Z tego filmu dowiesz się:

  • jak obliczyć potęgę, kiedy wykładnik jest zapisany w postaci logarytmu,
  • jak prowadzić obliczenia, aby podstawa potęgi i podstawa logarytmu były takie same.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Jasność gwiazd, to ilość energii świetlnej docierającej od gwiazdy na jednostkę powierzchni prostopadłej do kierunku padającego promieniowania w jednostce czasu. Co mają do tego logarytmy? Okazuje się, że jasność gwiazd wyraża się w logarytmicznej skali wielkości gwiazdowych. Zobacz. Mamy tutaj logarytm o podstawie 2 z liczby 5. Nie wiemy, do jakiej potęgi mamy podnieść liczbę 2, aby otrzymać 5. Wiemy jednak, że taka liczba istnieje. Oznaczono ją literą x. Jeżeli logarytm o podstawie 2 z liczby 5 równa się x, to 2 do potęgi x równa się 5. Zwróć uwagę, że w tym równaniu x występuje w wykładniku tej potęgi. Z tego równania wiemy też że x to jest to samo co logarytm o podstawie 2 z liczby 5. Możemy zatem ten logarytm wstawić w miejsce x w równaniu po prawej stronie. Co otrzymamy? 2 do potęgi logarytm o podstawie 2 z liczby 5 równa się 5. Przeanalizujmy to sobie raz jeszcze. Logarytm o podstawie 2 z liczby 5 oznacza taką liczbę do której należy podnieść liczbę 2 aby otrzymać 5. To, co powiedziałem przed chwilą jest również zapisane w tym miejscu tylko nieco inaczej. Logarytm o podstawie 2 z liczby 5 oznacza taki wykładnik do którego należy podnieść liczbę 2 aby otrzymać 5. To równanie przedstawia nam pewien wzór. Z tego, co powiedziałem przed chwilą wynika, że jeżeli podstawa potęgi jest taka sama, jak podstawa logarytmu to wynikiem takiego potęgowania jest liczba logarytmowana. Pokażę Ci teraz jak wygląda uogólnienie tego wzoru. Zobacz. a podniesione do potęgi logarytm o podstawie a z liczby b równa się b. Liczby występujące w tym równaniu nie mogą być byle jakie. Podstawa tego logarytmu i zarazem podstawa potęgowania musi być liczbą większą od zera i różną od 1. Liczba logarytmowana musi być z kolei większa od zera. Pokażę Ci teraz jak stosować ten wzór w obliczeniach. Spójrz na taki przykład. Mamy tutaj liczbę 8 podniesioną do potęgi logarytm o podstawie 2 z liczby 5. Chciałoby się powiedzieć, że wynikiem tego potęgowania jest liczba 5. Niestety, jednak nie jest. A dlaczego? Zwróć uwagę, że podstawa tego potęgowania nie jest taka sama, jak podstawa logarytmu. Dlatego nie możemy powiedzieć że wynikiem tego potęgowania jest liczba 5. Dokonując jednak pewnych przekształceń tego potęgowania będziemy w stanie podać jego wynik. Najważniejszy jest pierwszy krok. Zastanawiamy się czy istnieje taka liczba do której należy podnieść liczbę 2 aby otrzymać 8. Wiemy, że 2 do potęgi trzeciej to 8. Możemy więc zamienić liczbę 8 na 2 do potęgi trzeciej. Otrzymamy: 2 do potęgi trzeciej do potęgi logarytm o podstawie 2 z liczby 5. Mamy tutaj potęgę potęgi. Co więc możemy zrobić z wykładnikami? Pomnożyć je. Po pomnożeniu wykładników otrzymamy 2 do potęgi 3 logarytmy o podstawie 2 z liczby 5. To jeszcze nie wszystko. Jeśli jakiś logarytm mnożymy przez liczbę to tę liczbę możemy zapisać w wykładniku liczby logarytmowanej. Po dokonaniu tego kroku otrzymamy 2 do potęgi logarytm o podstawie 2 z liczby 5 do potęgi trzeciej. A ile to jest 5 do potęgi trzeciej? 125. Gdy zamienimy 5 do potęgi trzeciej na 125 otrzymamy 2 do potęgi logarytm o podstawie 2 z liczby 125. Zwróć uwagę, że dopiero teraz podstawa tego potęgowania jest taka sama jak podstawa logarytmu. Oznacza to, że dopiero teraz możemy powiedzieć że wynikiem tego potęgowania jest liczba logarytmowana, czyli 125. To jest nasz wynik. Aby obliczać różne logarytmy wystarczy rozumieć, jak działa logarytm oraz jak działają różne wzory na logarytmach. Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o logarytmach to obejrzyj pozostałe lekcje z tej playlisty. Jeśli chcesz być na bieżąco z nowymi lekcjami zasubskrybuj nasz kanał na YouTube.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Krzysztof Chojecki

Konsultacja: Maria Mędrzycka

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Valeriia Malyk, Krzysztof Chojecki

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Ewelina Łasa, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg