Liczba Eulera to stała matematyczna wykorzystywana w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W przybliżeniu wynosi 2,71 i oznacza się ją literą e. Logarytm o podstawie e nazywa się logarytmem naturalnym i oznacza się go symbolem ln. Podstawy, czyli liczby e już nie zapisujemy. Spójrz na takie równanie. Logarytm o podstawie 2 z liczby x równa się 3. W tym przypadku naszą niewiadomą jest liczba logarytmowana, czyli x. Chcemy się dowiedzieć jaką liczbę możemy tutaj wstawić aby ta równość była prawdziwa. Równania z logarytmami rozwiązujemy bazując na tym jak działa logarytm. Przypomnijmy sobie definicję logarytmu. Logarytm o podstawie a z liczby b równa się c wtedy i tylko wtedy gdy a podniesione do potęgi c daje liczbę b. Pamiętajmy o tym, że podstawa logarytmu musi być większa od zera i różna od 1 a liczba logarytmowana musi być większa od zera. Łatwo pamiętać działanie logarytmu rysując sobie takie strzałki. a podniesione do potęgi c daje liczbę b. Korzystając z tego łatwo będzie rozwiązywać nam równania z logarytmami. Narysujmy sobie takie strzałki w tym przykładzie. 2 podniesione do potęgi trzeciej da nam x. Teraz to zapiszemy. Ponieważ logarytm o podstawie a z x równa się 3 to 2 do potęgi trzeciej równa się x. A ile to jest 2 do potęgi trzeciej? 8. Oznacza to, że 8 równa się x. Mamy już kandydata na rozwiązanie równania. Dlaczego kandydata? Na końcu musimy sprawdzić czy wszystko jest okej z naszym rozwiązaniem. Co to znaczy? Zwróć uwagę, że w tym przypadku niewiadomą była liczba logarytmowana. O liczbie logarytmowanej wiemy że ma ona być większa od zera. Czy ta liczba jest większa od zera? Tak. Oznacza to, że wszystko w porządku z naszym rozwiązaniem. Rozwiązując równania można już na początku podać dziedzinę rozwiązań. Jeszcze raz powtórzę że w naszym przypadku niewiadomą jest liczba logarytmowana, czyli x. Wiemy z definicji, że ta liczba logarytmowana ma być większa od zera. Zapisujemy to w ten sposób że x należy do przedziału obustronnie otwartego od zera do plus nieskończoności. Zapisywanie dziedziny na początku rozwiązywania równania to taki formalizm matematyczny. My po rozwiązaniu tego równania sprawdziliśmy czy nasze rozwiązanie spełnia założenia definicji logarytmu. Sprawdzenie czy rozwiązanie należy do dziedziny jest dokładnie tym samym. My zrobiliśmy to na początku i bez formalizmów. Tego będziemy się trzymali w kolejnych przykładach. Spójrz teraz na następne równanie. Logarytm o podstawie 1/2 z x równa się 3. Ten przykład jest dla Ciebie. Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie rozwiązać to równanie. Jak działa logarytm? Jeśli podstawę, czyli 1/2 podniesiemy do potęgi trzeciej to mamy otrzymać x. Zapiszmy to. Ponieważ logarytm o podstawie 1/2 z x równa się 3 to 1/2 do potęgi trzeciej równa się x. A ile to jest 1/2 do potęgi trzeciej? 1/8. Wynika z tego, że 1/8 równa się x. W tym przypadku naszą niewiadomą znowu była liczba logarytmowana. Wiemy, że liczba logarytmowana ma być większa od zera. 1/8 to liczba większa od zera. To jest nasze rozwiązanie. Po rozwiązaniu każdego równania możemy w miejsce niewiadomej wstawić naszą liczbę. Sprawdzimy tym samym czy otrzymana równość rzeczywiście jest prawdziwa. W tym przykładzie w miejsce x wstawimy 1/8. Otrzymamy logarytm o podstawie 1/2 z 1/8 równa się 3. To równanie rzeczywiście jest prawdziwe ponieważ 1/2 podniesiona do potęgi trzeciej da nam 1/8. W przykładzie powyżej w miejsce niewiadomej wstawimy liczbę 8. Otrzymamy logarytm o podstawie 2 z liczby 8 równa się 3. Tak, ponieważ 2 podniesione do potęgi trzeciej da nam liczbę 8. Spójrz teraz na takie równanie. Logarytm o podstawie 2 z wyrażenia x plus 1 równa się 3. Jak działa logarytm? 2 podniesione do potęgi trzeciej dadzą nam wyrażenie x plus 1. Ponieważ logarytm o podstawie 2 z wyrażenia x plus 1 równa się 3 to 2 podniesione do potęgi trzeciej dadzą nam wyrażenie x plus 1. Ile to jest 2 podniesione do potęgi trzeciej? 8. Otrzymujemy 8 równa się x plus 1. No to jaką liczbę należy dodać do jedynki aby otrzymać 8? 7. Oznacza to, że 7 równa się x. Sprawdźmy, co się stanie gdy w miejsce litery x wstawimy liczbę 7. Otrzymamy 7 dodać 1, czyli 8. Liczba logarytmowana jest większa od zera więc wszystko jest w porządku. Otrzymujemy logarytm o podstawie 2 z liczby 8 równa się 3. Ta równość rzeczywiście jest prawdziwa ponieważ 2 podniesione do potęgi trzeciej dadzą nam liczbę 8. Teraz przyszła kolej na zadanie dla Ciebie. Spójrz na takie równanie. Logarytm dziesiętny z wyrażenia 5 odjąć 4x równa się 0. Skąd wiem, że to jest logarytm dziesiętny? Nie ma tutaj zapisanej podstawy. Tak oznacza się logarytm dziesiętny. My jednak możemy w tym miejscu dopisać sobie liczbę 10. Ona ułatwi nam rozwiązywanie tego równania. Jak zatem działa logarytm? 10 podniesione do potęgi zerowej da nam wyrażenie 5 odjąć 4x. Zapiszmy to. Ponieważ logarytm dziesiętny z wyrażenia 5 odjąć 4x równa się 0 to 10 podniesione do potęgi zerowej równa się 5 odjąć 4x. 10 do potęgi zerowej to 1. Otrzymujemy 1 równa się 5 odjąć 4x. Teraz -4x zapiszę po przeciwnej stronie tego równania z przeciwnym znakiem. Następnie przepisuję piątkę. Teraz jedynkę przerzucam na prawą stronę również ze zmienionym znakiem. Otrzymujemy 4x równa się 4. No to jaką liczbę należy pomnożyć przez 4 aby otrzymać 4? 1. Oznacza to, że x równa się 1. Sprawdźmy teraz co się stanie gdy w miejsce litery x wstawimy liczbę 1. 4 razy 1 to 4 a 5 odjąć 4 to 1. Otrzymujemy logarytm o podstawie 10 z liczby 1 równa się 0. Liczbą logarytmowaną jest jedynka która jest większa od zera. Ta równość rzeczywiście jest prawdziwa ponieważ 10 podniesione do potęgi zerowej da nam liczbę 1. Przed nami ostatnie równanie w tej lekcji. Co tutaj mamy? Logarytm o podstawie 3 z logarytmu o podstawie 2 z liczby x równa się 0. W tym przykładzie liczbą logarytmowaną jest logarytm o podstawie 2 z niewiadomej x. Przypomnijmy sobie, jak działa logarytm. Jeśli liczbę 3 podniesiemy do potęgi zerowej, to otrzymamy logarytm o podstawie 2 z niewiadomej x. Zapiszmy to. Ponieważ logarytm o podstawie 3 z logarytmu o podstawie 2 z niewiadomej x równa się 0, to 3 podniesione do potęgi zerowej dadzą nam logarytm o podstawie 2 z niewiadomej x. Ile to jest 3 do potęgi zerowej? 1. Oznacza to, że logarytm o podstawie 2 z niewiadomej x równa się 1. Zapiszę to w ten sposób. Zobacz. Mamy tutaj kolejne równanie. Co należy zrobić? Przypominamy sobie, jak działa logarytm. Ponieważ logarytm o podstawie 2 z niewiadomej x równa się 1 to 2 podniesione do potęgi pierwszej dadzą nam x. Zapiszę to pod spodem. 2 podniesione do potęgi pierwszej równa się x. A ile to jest 2 do potęgi pierwszej? 2. 2 równa się x. Sprawdźmy, co się stanie gdy wstawimy liczbę 2 w miejsce x. Otrzymujemy logarytm o podstawie 3 z logarytmu o podstawie 2 z liczby 2 równa się 0. Sprawdźmy, czy ta równość jest prawdziwa. Zaczynamy od tego logarytmu. Logarytm o podstawie 2 z liczby 2 to 1. Otrzymujemy logarytm o podstawie 3 z liczby 1 równa się 0. Ta równość jest na pewno prawdziwa ponieważ 3 podniesione do potęgi zerowej da nam liczbę 1. Zauważ, że tutaj liczbą logarytmowaną jest jedynka, która jest większa od zera. Wszystko wykonaliśmy poprawnie. W rozwiązywaniu prostych równań logarytmicznych kluczowe jest rozumienie definicji logarytmu. Logarytm o podstawie a z liczby b równa się c wtedy i tylko wtedy gdy a podniesione do potęgi c równa się b. Pamiętaj, aby na końcu sprawdzić czy nasze rozwiązanie pasuje do założeń które występują w definicji logarytmu. Ta playlista dotyczyła logarytmów. Wszystkie playlisty znajdziesz na naszej stronie internetowej pistacja.tv.