 12 do kwadratu daje nam 144. O liczbach, które znajdują się pod pierwiastkiem mówimy, że są to liczby podpierwiastkowe. W naszym przypadku było to 36 oraz 144. Zauważ, że najczęściej mówiąc potocznie o pierwiastkach mamy na myśli pierwiastki kwadratowe albo inaczej mówiąc pierwiastki drugiego stopnia. Czy znasz jakieś inne rodzaje pierwiastków? Powinieneś znać pierwiastki sześcienne. Ile wynosi pierwiastek sześcienny z 27? To 3, ponieważ 3 do sześcianu albo 3 do potęgi trzeciej to 27. A pierwiastek trzeciego stopnia ze 125? To 5 ponieważ 5 do sześcianu to 125. Pierwiastki sześcienne to inaczej mówiąc pierwiastki trzeciego stopnia. Jakie są tutaj liczby podpierwiastkowe? Tutaj liczbą podpierwiastkową jest 27 a tutaj 125. Zwróć uwagę na to, jak różni się notacja pierwiastka kwadratowego od pierwiastka sześciennego. Tutaj dodaliśmy trójkę. To oznacza, że tę liczbę należy podnieść do trzeciej potęgi aby otrzymać liczbę podpierwiastkową. Teoretycznie możesz się zastanawiać dlaczego nie piszemy tutaj dwójki. Tak się po prostu przyjęło. Kolokwialnie mówiąc o pierwiastku mamy na myśli pierwiastek kwadratowy. Wspominałem też wcześniej że pierwiastek kwadratowy to inaczej pierwiastek drugiego stopnia a pierwiastek sześcienny to pierwiastek trzeciego stopnia. Czy możemy mieć pierwiastki innych stopni? Zaraz się o tym przekonamy. Skupmy się na kolejnych potęgach dwójki. 2 do kwadratu to oczywiście 4. W takim razie możemy powiedzieć że pierwiastek drugiego stopnia to był pierwiastek kwadratowy albo po prostu pierwiastek z czterech równa się 2. 2 do sześcianu to 8 więc pierwiastek trzeciego stopnia z ośmiu albo pierwiastek sześcienny z ośmiu to 2. Jaką mamy kolejną potęgę dwójki? Zwiększamy wykładnik o 1. 2 do czwartej to oczywiście 16. W jaki sposób z szesnastu otrzymać 2? Bierzemy pierwiastek czwartego stopnia ponieważ 2 do czwartej to 16. Na pierwiastek czwartego stopnia nie mamy już zwyczajowej nazwy tak jak na pierwiastek kwadratowy czy pierwiastek sześcienny. Zwiększmy wykładnik o 1 raz jeszcze. Będzie mieć 2 do piątej, czyli 32. Jaki powinien być stopień pierwiastka aby z trzydziestu dwóch otrzymać dwójkę? Piąty. Zapisujemy to w ten sposób. Analogicznie jest z pierwiastkami innych stopni. Jeżeli 2 do dziesiątej to jest 1024 to pierwiastek dziesiątego stopnia z 1024 to 2. Zauważ, że stopnie pierwiastka zapisujemy tutaj. Pierwiastek stopnia dziesiątego pierwiastek stopnia piątego stopnia czwartego, stopnia trzeciego stopnia drugiego, o czym mówiliśmy dwójki tutaj nie zapisujemy. Możemy ogólnie zapisać że jeżeli b podniesione do n-tej potęgi jest równe a to pierwiastek stopnia n z liczby a jest równy b. Dobrze. Zauważ, że do tej pory wszędzie pod pierwiastkiem mieliśmy liczby dodatnie i jako odpowiedź mieliśmy również liczby dodatnie. Podnosiliśmy również jedynie liczby dodatnie do pewnej potęgi. Możemy podnosić do potęgi również liczby ujemne na przykład -2. -2 do kwadratu to 4. -2 do sześcianu to -8. -2 do potęgi czwartej to 16. Do potęgi piątej, -32 i do potęgi dziesiątej 1024. A czy możemy pierwiastkować liczby ujemne? Zauważ, że potęgi parzyste dwójki i minus dwójki, są takie same. Otrzymujemy 4, 16 oraz 1024. Natomiast potęgi nieparzyste trzeciego stopnia oraz piątego stopnia mają inny znak. 2 do trzeciej to 8 a -2 do trzeciej to -8. Natomiast 2 do piątej to 32 a -2 do piątej to -32. No dobrze, to ile wyniesie pierwiastek trzeciego stopnia z minus ośmiu? To -2. Ponieważ -2 do potęgi trzeciej daje nam -8. Tak samo pierwiastek piątego stopnia z minus trzydziestu dwóch również da nam -2, ponieważ -2 do potęgi piątej daje nam -32. W takim razie, czy możemy policzyć pierwiastek z minus czterech pierwiastek czwartego stopnia z minus szesnastu i pierwiastek dziesiątego stopnia z -1024? Nie. Mogłoby się wydawać że również to będzie -2 ale -2 do kwadratu daje nam 4 a nie -4. Tak samo -2 do czwartej daje nam 16, a nie -16. I tak dalej. -2 do dziesiątej daje 1024, a nie -1024. Zapamiętaj, że jeżeli mamy potęgę parzystego stopnia drugą, czwartą, dziesiątą i tak dalej to nie istnieją pierwiastki z liczb ujemnych parzystego stopnia pierwiastek z minus czterech minus szesnastu czy minus 1024. Natomiast, jeżeli mamy potęgi stopnia