Związek między pierwiastkowaniem a potęgowaniem

Współczesny symbol potęgowania wprowadził Kartezjusz w swoim dziele „Geometria”. A jakie nazwy stosowano wcześniej? Podobnie jak teraz, na drugą potęgę mówiono „quadratum”, czyli kwadrat. A na trzecią „cubus”, czyli sześcian. Ciekawą nazwę ma piąta potęga „surdesolidum” czyli głucha bryła. Przypomnijmy sobie, co wiesz o potęgach. Na pewno dobrze znasz potęgi o wykładniku naturalnym na przykład 2 do kwadratu, czyli 4. Tak samo istnieją potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym na przykład 2 do minus drugiej. Ile to wynosi? To to samo, co 1/2 do kwadratu, czyli 1/4. Zobacz, tak samo jak mamy liczby naturalne tak mamy potęgę o wykładniku naturalnym. Mamy liczby całkowite, więc mamy też potęgę o wykładniku całkowitym. Oprócz liczb naturalnych i całkowitych możemy wyróżnić również ułamki czyli liczby wymierne. Czy istnieje potęga o wykładniku niecałkowitym? Na przykład 2 do potęgi jednej drugiej? Ile to może być? Wyobraźmy sobie, że mnożymy dwie takie liczby: 2 do jednej drugiej razy 2 do jednej drugiej. Mamy do czynienia z dwiema potęgami o takiej samej podstawie. Oczywiście chcielibyśmy aby zachowywały się one analogicznie do potęg o wykładniku całkowitym. Czyli możemy dodać ich wykładniki. 1/2 dodać 1/2 to oczywiście 1 czyli otrzymujemy 2 do pierwszej czyli po prostu 2. Zauważ, że tutaj mnożymy przez siebie 2 razy identyczną liczbę. Czyli mówiąc inaczej, podnosimy 2 do potęgi jednej drugiej do kwadratu. Wiemy, że to równa się 2. Jak obliczyć, ile to jest 2 do jednej drugiej? Musimy spierwiastkować dwójkę. Zobacz jakie mamy ciekawe odkrycie! Okazuje się, że podnosząc liczbę do potęgi która jest ułamkiem otrzymujemy pierwiastek! W tym wypadku 2 do jednej drugiej to pierwiastek kwadratowy z dwóch. Ciekawe, prawda? A co jeżeli podnieślibyśmy dwójkę na przykład do potęgi jednej trzeciej? Jak myślisz, jaki pierwiastek otrzymamy? Aby to odkryć, zrobimy to samo co poprzednio, wymnożymy tę liczbę przez siebie, ale tym razem zrobimy to 3 razy. Dlaczego? Ponieważ w wykładniku mamy 1/3. Ten iloczyn możemy zapisać w takiej postaci. Sumując wykładniki otrzymujemy 1 a 2 do pierwszej to 2. Tym razem możemy zapisać że 2 do jednej trzeciej do potęgi trzeciej równa się 2. Jak w takim razie obliczyć 2 do jednej trzeciej? Musimy znowu spierwiastkować ale tym razem będziemy mieć pierwiastek trzeciego stopnia albo inaczej mówiąc pierwiastek sześcienny. I o to chodziło! 2 do potęgi jednej trzeciej to pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch. Możesz podobny dowód wykonać dla dowolnej liczby będącej w podstawie i dla dowolnego wykładnika. Ogólną zasadę możemy zapisać w następujący sposób: a do potęgi 1 przez n to to samo, co pierwiastek n-tego stopnia z a. Zróbmy kilka przykładów dla utrwalenia. Jak myślisz, czemu będzie równe 5 do potęgi jednej piątej? W naszym przypadku a równa się 5 natomiast n również równa się 5 czyli otrzymamy pierwiastek piątego stopnia z pięciu. A tutaj? Jak sądzisz? Pierwiastek szóstego stopnia ponieważ mamy potęgę jedną szóstą z sześćdziesięciu czterech. Czy to koniec? Zauważ, że 64 to to samo co 2 do potęgi szóstej. Pierwiastek szóstego stopnia z 2 do potęgi szóstej to oczywiście 2 ponieważ potęgowanie i pierwiastkowanie są działaniami odwrotnymi. A 81 do potęgi jednej trzeciej? Wiadomo, pierwiastek trzeciego stopnia z osiemdziesięciu jeden. 81 możemy zaś zapisać jako 3 do potęgi czwartej. Dalej, możemy to zapisać jako 3 do potęgi trzeciej razy 3. 3 do trzeciej możemy wyłączyć z pierwiastka i ostatecznie otrzymujemy 3 razy pierwiastek trzeciego stopnia z trzech. Poznaliśmy przed chwilą potęgi o wykładniku wymiernym. Wiemy już, że są to pierwiastki. Jednakże wszystkie przykłady które rozwiązywaliśmy były w postaci ułamków 1 przez n. A co jeżeli w liczniku tego ułamka będzie jakaś inna liczba? Na przykład, ile to będzie 2 do potęgi trzech drugich? Możemy 3/2 zapisać w taki sposób że jest to 1/2 razy 3. A teraz korzystając z prawa działań na potęgach, możemy to zapisać w takiej postaci, że jest to 2 do potęgi jednej drugiej i całe podniesione do potęgi trzeciej. Dobrze wiemy, ile to jest 2 do jednej drugiej, to pierwiastek z dwóch. Czyli otrzymujemy pierwiastek drugiego stopnia z dwóch do potęgi trzeciej. A teraz korzystając z prawa działań na pierwiastkach możemy tę potęgę włączyć pod pierwiastek. Czyli jest to pierwiastek kwadratowy z dwóch do trzeciej czyli pierwiastek kwadratowy z ośmiu. Ostatecznie wyciągamy jeszcze dwójkę przed pierwiastek i otrzymujemy, że ta liczba to 2 pierwiastki z dwóch albo że jest to pierwiastek drugiego stopnia z 2 do potęgi trzeciej. No dobrze, a jak myślisz ile jest równe 5 do potęgi dwóch piątych? Zatrzymaj teraz film prześledź dokładnie tok rozumowania i odpowiedz samodzielnie. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Najpierw zapisujemy 2/5 jako 1/5 razy 2 czyli 5 do jednej piątej do kwadratu czyli pierwiastek piątego stopnia z pięciu do kwadratu czyli pierwiastek piątego stopnia z pięciu do kwadratu, czyli ostatecznie pierwiastek piątego stopnia z dwudziestu pięciu. Wzór ogólny jest następujący: jeżeli a podnosimy do potęgi m przez n to w rezultacie otrzymujemy pierwiastek n-tego stopnia z liczby a do potęgi m. W naszym pierwszym przykładzie a równa się 2, m równa się 3 a n równa się 2 i otrzymaliśmy pierwiastek drugiego stopnia z 2 do potęgi trzeciej czyli inaczej 2 pierwiastki z dwóch. W drugim przykładzie a równa się 5, m równa się 2 a n również równa się 5 czyli pierwiastek piątego stopnia z 5 do kwadratu ,czyli pierwiastek piątego stopnia z dwudziestu pięciu. A teraz wykorzystamy zdobytą wiedzę do rozwiązania tych przykładów. Na początku 4 do potęgi minus trzech drugich. Jak to rozwiązać? Czy ten minus tam przeszkadza? 4 do potęgi minus trzech drugich możemy też zapisać jako 1/4 do potęgi trzech drugich. A dalej zgodnie ze wzorem będzie to pierwiastek kwadratowy z 1/4 do potęgi trzeciej czyli pierwiastek z 1 przez 4 do potęgi trzeciej. 4 do trzeciej to 64. A pierwiastek z sześćdziesięciu czterech to 8, czyli otrzymujemy ostatecznie 1 przez 8. Dobrze, spróbuj samodzielnie zrobić drugi przykład. 32 do jednej piątej to pierwiastek piątego stopnia z trzydziestu dwóch. Ale to nie koniec! 32 to 2 do piątej, czyli ostatecznie otrzymujemy, że ta potęga równa się 2. A teraz ten przykład: 2 i 1/2 do potęgi minus jednej czwartej. Na początku powinniśmy zapisać ten ułamek jako ułamek zwykły. 2 i 1/2 to inaczej 5/2. Dokończ ten przykład samodzielnie. Jako że mamy tutaj minus, robimy to samo co w pierwszym przykładzie. Zapisujemy to w postaci 2/5 do potęgi jednej czwartej czyli pierwiastek czwartego stopnia z 2/5. A tutaj? Na początku powinniśmy zamienić 0,5 na ułamek zwykły i wykładnik na ułamek zwykły. 0,5 to oczywiście 1/2 natomiast 1 i 1/2 to 3/2. Dokończ ten przykład samodzielnie. Będzie to pierwiastek kwadratowy z 1/2 do sześcianu a 1/2 sześcianu to 1/8. Otrzymujemy pierwiastek z 1/8. Pozostałe przykłady zrób w całości samodzielnie. 27 do dwóch trzecich to pierwiastek trzeciego stopnia z dwudziestu siedmiu do kwadratu. Ale możemy też zauważyć że 27 to 3 do potęgi trzeciej. Czyli 3 do potęgi trzeciej do potęgi dwóch trzecich. Mnożymy wykładniki i ostatecznie otrzymujemy 3 do kwadratu, czyli 9. A 16 do minus pięciu czwartych? Też możemy zauważyć że 16 to 2 do czwartej czyli mamy 2 do czwartej do potęgi minus pięciu czwartych czyli 2 do minus piątej, czyli 1/32. I ostatni przykład: 2 do potęgi 0,6. Zamieniamy wykładnik na ułamek zwykły i liczymy dalej — 2 do trzech piątych to pierwiastek piątego stopnia z dwóch do trzeciej czyli pierwiastek piątego stopnia z ośmiu. Gratulacje! Jeżeli podnosimy liczbę do potęgi która jest wymierna to ją pierwiastkujemy pierwiastkiem odpowiedniego stopnia. Zobaczyłeś właśnie kolejny film o potęgach i pierwiastkach. Zachęcam Cię także do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do polubienia naszego fanpage'a na Facebooku — PistacjaMatematyka!