Potęgi i pierwiastki - zadania dowodowe

Jak myślisz, ile wynosi ta liczba? Jej policzenie jej na kalkulatorze jest karkołomne, a co dopiero na kartce! Ale umiemy w łatwy sposób wykazać że ta liczba jest podzielna przez 21. W jaki sposób? Dowiesz się z tego filmu. Mamy teraz takie zadanie: wykaż, że liczba 4 razy 2 do setnej dodać 2 do setnej jest podzielna przez 5. W jaki sposób możemy to zrobić? Czy pamiętasz, jaka jest cecha podzielności przez 5? Liczba jest podzielna przez 5 jeżeli w jej zapisie dziesiętnym ostatnią cyfrą jest 0 albo 5. W tym przypadku niestety nie możemy skorzystać z tej właściwości, musielibyśmy obliczyć wartość tego wyrażenia a jest to trudne do zrobienia nawet z wykorzystaniem kalkulatora ponieważ wynik ma 31 cyfr. Musimy więc wykorzystać jakiś inny sposób. Jaki? Będziemy się starali udowodnić że nasza liczba równa się 5 razy jakaś inna liczba całkowita. Ja oznaczyłem ją małą literą k. Zobacz, tak samo jak wiemy że 100 jest podzielne przez 5 ponieważ to 5 razy 20. Małe k to w tym przypadku 20. Albo 65 jest podzielne przez 5 ponieważ to 5 razy 13. W tym wypadku nasze małe k równa się 13. Dlaczego jest tak ważne aby k było liczbą całkowitą? Bo inaczej z tego zapisu, który jest prawdziwy, wynikałoby, że 5 dzieli 12 a wiemy, że jest to nieprawda. Tak więc musimy tutaj znaleźć jakąś piątkę. Zauważmy, że tutaj i tutaj mamy takie same czynniki. Jakie? 2 do potęgi setnej. Możemy więc wyłączyć je przed nawias. Z pierwszego składnika włączamy 2 do setnej i zostaje nam czwórka. Natomiast z drugiego składnika przez co trzeba pomnożyć 2 do setnej aby otrzymać 2 do setnej? Oczywiście przez 1. Zostaje nam jedynka. Wykonujemy działania w nawiasie i otrzymujemy, że ta liczba to inaczej 2 do setnej razy 5. Czy to koniec zadania? Tak, udowodniliśmy, że nasza liczba jest podzielna przez 5. To co otrzymamy, jeżeli podzielimy ją przez 5? 2 do setnej razy 5 podzielone przez 5 to 32 do setnej. Udowodniliśmy podzielność tej liczby. Ponieważ w zadaniu na dowód nie można zwykle napisać odpowiedzi, to kończąc dowód zaznaczamy to w inny sposób. Stawiamy znak końca dowodu. Być może już coś takiego kiedyś widziałeś. Można napisać na przykład „cbdu.” co się rozwija jako „co było do udowodnienia” albo „ckd.” — „co kończy dowód.” My narysujemy po prostu pusty kwadracik. To też oznacza koniec dowodu. W taki sam sposób udowodnimy, że liczba którą widziałaś na samym początku filmu jest podzielna przez 21. Dobrze. Wykażemy za chwilę, że ta liczba jest rzeczywiście podzielna przez 21. W jaki sposób to pokazać? Musimy ją zapisać w postaci 21 razy jakaś inna dowolna liczba całkowita. Wtedy wykażemy podzielność. Co robiliśmy w poprzednim zadaniu? Wyłączaliśmy jakiś wspólny czynnik przed nawias. Pytanie do Ciebie: czy mamy tutaj jakieś wspólne czynniki? Na pierwszy rzut oka, nie. Ale zauważ, że te wszystkie 3 liczby to potęgi czwórki które nieznacznie różnią się wykładnikami. Tak naprawdę różnią się o 1. Tu mamy 2018 tutaj większy o 1 — 2019 i kolejny, znowu większy o 1 — 2020. Niestety nie mamy wzoru na dodawanie potęg o tych samych podstawach. Istnieją tylko wzory na mnożenie i dzielenie. Ale dzięki temu, że te wykładniki są blisko siebie możemy zastosować pewną sztuczkę. Zapiszemy 4 do potęgi dwa tysiące dziewiętnastej w inny sposób, korzystając z prawa działań na potęgach. Możemy wykładnik rozpisać, że to 2018 dodać 1. A z prawa działań na potęgach możemy zapisać tę liczbę jako 4 do potęgi dwa tysiące osiemnastej razy 4 do potęgi pierwszej czyli po prostu 4 do potęgi dwa tysiące osiemnastej razy 4. Zauważ, że zapisując w ten sposób mamy ten sam czynnik 4 do potęgi dwa tysiące osiemnastej. A teraz zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie przekształcić 4 do potęgi dwa tysiące dwudziestej w taki sposób aby otrzymać ją w postaci iloczynu 4 do dwa tysiące osiemnastej jakiejś innej liczby. Analogicznie zapisujemy że 4 do potęgi dwa tysiące dwudziestej to to samo, co 4 do potęgi dwa tysiące osiemnastej plus 2. Czyli to 4 do potęgi dwa tysiące osiemnastej razy 4 do potęgi drugiej, czyli 4 do potęgi dwa tysiące osiemnastej razy 16. W ten sposób otrzymaliśmy w każdym z tych składników 4 do potęgi dwa tysiące osiemnastej. Zatrzymaj teraz film i wyłącz odpowiedni czynnik przed nawias. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Powinieneś otrzymać 4 do potęgi dwa tysiące osiemnastej razy, w nawiasie 1 dodać 4 dodać 16. Wykonujemy działania w nawiasie i otrzymujemy 4 do potęgi dwa tysiące osiemnastej razy 21. Zapisaliśmy tę liczbę w postaci 21 razy jakaś inna liczba całkowita i tym samym udowodniliśmy że jest ona podzielna przez 21. W tym zadaniu z kolei udowodnimy że zachodzi następująca równość. W jaki sposób należy to zrobić? Musimy pokazać, że lewa strona tego równania jest równa prawej stronie tego równania. No dobrze, w jaki sposób to zrobić? Zauważ, że w tym równaniu mamy dwójki podniesione do różnych potęg. 4 to 2 do kwadratu, tutaj mamy 2 do potęgi 1/9, tutaj dwójkę i pierwiastek z dwóch. Spróbujmy uprościć wyrażenie po obu stronach i zobaczyć, czy uda nam się je doprowadzić do tej samej postaci. Zacznijmy od lewej strony. Jak już mówiłem, 4 to inaczej 2 do kwadratu, które podnosimy do potęgi 1/2. Całe wyrażenie w nawiasie podnosiliśmy do potęgi 1,8 którą zapisałem w postaci ułamka zwykłego aby wszystkie wykładniki były w tej samej postaci. 2 do kwadratu do potęgi 1/2 to tyle samo co 2 do potęgi 2 razy 1/2. Otrzymujemy, że to jest 2 do pierwszej. Mamy teraz iloczyn dwóch potęg o takich samych podstawach. 2 do pierwszej razy 2 do 1/9. Dodajemy wykładniki i otrzymujemy, że to 2 do 10/9. Podnosimy to jeszcze do potęgi 9/5 i ostatecznie otrzymujemy 2 do kwadratu. Jeżeli coś było dla Ciebie powiedziane za szybko albo czegoś nie zrozumiałeś powtórz ten fragment jeszcze raz. Dobrze, uprościliśmy lewą stronę równania. Teraz samodzielnie zrób to samo z prawą stroną tego równania. Pierwiastek z dwóch to inaczej 2 do 1/2. 2 przez 2 do 1/2 to to samo co 2 do potęgi 1 minus 1/2 czyli 2 do 1/2 do potęgi czwartej czyli ostatecznie 2 do kwadratu. Prawa strona jest równa lewej stronie. Czyli uzasadniliśmy, że ta równość jest spełniona. Dobra robota! A na koniec mamy takie zadanie. Uzasadnij, że jeżeli A to 3 do potęgi 4 pierwiastki z dwóch plus 2 a B to 3 do potęgi 2 pierwiastki z dwóch plus 3 to B równa się 9 pierwiastków z A. Spróbuj to zadanie zrobić w całości samodzielnie. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Musimy pokazać, że B i 9 pierwiastków z A to to samo. Podobnie jak w poprzednim zadaniu będziemy przekształcać wyrażenia. Zacznijmy od bardziej skomplikowanej strony. Wbrew pozorom od prostszej zwykle trudniej jest wyjść. W miejsce A podstawiamy tę liczbę. Czyli mamy 9 razy pierwiastek z trzech do potęgi 4 pierwiastki z dwóch plus 2. 9 to inaczej 3 do kwadratu. Natomiast tutaj zamiast pierwiastka możemy podnieść tę liczbę do potęgi 1/2. Skoro podnosimy jakąś potęgę do potęgi to mnożymy wykładniki. Mamy 3 do potęgi 4 pierwiastki z dwóch plus 2 razy 1/2. Zauważ, że mnożymy tutaj dwie potęgi o takich samych podstawach, czyli możemy dodać do siebie te 2 wykładniki. 3 do potęgi 2 plus 4 pierwiastki z dwóch plus 2 razy 1/2. Teraz pozbądźmy się nawiasu i otrzymujemy 2 pierwiastki z dwóch czyli 4 pierwiastki z dwóch razy 1/2 dodać 1, czyli 2 razy 1/2. 2 plus 1 to jest oczywiście 3 czyli otrzymujemy 3 do potęgi 2 pierwiastki z dwóch plus 3. A to jest liczba B! Udowodniliśmy zatem że B to 9 pierwiastków z A. Nie ma wzoru na dodawanie potęg o tej samej podstawie ale jeżeli wykładniki są sobie bliskie to można spróbować wyłączyć wspólny czynnik przed nawias. Zobaczyłeś właśnie kolejny film z playlisty o potęgach i pierwiastkach. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do odwiedzenia naszej strony internetowej pi–stacja.tv