nieparzystego, trzeciego, piątego i tak dalej, to mamy też pierwiastki z liczb ujemnych tych stopni stopnia trzeciego i stopnia piątego pomimo że zarówno 2 jak i -2 do potęgi czwartej daje nam 16, to pierwiastek czwartego stopnia z szesnastu to 2. Po prostu umawiamy się że pierwiastek parzystego stopnia nie może dać nam wyniku ujemnego. Zajmijmy się teraz działaniami na pierwiastkach. Ile to pierwiastek z czterech razy pierwiastek z dziewięciu? Możemy po prostu powiedzieć że pierwiastek z czterech to 2 a pierwiastek z dziewięciu to 3 a 2 razy 3 daje nam 6. Ale możemy to również zrobić w inny sposób. Jeżeli liczymy iloczyn pierwiastków takiego samego stopnia a mamy tu pierwiastek drugiego stopnia to możemy powiedzieć że iloczyn pierwiastków jest równy pierwiastkowi z iloczynu liczb podpierwiastkowych. Czyli to mnożenie wstawiamy pod znak pierwiastka. 4 razy 9 to 36 a pierwiastek z trzydziestu sześciu to 6. Otrzymujemy taki sam wynik. Jest to jedno z najczęściej wykorzystywanych praw działań na pierwiastkach. Pierwiastek a razy pierwiastek z b jest równy pierwiastkowi z a razy b. Ważne jest, aby te pierwiastki były takiego samego stopnia. Spójrz na ten przykład. Mamy pierwiastek z trzech razy pierwiastek z siedmiu razy pierwiastek z dwudziestu jeden. Nie możemy wykorzystać tej metody. Ani 3, ani 7, ani 21 nie są kwadratami liczby naturalnej. Ale możemy wykorzystać ten sposób. Wpisujemy wszystko pod znak pierwiastka. I otrzymujemy pierwiastek z trzech razy 7 razy 21. 3 razy 7 to 21 a 21 razy 21 to 21 do kwadratu. Ile wynosi pierwiastek z dwudziestu jeden do kwadratu? Oczywiście to 21. Wykorzystując to prawo mogliśmy obliczyć wartość tego wyrażenia. A co w przypadku dzielenia? I co, jeżeli mamy inny stopień niż drugi? Ile to pierwiastek trzeciego stopnia z dwudziestu siedmiu przez pierwiastek trzeciego stopnia z ośmiu? To jest równe trzem a to jest równe dwóm. Otrzymujemy 3/2. Zauważ, że mamy dwa pierwiastki takiego samego stopnia trzeciego stopnia. Możemy tak jak poprzednio włączyć działanie pod znak pierwiastka. Tym razem będzie to dzielenie czyli pierwiastek trzeciego stopnia z 27 przez pierwiastek trzeciego stopnia z 8 to inaczej pierwiastek trzeciego stopnia z 27 przez 8 albo z 27/8. A tutaj ładnie widać, że jest to 3/2. A teraz zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć wartość tego wyrażenia. Następnie włącz film ponownie i porównaj swój wynik z moim. Możemy zauważyć że w liczniku i w mianowniku mamy iloczyny pierwiastków czwartego stopnia. To możemy zapisać w taki sposób. 8 razy 10 to oczywiście 80 a 20 razy 1/2 to 10. Teraz możemy zauważyć że dzielimy przez siebie pierwiastki takich samych stopni co możemy zapisać pod jednym symbolem pierwiastka. Ostatecznie otrzymujemy pierwiastek czwartego stopnia z 8 razy pierwiastek z dwóch. Zauważ, że pierwiastka z dwóch i pierwiastka czwartego stopnia z 8 już nie możemy wymnożyć ponieważ są różnych stopni. A na koniec ostatnie zadanie. Ile to pierwiastek z dwudziestu pięciu minus pierwiastek z szesnastu? Zatrzymaj film i odpowiedz samodzielnie. Ile Ci wyszło? Czy włączyłeś może pod znak pierwiastka uzyskałeś pierwiastek z dziewięciu i wyszło Ci 3? To bardzo niedobrze. Nigdy, przenigdy nie można tak robić. Włączać pod znak pierwiastka można tylko przy mnożeniu i dzieleniu. Zauważ, że pierwiastek z 25 to po prostu 5. Pierwiastek z 16 to 4 a 5 minus 4 to 1, a nie 3. Zapamiętaj to! Pierwiastek n-tego stopnia z liczby a odpowiada na pytanie jaką liczbę należy podnieść do n-tej potęgi, aby otrzymać a. Dla pierwiastków wyższych stopni działają analogiczne wzory jak dla pierwiastków kwadratowych. Zobaczyłeś właśnie film z playlisty o potęgach i pierwiastkach. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do zasubskrybowania naszego kanału na YouTubie PistacjaMatematyka.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Damian Artyszak

Konsultacja: Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Agnieszka Opalińska

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Ewelina Łasa, Татьяна Кравец

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Nathan Hughes Hamilton (CC BY 2.0)
Pettycon (CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg