W porównaniu z kamerą umieszczoną na dronie ludzkie oko nie jest najdokładniejszym narzędziem pomiarowym. Używany w zawodowych turniejach tenisowych system Hawk-Eye potrafi podać pozycję piłki tenisowej na korcie z dokładnością do 3 milimetrów. Dobry sędzia liniowy tylko do kilku centymetrów. Najwięcej ludzkich błędów w ocenie aż 1 na 12 zdarza się gdy piłka znajduje się nie więcej niż 100 milimetrów od linii kortu. Taki błąd możemy zapisać jako nierówność z wartością bezwzględną gdzie wartość bezwzględna z x jest mniejsza od stu. W tym filmie dowiesz się jak rozwiązywać takie nierówności wykorzystując do tego oś liczbową. Rozwiążmy taką nierówność. Wartość bezwzględna z x jest większa od 4. Za chwilę dowiemy się jak tego typu nierówność w bardzo prosty sposób możemy rozwiązać algebraicznie. Ale na początku, spróbujmy poradzić sobie z tą nierównością graficznie, na osi liczbowej. Wiesz już, jeżeli nie to zerknij do poprzedniej lekcji, że wartość bezwzględna z x jest to odległość x od zera. Szukamy więc takich x-ów dla których odległość od zera jest większa od czterech. Odległość od zera jest równa czterem dla liczb 4 i -4. Żeby otrzymać odległość większą niż 4 zaznaczamy wszystkie liczby na prawo od czwórki, wyłączając samą czwórkę i na lewo od minus czwórki zaznaczając pustą kropką że minus czwórka nie należy do tego zbioru ponieważ odległość ma być silnie większa od czterech. Odczytajmy teraz z rysunku odpowiedź. Wiemy, że x może być mniejsze od minus czterech albo większe od czterech. Możemy to zapisać jako sumę dwóch przedziałów, obustronnie otwartego od minus nieskończoności do minus czterech oraz obustronnie otwartego od czterech do plus nieskończoności. Spróbuj teraz w podobny sposób samodzielnie rozwiązać następną nierówność. Wartość bezwzględna z x jest większa bądź równa pierwiastkowi z siedmiu. Na osi liczbowej zaznaczmy te punkty których odległość od zera jest równa pierwiastkowi z siedmiu. Są to z jednej strony minus pierwiastek z siedmiu i z drugiej pierwiastek z siedmiu. Tym razem odległość od zera ma być większa bądź równa pierwiastkowi z siedmiu. Zaznaczmy więc x na lewo od minus pierwiastka z siedmiu i na prawo od pierwiastka z siedmiu. Kropki zamalowujemy ponieważ odległość może być równa pierwiastkowi z siedmiu. Ostatecznie otrzymujemy sumy przedziałów prawostronne domkniętego od minus nieskończoności do minus pierwiastka z siedmiu oraz lewostronnie domkniętego od pierwiastka z siedmiu do plus nieskończoności. Następna nierówność z którą musimy sobie poradzić to wartość bezwzględna z x jest większa bądź równa zeru. Nie jest to skomplikowany przykład. Pomyśl przez chwilę co mógłbyś podstawić za x aby nierówność była prawdziwa? Zaznaczmy punkty których odległość od zera jest większa bądź równa zeru. Oczywiście w punkcie 0 odległość od zera jest równa zeru. Odległość większa od zera jest wszędzie na prawo i lewo od zera. Odległość ze względu na słabą nierówność może być równa zeru. Zaznaczamy więc 0 wypełnioną kropką. Zauważ, że zaznaczyłem tak naprawdę wszystkie liczby na osi liczbowej. Możemy więc zapisać że rozwiązaniem tej nierówności jest dowolny x czyli x należy do zbioru liczb rzeczywistych. A dla jakich x-ów wartość bezwzględna z x jest większa od minus trzech? Na osi liczbowej chcę zaznaczyć punkty dla których odległość od zera jest większa od minus trzech ale odległość jest zawsze większa bądź równa zeru więc dla każdego x jest tym bardziej większa od minus trzech. Możemy więc zaznaczyć wszystkie możliwe x i zapisać odpowiedź że rozwiązaniem tej nierówności jest każdy x należący do zbioru liczb rzeczywistych. Zapiszmy teraz pewne własności wartości bezwzględnej, które wynikają ze zrobionych powyżej przykładów. Jeżeli a jest większa od zera co jest rozwiązaniem nierówności wartość bezwzględna z x jest większa od a? Rozwiązaniem są x mniejsze od -a oraz x większe od a czyli suma przedziałów od minus nieskończoności do -a oraz od a do nieskończoności. A co jest rozwiązaniem nierówności wartość bezwzględna z x jest większa bądź równa a? Oczywiście podobne przedziały tylko z domkniętymi końcami -a oraz a. A co jest rozwiązaniem tych nierówności dla a równego zeru? Jeżeli a jest równe zeru to wartość bezwzględna z x jest większa od a jeżeli wartość bezwzględna z x jest większa od zera. A ta nierówność spełniona jest dla wszystkich x-ów za wyjątkiem zera. Natomiast wartość bezwzględna z x jest większa bądź równa a inaczej, wartość bezwzględna z x jest większa bądź równa zeru dla dowolnego x. Jeżeli a jest mniejsze od zera to co jest rozwiązaniem tych samych nierówności? W jednej i drugiej nierówności za x możemy podstawić dowolną liczbę i będą one prawdziwe. Zatem rozwiązaniem obu nierówności jest każdy x należący do zbioru liczb rzeczywistych. Kolejną nierównością z którą spróbujemy sobie poradzić to wartość bezwzględna z x jest mniejsza bądź równa czterem. Przyjrzyjmy się po raz kolejny interpretacji tej nierówności na osi liczbowej. Tym razem odległość od zera szukanego x ma być mniejsza bądź równa czterem. Zaznaczmy punkty które są odległe od zera o 4 jednostki. Jest to 4 z jednej i -4 z drugiej strony. Zaznaczamy je wypełnioną kropką ponieważ odległość może być równa czterem. Może być też mniejsza od czterech. To znaczy, że wszystkie x między -4, a 4 też będą spełniały powyższą nierówność ponieważ ich odległość od zera jest mniejsza od czterech. Rozwiązaniem nierówności są więc wszystkie x między minus czwórką i czwórką wraz z końcami przedziału czyli przedział domknięty obustronnie od minus czterech do czterech. Wzorując się na zakończonym przykładzie rozwiąż samodzielnie kolejną nierówność. Wartość bezwzględna z x jest mniejsza od 2/3. Szukamy takich liczb których odległość od zera jest mniejsza od 2/3. Zaznaczmy pustą kropką ponieważ odległość równa 2/3 nie będzie w tym przypadku odpowiednia. Punkty odległe o 2/3 od zera. Są to rzecz jasna 2/3 oraz -2/3, Natomiast odległość od zera wszystkich liczb pomiędzy zaznaczonymi punktami jest mniejsza od 2/3. Te liczby są rozwiązaniem naszej nierówności. x należy do przedziału otwartego od -2/3 do 2/3. Z pewnością teraz poradzisz sobie z taką nierównością. Wartość bezwzględna z x jest mniejsza bądź równa zeru. Szukamy punktów których odległość od zera jest mniejsza bądź równa zeru. Odległość nie może być mniejsza od zera. Jedyną liczbą, która spełnia tę nierówność jest więc liczba, która Jest oddalona od zera o zero jednostek czyli ona sama. x jest równy zeru. A co jest rozwiązaniem nierówności wartość bezwzględna z x jest mniejsza od minus dwóch? Jak wcześniej powiedziałem odległość nie może być ujemna. W tej nierówności szukamy takich x-ów których odległość od zera jest mniejsza od minus dwóch czyli ujemna. Oczywiście w zbiorze liczb rzeczywistych nie znajdziemy takich liczb. x należy więc do zbioru pustego. Możemy teraz wyprowadzić kolejne własności wartości bezwzględnej. Co jest rozwiązaniem nierówności wartość bezwzględna z x jest mniejsza od a dla dowolnego a większego od zera? Liczby, których odległość od zera jest mniejsza od a to wszystkie liczby które są większe od -a i jednocześnie mniejsze od a. Zatem wszystkie x z przedziału otwartego od -a do a. Analogicznie, co jest rozwiązaniem nierówności wartość bezwzględna z x jest mniejsza bądź równa a? Oczywiście wszystkie liczby między -a i a ale wraz z nimi czyli przedział domknięty od -a do a. A dla a równego zeru co jest rozwiązaniem tych nierówności? Wartość bezwzględna nie może być mniejsza od zera. Pierwsza z nierówności nie posiada więc rozwiązania. Natomiast wartość bezwzględna z x jest mniejsza bądź równa zeru jedynie dla x równego zeru. A jeżeli a jest mniejsze od zera jakie liczby moglibyśmy podstawić za x w obu nierównościach? Nie istnieje taka liczba z której wartość bezwzględna byłaby mniejsza albo równa liczbie ujemnej. Obie nierówności nie posiadają więc rozwiązania. Dla dowolnej liczby a większej od zera wartość bezwzględna z liczby x jest większa od a jeżeli x są większe od a lub mniejsze od -a. Nierówność tę interpretujemy na osi liczbowej jako odległość liczby x od zera. Odległość ta jest większa od a. Analogiczne nierówności zachodzą gdy wartość bezwzględna z x jest większa bądź równa a. Natomiast dla dowolnej liczby a większej od zera jeżeli wartość bezwzględna z x jest mniejsza od a to x są z przedziału między -a i a. Analogicznie możemy rozwiązać nierówność wartość bezwzględna z x jest mniejsza bądź równa a. Pomógł Ci ten film? Jeżeli tak obejrzyj pozostałe lekcje dotyczące wartości bezwzględnej. Więcej działów znajdziesz na naszej stronie internetowej pi-stacja.tv