Z tego filmu dowiesz się:

  • jak dodawać logarytmy,
  • jak obliczyć logarytm z iloczynu liczb,
  • jak odejmować logarytmy,
  • jak obliczyć logarytm z ilorazu liczb.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Suwak logarytmiczny działa na zasadzie dodawania logarytmów poprzez dodawanie różnej długości odcinków zaznaczonych na skali. Jest to praktyczne wykorzystanie równości którą poznasz w tej lekcji. Dzięki suwakowi mnożenie sprowadza się do dodawania. W przypadku suwaka dodawania odcinków na skalach. Już na samym początku tej lekcji mam dla Ciebie zadanie. Zatrzymaj ją i spróbuj samodzielnie obliczyć te dwa logarytmy. Zacznijmy od tego logarytmu. Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2 aby otrzymać 8? Dwa do potęgi trzeciej równa się 8. A do jakiej potęgi należy podnieść 2 aby otrzymać 4? 2 do potęgi drugiej równa się 4. Mam dla Ciebie jeszcze jedno zadanie. Zatrzymaj lekcję i spróbuj obliczyć, ile to jest logarytm o podstawie 2 z iloczynu liczb 8 i 4. 8 razy 4 to 32. Otrzymujemy logarytm o podstawie dwa z liczby 32. Do jakiej potęgi należy zatem podnieść liczbę 2, aby otrzymać 32? 2 do potęgi piątej to 32. Skoro wiemy, ile to jest logarytm o podstawie 2 z liczby 8 i logarytm o podstawie 2 z liczby 4 to obliczenie takiej sumy nie będzie dla nas problemem. Logarytm o podstawie 2 z liczby 8 to 3 a logarytm o podstawie 2 z liczby 4 to 2. Wiemy to z tych obliczeń. Otrzymujemy 3 dodać 2, czyli 5. Spróbujmy teraz poszukać trochę matematycznej magii która wynika z tych rozważań. Spójrz raz jeszcze na tę sumę. Wiemy, że logarytm o podstawie 2 z liczby 8 dodać logarytm o podstawie 2 z liczby 4 to 5. Spójrz teraz na ten logarytm który w podstawie ma również liczbę 2. Liczbą logarytmowaną jest iloczyn dwóch liczb: liczby 8 i liczby 4. Zwróć uwagę, że te liczby są liczbami logarytmowanymi w tych dwóch logarytmach. Logarytm o podstawie 2 z iloczynu liczb 8 i 4, to również 5. Możemy zatem stwierdzić, że logarytm o podstawie 2 z liczby 8 dodać logarytm o podstawie 2 z liczby 4 to jest to samo, co logarytm o podstawie 2 z iloczynu liczb 8 i 4. Zauważ, że wszystkie te logarytmy mają taką samą podstawę. Po prawej stronie równania mamy sumę dwóch logarytmów. Zobacz: jeśli podstawy dwóch logarytmów są identyczne i dodajemy do siebie te dwa logarytmy, to taką sumę możemy zapisać w postaci jednego logarytmu również o takiej samej podstawie z iloczynu liczb logarytmowanych. Zastanawiasz się pewnie po co to jest potrzebne. Spróbuj sam dojść do tego, obliczając tę sumę. Mamy tutaj logarytm o podstawie 6 z liczby 2 dodać logarytm o podstawie 6 z liczby 3. Moglibyśmy ugryźć ten przykład obliczając po kolei te dwa logarytmy i dodając do siebie wyniki. Zauważ jednak, że nie potrafimy powiedzieć do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 6 aby otrzymać liczbę 2. Tak samo nie potrafimy powiedzieć do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 6 aby otrzymać trzy. Możemy jednak skorzystać z techniki którą poznaliśmy przed chwilą. Zauważ że oba logarytmy mają taką samą podstawę. W tym przypadku taką sumę możemy zapisać w postaci jednego logarytmu o podstawie równej 6, z iloczynu liczb logarytmowanych które występują w tych dwóch logarytmach. 2 razy 3 to 6. Otrzymujemy logarytm o podstawie 6 z liczby 6. Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 6 aby otrzymać 6? Do potęgi pierwszej. Mimo tego, że nie byliśmy w stanie obliczyć oddzielnie tych dwóch logarytmów to byliśmy w stanie obliczyć sumę tych dwóch logarytmów. Zamieniliśmy ją na jeden logarytm z iloczynu liczb logarytmowanych. Możemy to robić wyłącznie wtedy kiedy logarytmy biorące udział w dodawaniu mają taką samą podstawę. Przyszła pora, aby uogólnić nasze rozważania. Logarytm o podstawie a z liczby b dodać logarytm o podstawie a z liczby c to jest to samo, co logarytm o podstawie a z iloczynu liczb b i c. Najważniejsze, aby pamiętać o tym że ten wzór możemy stosować wyłącznie wtedy, kiedy logarytmy biorące udział w dodawaniu mają taką samą podstawę. Pamiętaj o tym, że podstawa logarytmu musi być zawsze większa od zera i różna od 1 liczby logarytmowane muszą być większe od 0. Teraz przyszła kolej na zadanie dla Ciebie. Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie obliczyć, ile to jest logarytm o podstawie 10 z liczby 2, dodać logarytm o podstawie 10 z liczby 5. Znowu nie jesteśmy w stanie powiedzieć do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 10 aby otrzymać liczbę 2. Tak samo nie jesteśmy w stanie powiedzieć do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 10 aby otrzymać 5. Zwróć jednak uwagę, że w tej sumie występują dwa logarytmy o jednakowej podstawie. Co w takim przypadku możemy zrobić? W takim przypadku taką sumę możemy zapisać w postaci jednego logarytmu który również w podstawie ma liczbę 10 z iloczynu liczb logarytmowanych które występują w tych dwóch logarytmach. Otrzymujemy zatem logarytm o podstawie 10 z iloczynu liczby 2 i 5. 2 razy 5 to 10, więc otrzymujemy logarytm o podstawie 10 z liczby 10. Taki logarytm jest równy 1, ponieważ 10 podniesione do potęgi pierwszej da nam liczbę 10. Teraz zajmiemy się czymś nieco innym. Zaraz zobaczysz, czym. Najpierw obliczymy sobie te dwa logarytmy. Logarytm o podstawie 2 z liczby 2, to 1 ponieważ 2 podniesione do potęgi pierwszej da nam liczbę dwa. Logarytm o podstawie dwa z liczby 8, to 3 ponieważ dwa podniesione do potęgi trzeciej to osiem. Obliczmy teraz, ile to jest logarytm o podstawie 2 z ułamka 2/8. Ułamek 2/8 możemy skrócić dzieląc licznik i mianownik przez 2. Otrzymamy 1/4. Obliczmy teraz, ile to jest logarytm o podstawie 2 z ułamka 1/4. Jeśli liczbę 2 podniesiemy do potęgi o wykładniku minus 2, to otrzymamy 1/4. Teraz obliczymy, ile to jest logarytm o podstawie 2 z liczby 2 odjąć logarytm o podstawie 2 z liczby 8. Wiemy, że logarytm o podstawie 2 z dwóch, to jeden. a logarytm o podstawie 2 z 8, to trzy. Otrzymujemy jeden odjąć trzy a to równa się minus 2. Zwróć uwagę, że w wyniku otrzymaliśmy taką samą liczbę, jak tutaj. Zobacz, wynikiem tego odejmowania jest liczba minus 2. Ten logarytm jest również równy minus 2. Możemy zatem zapisać, że logarytm o podstawie dwa z liczby 2 odjąć logarytm o podstawie 2 z liczby 8 to jest to samo, co logarytm o podstawie 2 z ułamka 2/8. Właśnie poznajesz kolejną własność działań na logarytmach. Zwróć uwagę, że w tej różnicy występują dwa logarytmy o takiej samej podstawie. Taką różnicę możemy zapisać w postaci jednego logarytmu o takiej samej podstawie z ilorazu liczb logarytmowanych. W liczniku znajduje się liczba logarytmowana która znajduje się w logarytmie od którego odejmujemy. W mianowniku znajduje się liczba logarytmowana, która znajduje się w logarytmie, który odejmujemy. Innymi słowy liczba logarytmowana z pierwszego logarytmu znajdzie się w liczniku a liczba logarytmowana z drugiego logarytmu znajdzie się w mianowniku. Nie inaczej. Do czego w ogóle jest nam to potrzebne? Spójrz na takie odejmowanie. Tutaj mamy logarytm o podstawie 15 z liczby 30, a tutaj logarytm o podstawie 15 z liczby dwa. Nie jesteśmy w stanie powiedzieć do jakiej potęgi należy podnieść 15 aby otrzymać 30. Nie jesteśmy też w stanie powiedzieć do jakiej potęgi należy podnieść 15 aby otrzymać dwa. Co robić? Różnicę logarytmów o takiej samej podstawie możemy zapisać w postaci jednego logarytmu również o takiej samej podstawie. Liczbę logarytmowaną z pierwszego logarytmu zapisujemy w liczniku, a liczbę logarytmowaną z drugiego logarytmu - w mianowniku. Ile to jest 30 podzielić przez 2? Piętnaście. Otrzymujemy logarytm o podstawie 15 z 15. 