Definicja logarytmu

Logarytmy po raz pierwszy pojawiły się w książce szkockiego matematyka Johna Nepera pod tytułem Opis zadziwiających tablic logarytmów z 1614 roku. Szwajcarski astronom i matematyk Jost Burgi odkrył logarytmy wcześniej niż Neper, ale swoje tablice opublikował dopiero w 1620 roku pod tytułem: Arytmetyczne i geometryczne tablice postępów. Na samym początku tej lekcji zastanowimy się nad takim prostym pytaniem: Do jakiej potęgi należy podnieść 2, aby otrzymać 8? Każdy na pewno bez problemu odpowie, że do potęgi trzeciej. Pokażę ci teraz, jak za pomocą symboli matematycznych zapisać to pytanie. Po lewej stronie tego równania mamy potęgowanie, a po prawej stronie mamy liczbę 8. Podstawą tego potęgowania jest liczba 2. W wykładniku mamy znak zapytania. Chcemy się przecież dowiedzieć, do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2, aby otrzymać 8. Wiemy, że 2 do potęgi trzeciej to 8. Możemy więc powiedzieć, że w miejsce znaku zapytania należy wstawić liczbę 3. Pokażę ci teraz, jak jeszcze inaczej w języku matematyki możemy zapisać to pytanie. Spójrz na taki zapis: Skupmy się na chwilę na lewej części tej równości. Najpierw opowiem ci, jak czytamy ten zapis. Czytamy go w taki oto sposób: logarytm o podstawie 2 z liczby 8. Ten zapis możemy też przeczytać nieco inaczej. A jak? Logarytm przy podstawie 2 z liczby 8. Logarytmy mają ścisły związek z potęgowaniem, które nie sprawia wcale uczniom tylu problemów. Powiedziałem przed chwilą, że to pytanie możemy zapisać również w taki oto sposób: logarytm o podstawie 2 z liczby 8 oznacza wykładnik potęgi, do której należy podnieść liczbę 2, aby otrzymać 8. Dokładnie w taki sposób należy myśleć o logarytmach. Doskonale pamiętam, jak miałem kiedyś trudności z zapamiętaniem, jak działa logarytm. Dopóki nie zapamiętałem, jak działa logarytm, rysowałem sobie takie strzałeczki i powtarzałem sobie: Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2, aby otrzymać liczbę 8. Idąc tym tropem możemy zapisać, że logarytm o podstawie 2 z liczby 8 równa się 3, bo 2 do potęgi trzeciej równa się 8. W tym jednym prostym przykładzie zawarta jest cała esencja działania logarytmów. W kolejnych lekcjach będziemy badali ciekawe własności logarytmów i uczyli się wykonywać na nich różne działania. W tej lekcji zajmiemy się pojedynczymi logarytmami. Spójrz raz jeszcze na ten zapis Logarytm o podstawie 2 z liczby 8 Samo czytanie wskazuje nam na to, że liczba, która znajduje się nieco poniżej tego zapisu, jest podstawą logarytmu. To jest podstawa logarytmu. Uwierz mi na słowo, że warto to zapamiętać. Ta liczba z kolei w świecie logarytmów nazywa się liczbą logarytmowaną. Liczbą logarytmowaną tego logarytmu jest liczba 8. Spójrz teraz na takie pytanie: Do jakiej potęgi należy podnieść 3, aby otrzymać 81? To pytanie w języku matematycznym możemy zapisać w taki oto sposób: Do jakiej potęgi należy podnieść 3, aby otrzymać 81? 3 do potęgi czwartej to 81. Aby ta równość była prawdziwa, w miejsce znaku zapytania należy wstawić liczbę 4. A jak to samo pytanie możemy zapisać w postaci logarytmu? Zatrzymaj lekcję i spróbuj zrobić to samodzielnie. Pytanie zapisane w postaci logarytmu wygląda w taki oto sposób: Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 3, aby otrzymać 81? Jak przeczytasz ten zapis? Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć. Ten zapis możemy przeczytać na dwa sposoby Logarytm o podstawie 3 z liczby 81 albo logarytm przy podstawie 3 z liczby 81. Powiemy zatem, że logarytm o podstawie 3 z liczby 81 równa się 4, bo 3 do potęgi czwartej równa się 81. Tym razem mam dla ciebie nieco inne pytanie: Czy istnieje potęga, do której należy podnieść -2, aby otrzymać 8? Jak myślisz? Nie istnieje taka potęga, do której należy podnieść -2, aby otrzymać 8. Gdybyśmy zadali pytanie: do jakiej potęgi należy podnieść liczbę -2, aby otrzymać 8, to powiedzielibyśmy, że taka potęga nie istnieje. Zastanów się zatem, czy możemy obliczyć, ile to jest logarytm o podstawie -2 z liczby 8? Obliczając taki logarytm zastanawiamy się, do jakiej potęgi należy podnieść liczbę -2, aby otrzymać 8. Powiedzieliśmy już kilka razy, że taka potęga nie istnieje. Aby uniknąć takiej sytuacji, że nie jesteśmy w stanie obliczyć jakiegoś logarytmu przyjęło się, że podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią. Zanotujmy ten wniosek i spróbujmy go zapamiętać. Podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią. A dlaczego akurat dodatnią? Zastanówmy się, czy istnieje potęga, do której należy podnieść 0, aby otrzymać 8? Można to zapisać w taki oto sposób: 0 podniesione do jakiej potęgi da nam liczbę 8? Taka potęga nie istnieje. Oznacza to, że logarytm o podstawie 0 z liczby 8 również nie istnieje. Podstawa logarytmu nie może być liczbą ujemną i nie może być zerem. Dlatego mówimy, że podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią. Mam teraz dla ciebie kolejne pytanie: Czy istnieje potęga, do której należy podnieść 1, aby otrzymać 10? Jak myślisz? Taka potęga nie istnieje. A dlaczego? Liczba 1 podniesiona do jakiejkolwiek potęgi zawsze da nam jeden. Gdybyśmy zadali sobie zatem pytanie, do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 1, aby otrzymać liczbę 10, to powiedzieliśmy, że taka potęga nie istnieje. Czy jesteśmy w stanie obliczyć, ile to jest logarytm o podstawie 1 z liczby 10? No nie. Aby wykluczyć takie logarytmy, których nie jesteśmy w stanie obliczyć, zakładamy, że podstawa logarytmu nie może być liczbą 1. To jest kolejny wniosek, który warto zapamiętać. Zaraz pokażę ci jeszcze inny, dziwny przykład logarytmu. Tym razem zastanów się, czy istnieje potęga, do której należy podnieść 2, aby otrzymać -8? Podnosząc liczbę 2 do dowolnej potęgi nigdy nie otrzymamy liczby ujemnej. Taka potęga zatem nie istnieje. Gdybyśmy zadali sobie zatem pytanie: do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2, aby otrzymać liczbę -8, to powiedziebyśmy, że taka potęga nie istnieje. Co za tym idzie? Nie jesteśmy w stanie obliczyć, ile to jest logarytm o podstawie 2 z liczby -8. Jeszcze raz powtórzę, że nie potrafimy powiedzieć, do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2, aby otrzymać -8. Aby uniknąć takich przypadków przyjęło się, że liczba logarytmowana musi być liczbą dodatnią. To trzeci i ostatni wniosek, który warto zapamiętać. Oto definicja logarytmu: Logarytm o podstawie a z liczby b równa się c wtedy i tylko wtedy, gdy a podniesione do potęgi c równa się b. Przed chwilą sformułowaliśmy wnioski, które mówią nam, jakimi liczbami powinny być podstawa logarytmu i liczba logarytmowana. Pierwszy wniosek jest taki, że podstawa logarytmu musi być dodatnia. Podstawę logarytmu oznaczono literą a, Możemy zapisać: a musi być większe od zera. Kolejna informacja, o której należy pamiętać jest taka, że podstawa logarytmu nie może być jedynką. W języku matematyki zapiszemy to tak: a jest różne od jedynki. Pamiętaj również o tym, że liczba logarytmowana musi być dodatnia. Zapisujemy to w taki oto sposób: b jest większe od zera. Tę definicję wykorzystuje się do obliczania logarytmów. Zobacz: logarytm o podstawie 2 z liczby 8 równa się 3, bo 2 do potęgi trzeciej równa się 8. Widzisz, że podstawa logarytmu jest liczbą większą od zera i różną od 1. Liczba logarytmowana jest większa od zera. Wynikiem tego logarytmu jest liczba 3, którą oznaczono małą literą c. Spójrz na przykład: Logarytm o podstawie 10 z liczby 1000. By obliczyć ten logarytm, należy zastanowić się, do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 10, aby otrzymać tysiąc. 10 do potęgi trzeciej da nam 1000. Logarytm o podstawie 10 z liczby 1000 równa się zatem trzy. Teraz przykład dla ciebie: zatrzymaj lekcję i spróbuj samemu obliczyć, ile to jest logarytm o podstawie 4 z liczby 16. Aby obliczyć ten logarytm, zastanawiamy się, do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 4, aby otrzymać 16? 4 do potęgi drugiej da nam 16. Logarytm o podstawie 4 z 16 równa się 2. Kolejny przykład też jest dla ciebie. Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie obliczyć ile to jest: logarytm o podstawie 5 z liczby 625. Zastanawiamy się, do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 5 aby otrzymać 625. Taką liczbą jest liczba 4. 5 do potęgi czwartej to 625. Ile wynosi logarytm o podstawie 5 z ułamka 1/5? Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć. Tym razem zastanawiamy się, do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 5, aby otrzymać jedną piątą. 5 podniesione do potęgi minus pierwszej da nam jedną piątą. Tyle wynosi ten logarytm. Przed nami ostatnia porcja przykładów. Obliczmy, ile to jest logarytm o podstawie 1/4 z czterech. Do jakiej potęgi należy podnieść 1/4, aby otrzymać 4? Liczba 4 jest odwrotnością tego ułamka. 1/4 podniesiona do potęgi -1 da nam 4. Spójrz teraz na taki logarytm: Tutaj w podstawie mamy pierwiastek z dwóch. Liczbą logarytmowaną jest dwójka. Do jakiej potęgi należy zatem podnieść pierwiastek z dwóch, aby otrzymać 2? Pierwiastek z dwóch podniesiony do potęgi 2 da nam 2. Tyle wynosi ten logarytm. Obliczmy teraz, ile wynosi logarytm o podstawie 5 z pierwiastka z pięciu. Zastanawiamy się, do jakiej potęgi należy podnieść 5, aby otrzymać pierwiastek z 5. W tym przypadku potęgą będzie liczba wymierna. A jaka? Jedna druga. Jeśli liczbę 5 podniesiemy do potęgi 1/2, to otrzymamy pierwiastek z 5. Logarytm o podstawie a z liczby b to taka liczba c, do której należy podnieść liczbę a, aby otrzymać b. Podstawa logarytmu musi być liczbą większą od zera i różną od jedynki, a liczba logarytmowana musi być liczbą większą od zera. Na przykład logarytm o podstawie 2 z liczby 8 to 3 ponieważ liczba 2 podniesiona do potęgi trzeciej równa się 8. Zapraszam do obejrzenia kolejnych lekcji z tego działu, które wprowadzą cię w świat logarytmów. Jeśli chcesz być na bieżąco z nowymi lekcjami, zasubskrybuj nasz kanał.