Hugo wyszedł z domu. Po stu metrach zauważył że zapomniał telefonu. Wrócił po niego a następnie poszedł do kolegi mieszkającego pół kilometra dalej. O ile metrów oddalił się od domu? O 500, bo przecież poszedł do domu kolegi. A ile metrów przeszedł? W odpowiedzi na to pytanie przyda się nam znajomość wartości bezwzględnej. Przez gapiostwo Hugo przeszedł aż 700 metrów. Na początku rozwiążmy proste równania z wartością bezwzględną. Znajdź x wiedząc że wartość bezwzględna z x wynosi 3. A z jakiej liczby wartość bezwzględna wynosi 3? Oczywiście z trzech lub minus trzech. Otrzymujemy więc dwa rozwiązania. Spróbujmy teraz rozwiązać to równanie graficznie. Mamy oś x-ów. Wiemy, że wartość bezwzględna z x to odległość x od zera. Tak więc wiemy, że odległość x od zera na lewo albo prawo wynosi 3. Odliczamy 3 jednostki w jedną i w drugą stronę od zera. Otrzymujemy ponownie dwa rozwiązania. 3 i -3. Spróbuj samodzielnie rozwiązać następne równanie. Wartość bezwzględna z x równa się zeru. Jest tylko jedna liczba której wartość bezwzględna wynosi 0. Jest to właśnie liczba 0. Rozwiązaniem jest więc x równy zeru. Spróbujmy teraz zinterpretować to równanie graficznie na osi liczbowej. Wiemy, że odległość x od zera wynosi 0 więc nie ruszamy się w żadną stronę i zostajemy w punkcie równym zeru. Rozwiązaniem jest więc jedna liczba 0. A co jest rozwiązaniem równania: wartość bezwzględna z x równa się minus dwóm? Jak dobrze wiesz wartość bezwzględna jest odległością. Odległość nie może być liczbą ujemną. Nie istnieje więc liczba której wartość bezwzględna wynosi -2. x należy więc do zbioru pustego. Podsumowując. Możemy zapisać pewne własności wartości bezwzględnej. Dla każdego a większego od zera wartość bezwzględna z x jest równa a jeżeli x jest równy a lub -a. Dla a równego zeru wartość bezwzględna z x jest równa a. Czyli inaczej wartość bezwzględna z x jest równa zeru bo przecież a to 0 gdy x jest równe zeru a dla każdego a mniejszego od zera równanie wartość bezwzględna z x jest równa a nie posiada rozwiązania ponieważ odległość nie może być liczbą ujemną. Zatem dla takich a x należy do zbioru pustego. Na osi liczbowej zaznaczmy dwie liczby a oraz b. Załóżmy na początku że liczba a jest mniejsza od liczby b. Jak możemy opisać odległość między liczbami a i b? Oczywiście, jeżeli a jest mniejsze od b to wystarczy, że od b odejmiemy liczbę a i otrzymamy szukaną odległość. b odjąć a Przypuśćmy teraz że a jest większe bądź równe b. Zaznaczmy więc a na osi liczbowej na prawo od liczby b. Jak możemy opisać teraz odległość a od b? Tym razem wystarczy że od a odejmiemy liczbę b. Zobaczmy, co otrzymaliśmy. Dla a mniejszego od b czyli inaczej dla a odjąć b mniejszego od zera odległość tych liczb od siebie wynosi b odjąć a co wyciągając minus przed nawias możemy zapisać jako -a odjąć b. Jednocześnie dla a większego bądź równego b czyli dla a odjąć b większego bądź równego zeru odległość między punktami a i b wynosi a odjąć b. Przypomnij sobie definicję wartości bezwzględnej. Mówiliśmy o niej w pierwszym filmie na tej playliście. Jeżeli x był mniejszy od zera to wartość bezwzględna z x wynosiła -x. Natomiast, jeżeli x był większy bądź równy zeru to wartość bezwzględna z x wynosiła x. Wartość bezwzględną z x określiliśmy jako odległość punktu x od zera. Spróbuj teraz zapisać definicję odległości dwóch punktów używając wartości bezwzględnej. Jeśli a odjąć b potraktujemy jako x to kiedy jest ono większe lub równe zeru to odległość wynosi a odjąć b, czyli x a kiedy jest mniejsze od zera to -a odjąć b, czyli -x. Tak więc odległość między a i b możemy zapisać jednym wzorem. Wartość bezwzględna z a odjąć b który będzie prawdziwy niezależnie od tego, która z tych liczb a czy b jest większa. Jak wcześniej zauważyliśmy b odjąć a, to to samo co -a odjąć b więc wartości bezwzględne z a odjąć b oraz b odjąć a, są takie same. Stąd ten wzór można równie dobrze zapisać jako wartość bezwzględna z b odjąć a. Dzięki tej interpretacji wartości bezwzględnej będziemy mogli graficznie rozwiązywać trudniejsze równania i nierówności z wartością bezwzględną. Czas na trudniejsze równania. Zacznijmy od sprawdzenia dla jakich x-ów, wartość bezwzględna z x odjąć 3 równa się dwóm. Z definicji wartości bezwzględnej wynika że wyrażenie pod wartością bezwzględną czyli x odjąć 3 może być równe dwóm lub minus dwóm. Rozwiązując dwa proste równania otrzymujemy, że x musi być równy pięciu lub jednemu. Spróbujmy teraz rozwiązać to zadanie graficznie. Wiemy, że wartość bezwzględna z a odjąć b jest to odległość punktu a od b na osi. Tak więc wartość bezwzględna z x odjąć 3 jest to odległość niewiadomej x od trójki. W naszym równaniu szukamy takich x-ów które są oddalone od trójki o dwie jednostki. Oczywiście są dwie liczby, które są odległe od trójki o dwie jednostki. Na lewo jest to jedynka a na prawo piątka. Otrzymujemy więc dwa rozwiązania 1 oraz 5. Spróbuj teraz samodzielnie rozwiązać kolejne równanie. Wartość bezwzględna z x dodać 2 równa się zeru. Tylko wartość bezwzględna z zera jest równa zeru. Więc wyrażenie pod wartością bezwzględną x dodać 2, musi być równe właśnie zeru. Odejmując dwójkę z obu stron równania otrzymujemy, że x musi być równy minus dwóm. A w jaki sposób rozwiązać to równanie graficznie? Zauważ na początku że wyrażenie x dodać 2 możemy zapisać jako różnicę x odjąć -2. Dlaczego tak postępujemy? Bo w interpretacji graficznej mamy różnicę a i b więc jeśli chcemy z niej skorzystać to musimy doprowadzić wyrażenie do odpowiedniej postaci. Szukamy więc punktu, którego odległość od minus dwójki wynosi 0. Jest to oczywiście sam punkt x równy minus dwóm. Zatrzymaj teraz film i rozwiąż samodzielnie ostatnie z równań. Wartość bezwzględna z x dodać 1,5 równa się 0,5. Z równania tego wynika że to, co jest pod wartością bezwzględną czyli x dodać 1,5 musi być równe 0,5 lub -0,5. W dwóch otrzymanych równaniach od obu stron odejmijmy 1,5. Otrzymujemy x równy minus jednemu lub minus dwóm. A czy jesteś teraz gotów sam zinterpretować to równanie na osi? Zatrzymaj film i zastanów się chwilę samodzielnie. Wyrażenie x dodać 1,5 możemy zapisać jako x odjąć -1,5. Wiemy więc, że odległość od -1,5 w obie strony wynosi 0,5. Patrząc na lewo od -1,5 otrzymujemy minus dwójkę a na prawo minus jedynkę. Mamy więc dwa rozwiązania równania. -2 oraz -1. Równanie wartość bezwzględna z x równa się a dla a większego od zera posiada dwa rozwiązania a lub -a. Dla a równego zeru równanie to ma jedno rozwiązanie x równe zeru. Natomiast dla a mniejszego od zera równanie nie posiada rozwiązań. Równanie wartość bezwzględna z x odjąć a równa się b dla b większego od zera posiada dwa rozwiązania a odjąć b lub a dodać b. Dla b równego zeru równanie to ma jedno rozwiązanie, x równe a. A dla b mniejszego od zera równanie nie posiada rozwiązań. Jeśli spodobało Ci się moje tłumaczenie wejdź na stronę pistacja.tv. Tam znajdziesz wiele filmów ułatwiających zrozumienie różnych pojęć matematycznych.