15 podniesione do potęgi pierwszej da nam liczbę 15. Mimo tego, że nie byliśmy w stanie obliczyć tych dwóch logarytmów oddzielnie to byliśmy w stanie obliczyć ile wynosi ta różnica. Ta różnica wynosi jeden. Uogólnijmy sobie nasze rozważania. Logarytm o podstawie a z liczby b odjąć logarytm o podstawie a z liczby c równa się logarytm o podstawie a z ułamka b przez c. Pamiętaj, że ten wzór możemy stosować gdy logarytmy biorące udział w odejmowaniu mają taką samą podstawę. Pamiętaj o tym, że podstawa logarytmu musi być zawsze większa od zera i różna od 1 liczby logarytmowane muszą być większe od 0. Przed Tobą kolejne zadanie w tej lekcji. Zatrzymaj ją i spróbuj samodzielnie obliczyć tę różnicę. Nie potrafimy powiedzieć, do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 4, aby otrzymać 192. Nie potrafimy też powiedzieć, do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 4, aby otrzymać 3. Taką różnicę możemy jednak zapisać w postaci jednego logarytmu którego podstawa będzie również wynosiła 4. Możemy tak zrobić, ponieważ te dwa logarytmy mają taką samą podstawę. Otrzymamy logarytm o podstawie 4 z takiego ułamka. W liczniku znajduje się liczba 192 a w mianowniku liczba 3. 192 podzielić przez 3, to sześćdziesiąt cztery. Otrzymujemy logarytm o podstawie 4, z liczby 64. Do jakiej potęgi należy podnieść 4 aby otrzymać 64? Do potęgi trzeciej. Wynikiem tego odejmowania jest liczba 3. Pokażę Ci teraz, jak korzystać z poznanych wzorów nieco inaczej. Tutaj mamy logarytm o podstawie 2 z iloczynu 4 razy pierwiastek z dwóch. Wiemy, że sumę logarytmów o jednakowej podstawie możemy zapisać w postaci jednego logarytmu o takiej samej podstawie, z liczb logarytmowanych. Jeśli rozbijemy ten logarytm na sumę dwóch logarytmów, to otrzymamy coś takiego. Logarytm o podstawie dwa z liczby 4 dodać logarytm o podstawie 2 z pierwiastka z dwóch. Liczbą logarytmowaną w tym logarytmie jest 4 a liczbą logarytmowaną w tym logarytmie jest pierwiastek z dwóch. Logarytm o podstawie dwa z liczby 4, to 2 ponieważ dwa podniesione do potęgi drugiej da nam liczbę 4. Logarytm o podstawie 2 z pierwiastka z 2 to 1/2, ponieważ dwa podniesione do potęgi 1/2 da nam pierwiastek z dwóch. Otrzymujemy 2 dodać 1/2. Dwa dodać 1/2 to jest 2 i 1/2. Spójrz teraz na kolejny przykład. Logarytm o podstawie 2 z ułamka który w liczniku ma liczbę 1, a w mianowniku ma liczbę pierwiastek z dwóch. Skoro mamy tutaj ułamek, czyli dzielenie to taki logarytm możemy rozbić sobie na różnicę dwóch logarytmów. Oba będą miały podstawę równą 2. Otrzymamy logarytm o podstawie 2 z liczby 1 odjąć logarytm o podstawie 2 z pierwiastka z 2. Liczbę, która jest w liczniku, zapisaliśmy jako liczbę logarytmowaną w pierwszym logarytmie a liczbę, która jest w mianowniku zapisaliśmy jako liczbę logarytmowaną w drugim logarytmie. Do jakiej potęgi należy podnieść 2 aby otrzymać 1? Do potęgi zerowej. A do jakiej potęgi należy podnieść 2 aby otrzymać pierwiastek z dwóch? Do potęgi jednej drugiej. Ile to jest 0 odjąć 1/2? Minus 1/2. To jest nasz wynik. Sumę logarytmów o jednakowych podstawach możemy zapisać jako jeden logarytm z iloczynu liczb logarytmowanych. Różnicę logarytmów o jednakowych podstawach, możemy zapisać jako jeden logarytm o takiej samej podstawie ale z ilorazu liczb logarytmowanych. W liczniku znajdzie się liczba logarytmowana logarytmu, od którego odejmujemy a w mianowniku znajdzie się liczba logarytmowana logarytmu, który odejmujemy. Zapraszam Cię do obejrzenia kolejnych lekcji z tej playlisty, gdzie poznasz inne własności działań na logarytmach.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Krzysztof Chojecki

Konsultacja: Maria Mędrzycka

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Valeriia Malyk, Krzysztof Chojecki

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Andrzej Pieńkowski, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

charlemagne (CC0)
moritz320 (CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg