Z tego filmu dowiesz się:

  • co to jest wartość bezwzględna,
  • jak liczyć wartość bezwzględną z liczby rzeczywistej,
  • jak zapisać wyrażenie algebraiczne z wartością bezwzględną.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

W dawnych polskich podręcznikach liczby rzeczywiste opisywano jako liczby względne. Zapewne chodziło o położenie liczby dodatniej lub ujemnej względem zera. W przeciwieństwie do liczb względnych liczby bezwzględne nie posiadają znaku. Stąd pewnie wzięła się nazwa wartość bezwzględna. Najwyższym szczytem na Ziemi jest Mount Everest. W Europie przyjmuje się, że jego wysokość to 8 848 metrów nad poziomem morza. Najniżej położonym punktem na Ziemi względem poziomu morza jest Głębia Challengera położona na dnie Rowu Mariańskiego. Szacuje się, że sięga ona aż 10 911 metrów poniżej poziomu morza. A skoro dno Rowu Mariańskiego znajduje się 10 911 metrów pod powierzchnią morza to możemy zapisać wysokość tego punktu jako -10 911 merów nad poziomem morza. A jaka jest różnica poziomów między tymi dwoma punktami? Przypuśćmy, oczywiście hipotetycznie że znajdujemy się na dnie Rowu Mariańskiego. Żeby dotrzeć do poziomu morza musimy pokonać odległość tego punktu od poziomu morza. Odległość nie może być liczbą ujemną ale przecież odległość od zera w tym wypadku od poziomu morza to nic innego jak wartość bezwzględna. Zapiszmy odległość Głębi Challengera od poziomu morza. GC to wartość bezwzględna z -10 911 czyli 10 911. Jak już pokonaliśmy tę odległość i znajdujemy się na poziomie morza wznosimy się na szczyt Mount Everest na wysokość 8 848 metrów. Tę odległość również możemy zapisać za pomocą wartości bezwzględnej. ME to wartość bezwzględna z 8 848 czyli 8 848. A żeby obliczyć różnicę poziomów między tymi dwoma skrajnymi punktami wystarczy, że dodamy do siebie te dwie zapisane odległości. ME dodać GC to 8 848 dodać 10 911 czyli w sumie 19 759 metrów. Tak więc różnica poziomów między szczytem Mount Everest a Głębią Challengera wynosi 19 759 metrów. We wcześniejszym etapie nauczania dowiedziałeś się już, jak liczyć wartość bezwzględną z liczb dodatnich i ujemnych. Wiesz, że na przykład wartość bezwzględna z ośmiu to 8 albo wartość bezwzględna z minus dwudziestu pięciu to 25 a wartość bezwzględna z zera to 0. Zauważ, że jeżeli x są większe bądź równe zeru to wartość bezwzględna z x to po prostu x. Natomiast, jeżeli x są mniejsze od zera to wartość bezwzględna z x równa jest -x. Czyli wtedy wartość bezwzględna jest liczbą przeciwną do liczby ujemnej x. Zatem -x jest jako odległość liczbą dodatnią. Spróbujmy zgodnie z tą regułą obliczyć wartość bezwzględną z minus dwudziestu pięciu. Ponieważ -25 jest mniejsze od zera to korzystamy z drugiej instrukcji otrzymując, że wartość bezwzględna z minus dwudziestu pięciu równa się minus -25, czyli 25. Wyszło tyle, ile powinno. Teraz ta metoda obliczeń może Ci się wydawać dziwna i nadmiernie skomplikowana jednak ta własność jest bardzo przydatna przy rozwiązywaniu trudniejszych przykładów. Zobaczysz to w dalszej części filmu. Razem zdefiniowaliśmy więc wartość bezwzględną. Zapiszmy definicję, którą znajdziesz w podręcznikach i tablicach maturalnych. Wartość bezwzględna z x to x, gdy x jest większe bądź równe zeru i -x, gdy x jest mniejsze od zera. W poprzednich etapach kształcenia dowiedziałeś się też zapewne że wartość bezwzględna z konkretnej liczby to nic innego jak jej odległość od zera. Spróbujmy więc policzyć kilka wartości bezwzględnych i zobrazować je na osi liczbowej. Wartość bezwzględna z 2,3 to 2,3 całości. Na osi liczbowej zaznaczmy 2,3. Odległość od zera czyli nasza wartość bezwzględna to 2,3. Wartość bezwzględna z -2/3 to 2/3. Na osi zaznaczamy -2/3. Odległość tej liczby od zera to oczywiście 2/3. A ile wynosi wartość bezwzględna z pierwiastka z trzech odjąć 1? Żeby obliczyć tę wartość bezwzględną musimy dowiedzieć się czy wyrażenie pod wartością bezwzględną czyli pierwiastek z trzech odjąć 1 jest liczbą dodatnią, czy ujemną. Ale łatwo możesz zauważyć że pierwiastek z trzech jest większy od pierwiastka z jednego czyli pierwiastek z trzech jest większy od jedynki. Tak więc pierwiastek z trzech odjąć 1 jest większy od zera. Możemy też obliczyć na kalkulatorze przybliżoną wartość tego wyrażenia. Jest to około 0,7. Otrzymujemy zatem wartość bezwzględna z pierwiastka z trzech odjąć 1 to pierwiastek z trzech odjąć 1. Przedstawmy tę wartość na osi liczbowej. Zaznaczmy, pierwiastek z trzech odjąć 1. Odległość od zera to oczywiście pierwiastek z trzech odjąć 1. Spróbuj teraz samodzielnie pozbyć się wartości bezwzględnej z wyrażenia wartość bezwzględna z dwóch pierwiastków z trzech odjąć 3 pierwiastki z dwóch. Sprawdźmy czy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest mniejsze czy większe od zera. Żeby to zrobić wystarczy porównać liczby 2 pierwiastki z trzech i 3 pierwiastki z dwóch a żeby to zrobić przedstawmy obie liczby jako pierwiastek kwadratowy z jakiejś wartości. 2 pierwiastki z trzech to inaczej pierwiastek z czterech razy 3 czyli pierwiastek z dwunastu. A 3 pierwiastki z dwóch to pierwiastek z dziewięciu razy 2 czyli pierwiastek z osiemnastu. Teraz już łatwo możemy porównać obie liczby. Pierwiastek z dwunastu jest mniejszy od pierwiastka z osiemnastu. Czyli 2 pierwiastki z trzech są mniejsze niż 3 pierwiastki z dwóch. Tak więc dostaliśmy że 2 pierwiastki z trzech odjąć 3 pierwiastki z dwóch to liczba mniejsza od zera. Wyrażenie pod wartością bezwzględną jest ujemne, czyli wartość bezwzględna z dwóch pierwiastków z trzech odjąć 3 pierwiastki z dwóch to minus w nawiasie 2 pierwiastki z trzech odjąć 3 pierwiastki z dwóch czyli 3 pierwiastki z dwóch odjąć 2 pierwiastki z trzech. Moglibyśmy również skorzystać z kalkulatora. Otrzymamy, że wyrażenie pod wartością bezwzględną to około -0,8. Zaznaczmy jeszcze na osi liczbowej wartości 2 pierwiastki z trzech odjąć 3 pierwiastki z dwóch. Odległość tej wartości od zera to oczywiście 3 pierwiastki z dwóch odjąć 2 pierwiastki z trzech czyli około 0,8. Spróbujmy teraz pozbyć się wartości bezwzględnej z wyrażenia wartość bezwzględna z x odjąć 1. Wiemy, że wartość wyrażenia x odjąć 1 zależy od tego co podstawimy za x. Korzystając z definicji, musimy sprawdzić kiedy wyrażenie pod wartością bezwzględną jest nieujemne, czyli większe bądź równe zeru, a kiedy ujemne. Sprawdźmy na początek kiedy wyrażenie x odjąć 1 jest większe bądź równe zeru. Przenosząc jedynkę na prawą stronę otrzymujemy, że x odjąć 1 jest większe bądź równe zeru, za x większego bądź równego jednemu. Dla takich x-ów wartość bezwzględna z x odjąć 1 to poprostu x odjąć 1. Teraz zobaczmy dla jakich x-ów wyrażenie x odjąć 1 jest ujemne czyli kiedy x odjąć 1 jest mniejsze od zera. Oczywiście, gdy x jest mniejsze od jednego. Dla tych x-ów, wartość bezwzględna z x odjąć 1 to minus, w nawiasie x odjąć 1 czyli inaczej 1 odjąć x. Zapiszmy więc, co otrzymaliśmy. Wartość bezwzględna z x odjąć 1 to x odjąć 1 dla x-ów większych bądź równych jednemu a 1 odjąć x, dla x-ów mniejszych od 1. Spróbuj teraz samodzielnie pozbyć się wartości bezwzględnej z wyrażenia wartość bezwzględna z trzech odjąć 2x. Zobaczymy czy zrobiłeś to poprawnie. Sprawdzamy, kiedy 3 odjąć 2x jest większe bądź równe zeru. Czyli kiedy 2x jest mniejsze bądź równe trzem. Otrzymujemy, że warunek ten jest spełniony dla x mniejszego bądź równego 3/2. Wtedy wartość bezwzględna z trzech odjąć 2x, to po prostu 3 odjąć 2x. Następnie sprawdźmy, dla jakich x-ów wyrażenie 3 odjąć 2x jest mniejsze od zera czyli inaczej, kiedy 2x jest większe od trzech. Oczywiście dla x-ów większych od 3/2. Dla takich x-ów mamy więc wartość bezwzględna z trzech odjąć 2x to minus, w nawiasie 3 odjąć 2x czyli 2x odjąć 3. Mamy zatem wartość bezwzględna z trzech odjąć 2x, to 3 odjąć 2x dla x-ów mniejszych bądź równych 3/2 a 2x odjąć 3 dla x-ów większych od 3/2. Wartość bezwzględna z liczby dodatniej jest tą samą liczbą. Natomiast wartość bezwzględna z liczby ujemnej to liczba do niej przeciwna. Żeby pozbyć się wartości bezwzględnej z wyrażenia musimy się dowiedzieć jakiego znaku jest wyrażenie pod wartością bezwzględną. Jeżeli jest nieujemne to wartość bezwzględną możemy wymazać. Jeżeli jest ujemne to pozbywając się wartości bezwzględnej dopisujemy minus przed całym wyrażeniem. Jeśli ten film Ci się spodobał polub nas na Facebooku. A może chciałbyś nam zadać jakieś pytanie? Jeżeli tak, zrób to w komentarzu pod filmem.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Krystian Gulik

Konsultacja: Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Agnieszka Opalińska

Materiały: Krystian Gulik

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Ewelina Łasa, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

chayka 1270 (CC0)
OpenClipart-Vectors (CC0)
OpenClipart-Vectors (CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg