Czy wiesz, że wartość pH konkretnego roztworu określa się używając logarytmu? Im więcej jest w roztworze wolnych jonów hydroniowych tym jego pH jest niższe czyli bardziej kwaśne. Znajomość skali pH jest potrzebna każdemu kto ma do czynienia z chemią, biologią rolnictwem, techniką czy medycyną. Spójrz na taki przykład. 2 logarytmy o podstawie 3 z liczby 9. Ten zapis oznacza, że logarytm o podstawie 3 z liczby 9 mnożymy przez liczbę 2. Między dwójką, a tym logarytmem jest znak razy. Przyjęło się po prostu aby go nie zapisywać. Zatrzymaj teraz lekcję i spróbuj samodzielnie obliczyć ten przykład. Najpierw przepiszę liczbę 2. Logarytm o podstawie 3 z liczby 9 to również 2 ponieważ 3 podniesione do potęgi drugiej da nam liczbę 9. Otrzymujemy zatem 2 razy 2 a to jest to samo co 4. To był dość łatwy przykład, prawda? Na tym łatwym przykładzie pokażę Ci pewną ciekawą własność logarytmów. Aby to zrobić zmażę te obliczenia. Potrzebuję więcej miejsca. Przypomnę, że mnożenie to inny zapis dodawania. 2 logarytmy o podstawie 3 z liczby 9 to inaczej logarytm o podstawie 3 z liczby 9 dodać logarytm o podstawie 3 z liczby 9. Czy pamiętasz, jak inaczej możemy zapisać sumę logarytmów o takich samych podstawach? Taką sumę możemy zapisać w postaci jednego logarytmu o podstawie równej 3 z iloczynu liczb logarytmowanych czyli z iloczynu dwóch dziewiątek. Zauważ, że tutaj mamy iloczyn takich samych liczb. Iloczyn takich samych liczb możemy zapisać w postaci potęgowania. Co otrzymamy? Logarytm o podstawie 3 z liczby 9 do kwadratu. Zatrzymajmy się tutaj na chwilę. Na początku mieliśmy 2 logarytmy o podstawie 3 z liczby 9. Teraz mamy logarytm o podstawie 3 z liczby 9 do kwadratu. Zauważ, że dwójka zmieniła swoje położenie. Na początku była liczbą przez którą mnożyliśmy ten logarytm. Teraz liczba 2 jest wykładnikiem liczby logarytmowanej. Dokończmy obliczanie tego przykładu. 9 do kwadratu to 81. Otrzymujemy logarytm o podstawie 3 z liczby 81. Do jakiej potęgi należy podnieść 3 aby otrzymać 81? Do potęgi czwartej. Zauważ, że otrzymaliśmy taki sam wynik jak przy obliczaniu tego przykładu pierwszym sposobem. Szybko go przypomnę. Logarytm o podstawie 3 z liczby 9 to 2 ponieważ 3 do potęgi drugiej to 9. A ile to jest 2 razy 2? 4. Widzisz więc, że ten przykład możemy obliczyć na dwa sposoby. Ten drugi sposób polega na tym że jeśli jakiś logarytm mnożymy przez pewną liczbę, to tę liczbę możemy swobodnie przenieść do wykładnika liczby logarytmowanej. Zobacz. 2 logarytmy o podstawie 3 z liczby 9 to jest to samo co logarytm o podstawie 3 z liczby 9 do kwadratu. Zanim uogólnimy sobie tę własność przeanalizujmy jeszcze jeden przykład. Mamy tutaj 4 logarytmy o podstawie 3 z liczby 9. Zapiszmy to mnożenie w postaci dodawania. Skoro mamy 4 logarytmy o podstawie 3 z liczby 9 to takie mnożenie możemy zapisać jako sumę 4 logarytmów o podstawie 3 z liczby 9. Sumę 4 logarytmów o jednakowej podstawie równej 3 możemy zapisać jako logarytm o podstawie 3 z iloczynu liczb logarytmowanych. Ile dziewiątek bierze udział w tym mnożeniu? 4. Otrzymujemy zatem logarytm o podstawie 3 z liczby 9 do potęgi czwartej. Zobacz. Tutaj mieliśmy 4 logarytmy o podstawie 3 z liczby 9. Tutaj mamy logarytm o podstawie 3 z liczby 9 do potęgi czwartej. Oczywiście ta czwarta potęga tyczy się liczby 9. Zatrzymajmy się na chwilę przy tym kroku. Jeżeli podniesiemy liczbę 9 do potęgi czwartej otrzymamy ogromną liczbę. Ciężko będzie stwierdzić do jakiej potęgi będzie należało podnieść liczbę 3, aby otrzymać liczbę która jest równa 9 do potęgi czwartej. Możemy jednak poradzić sobie nieco inaczej operując działaniami na potęgach. Zamieńmy liczbę 9 na taką potęgę aby podstawą była liczba 3. Wiemy, że 9 to inaczej 3 do kwadratu. Otrzymamy logarytm o podstawie 3 z liczby 3 do potęgi drugiej do potęgi czwartej. Jeśli potęgę podnosimy do innej potęgi to co robimy z wykładnikami? Mnożymy. 2 razy 4 to 8. Otrzymujemy logarytm o podstawie 3 z liczby 3 do potęgi ósmej. Zastanów się teraz, do jakiej potęgi należy podnieść 3 aby otrzymać 3 do potęgi ósmej? Odpowiedź jest już zawarta w tym pytaniu. Do potęgi ósmej. Otrzymujemy zatem 8. Jeśli mi nie wierzysz że to jest poprawny wynik to udowodnię Ci innym sposobem. Powiedzieliśmy już, że logarytm o podstawie 3 z liczby 9 to 2 ponieważ 3 do potęgi drugiej to 9. A ile to jest 4 razy 2? 8. Widzisz więc, że to jest poprawny wynik. Te dwa przykłady miały na celu pokazanie Ci, że jeśli dowolny logarytm mnożymy przez jakąś liczbę to tę liczbę możemy swobodnie przenieść do wykładnika liczby logarytmowanej. Uogólnijmy to sobie. Jeśli logarytm o podstawie a z liczby b pomnożymy przez dowolną liczbę którą oznaczono literą k to tę literę k możemy swobodnie przenieść do wykładnika liczby logarytmowanej. k razy logarytm o podstawie a z liczby b równa się logarytm o podstawie a z liczby b do potęgi k. Pamiętaj, że podstawa logarytmu musi być większa od zera i różna od 1 a liczba logarytmowana musi być większa od zera. Przejdziemy teraz do przykładów w których będziemy wykorzystywali sobie ten wzór. Spójrz na taki przykład. Logarytm o podstawie 2 z liczby pierwiastek trzeciego stopnia z liczby 2. Zatrzymaj teraz lekcję i spróbuj samodzielnie zamienić ten pierwiastek na potęgę. Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby 2 to inaczej 2 do potęgi 1/3. Otrzymujemy logarytm o podstawie 2 z liczby 2 do potęgi 1/3. Teraz zastosujemy poznany wzór w drugą stronę. Czyli jak? Wykładnik tej potęgi możemy swobodnie przenieść przed logarytm. Otrzymamy 1/3 razy logarytm o podstawie 2 z liczby 2. Logarytm o podstawie 2 z liczby 2 to 1. Otrzymujemy takie mnożenie: 1/3 razy 1. 1/3 razy 1 to nic innego jak 1/3. Teraz przyszła kolej na zadanie dla Ciebie Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie obliczyć ile to jest logarytm o podstawie 6 z liczby 36 do potęgi piątej. Zwróć uwagę, że jeżeli podniesiemy liczbę 36 do potęgi piątej to otrzymamy ogromną liczbę. Ciężko będzie nam powiedzieć do jakiej potęgi należy podnieść 6 aby otrzymać liczbę która jest równa 36 do potęgi piątej. Tę piątkę możemy jednak przenieść sobie przed logarytm. Otrzymamy 5 razy logarytm o podstawie 6 z liczby 36. Teraz dużo łatwiej znaleźć liczbę do której należy podnieść liczbę 6 aby otrzymać 36. Taką liczbą jest liczba 2. Otrzymujemy zatem 5 razy 2. Wynikiem tego mnożenia jest liczba 10. Co to oznacza? Jeżeli liczbę 6 podniesiemy do potęgi dziesiątej to otrzymamy taką samą liczbę jak 36 do potęgi piątej. Ostatni przykład w tej lekcji również jest dla Ciebie. Zatrzymaj ją i spróbuj samodzielnie obliczyć ile to jest logarytm o podstawie 6 z liczby pierwiastek trzeciego stopnia z liczby 6 do potęgi drugiej. Ten przykład tylko wygląda na skomplikowany. Wiesz już, że pierwiastki możemy zamieniać na potęgi. Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby 6 do potęgi drugiej to inaczej 6 do potęgi 2/3. Zwróć uwagę, że tutaj mamy taką sytuację że podstawa logarytmu jest taka sama jak liczba logarytmowana. Zadaj sobie teraz takie pytanie. Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 6 aby otrzymać 6 do potęgi 2/3? Tą potęgą jest liczba 2/3. Możemy już zapisać wynik. Logarytm o podstawie 6 z liczby 6 do potęgi 2/3 to 2/3. Możemy jednak obliczyć to też nieco inaczej. Zmażę najpierw ten wynik. Co możemy zrobić z liczbą 2/3? Przenieść ją przed logarytm. Otrzymamy 2/3 razy logarytm o podstawie 6 z liczby 6. Logarytm o podstawie 6 z liczby 6 to 1. Otrzymujemy 2/3 razy 1 i otrzymujemy 2/3. To jest wynik który zapisałem przed chwilą. Otrzymaliśmy go na 2 różne sposoby. Gratulacje. Logarytm potęgi jest równy iloczynowi wykładnika potęgi i logarytmu podstawy tej potęgi. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych lekcji o logarytmach oraz do zasubskrybowania naszego kanału.