W badaniach pokazano, że u zdrowych ludzi normalne wartości temperatury mogą się różnić nawet o 0,4 stopnia od średniej, za jaką uznaje się 36,8 stopnia Celsjusza. Normy dla temperatury ludzkiego ciała możemy więc zapisać w postaci nierówności z wartością bezwzględną. Wartość bezwzględna z x odjąć 36,8 jest mniejsza bądź równa 0,4. Możemy ją również zapisać jako przedział który jest rozwiązaniem tej nierowności. x należy do przedziału obustronnie domkniętego od 36,4 do 37,2. Równania i nierówności z wartością bezwzględną mają szerokie zastosowania w statystyce. Spróbujmy rozwiązać kilka nierówności z wartością bezwzględną metodą algebraiczną korzystając z własności które wyprowadziliśmy w poprzednim filmie. Rozpocznijmy od następującego przykładu. Wartość bezwzględna z x jest mniejsza od jednego. Korzystając z odpowiedniej własności wiemy, że x musi być mniejsze od jednego i jednocześnie większe od minus jednego. Podsumowując. x, które spełniają jednocześnie obie nierówności to x z przedziału otwartego od minus jednego do jednego. Następna nierówność. 2 dodać wartość bezwzględna z x ma być większe bądź równe siedmiu. Na początku przekształćmy tę nierówność tak, aby po lewej stronie została nam tylko wartość bezwzględna z x. Odejmujemy dwójkę od obu stron nierówności i dostajemy, że wartość bezwzględna z x ma być większa bądź równa pięciu. Spróbuj samodzielnie dokończyć ten przykład. Korzystając z kolejnej własności otrzymujemy, że x mają być większe bądź równe pięciu lub mniejsze bądź równe minus pięciu. Rozwiązaniem są wszystkie liczby mniejsze bądź równe minus pięciu oraz większe bądź równe pięciu czyli suma przedziałów prawostronnie domkniętego od minus nieskończoności do minus pięciu oraz lewostronnie domkniętego od pięciu do plus nieskończoności. Kolejna nierówność. Dla jakich x-ów wartość bezwzględna z x jest mniejsza bądź równa jednemu odjąć pierwiastek z dwóch? Spróbujmy zastosować te własności wartości bezwzględnych które już znamy. Otrzymujemy, że x musi być mniejszy bądź równy jednemu odjąć pierwiastek z dwóch i większy bądź równy minus, w nawiasie jednemu odjąć pierwiastek z dwóch. Drugą nierówność możemy zapisać inaczej. x większe bądź równe pierwiastkowi z dwóch odjąć 1. Co zatem jest rozwiązaniem tej nierówności? Intuicyjnie wydaje się że przedział obustronnie domknięty od pierwiastka z dwóch odjąć 1 do jednego odjąć pierwiastek z dwóch. Ale czy taki przedział istnieje? Pierwiastek z dwóch to około 1,41. Po przybliżeniu krańców przedziału możemy zapisać ten przedział jako przedział domknięty obustronnie od 0,41 do -0,41. Ten przedział to po prostu zbiór pusty. Nierówność ta więc nie posiada rozwiązań. Zobaczmy, dlaczego tak się stało. Zauważ, że wartość 1 odjąć pierwiastek z dwóch czyli w przybliżeniu -0,41, jest ujemna. Mamy więc do rozwiązania nierówność wartość bezwzględna z x jest mniejsza bądź równa jednemu odjąć pierwiastek z dwóch gdzie 1 odjąć pierwiastek z dwóch jest liczbą ujemną. Czy wartość bezwzględna czyli odległość może być mniejsza bądź równa liczbie ujemnej? Pewnie, że nie. Stąd od razu mogliśmy zauważyć że ta nierówność nie posiada rozwiązań. Przypominam, że własność którą przed chwilą wykorzystaliśmy jest prawdziwa dla a większego od zera. Więc zanim zaczniemy rozwiązywać nierówność z wartością bezwzględną należy sprawdzić czy a jest na pewno dodatnie. Rozwiąż samodzielnie kolejny przykład. Dwa pierwiastki z dwóch odjąć wartość bezwzględna z x jest mniejsza od czterech. Nierówność taką taktujemy jako nierówność w której niewiadomą nie jest x a wartość bezwzględna z x. Wyznaczamy ją z nierówności wykonując kilka prostych przekształceń. Odejmujemy od obu stron nierówności 2 pierwiastki z dwóch i otrzymujemy minus wartość bezwzględna z x jest mniejsza od czterech minus 2 pierwiastki z dwóch. Następnie mnożymy obie strony nierówności przez -1 i dostajemy, że wartość bezwzględna z x ma być większa pamiętaj o zmianie znaku od minus, w nawiasie czterech minus 2 pierwiastki dwóch. Pozbywamy się nawiasu i mamy nierówność, wartość bezwzględna z x jest większa od dwóch pierwiastków z dwóch odjąć 4. Przypatrz się nierówności którą otrzymaliśmy po naszych przekształceniach. Wartość bezwzględna z x jest większa od dwóch pierwiastków z dwóch odjąć 4. Co mógłbyś powiedzieć o liczbie, która występuje po prawej stronie nierówności? Pierwiastek z dwóch to w przybliżeniu około 1,41. 2 pierwiastki z dwóch to będzie około 2,82 czyli 2 pierwiastki z dwóch odjąć 4 w przybliżeniu ma wartość 2,82 odjąć 4, czyli -1,18. Liczba występująca po prawej stronie nierówności jest liczbą ujemną. Szukamy więc takich x-ów, w których odległość od zera jest większa od liczby ujemnej. A przecież każda odległość jest większa od liczby ujemnej. Zatem każda z liczb rzeczywistych jest rozwiązaniem tej nierówności. Zawsze warto sprawdzić znak liczby którą mamy po prawej stronie nierówności z wartością bezwzględną. Dzięki temu zaoszczędzimy czas i zapobiegniemy ewentualnej pomyłce w rozwiązaniu. Spróbuj rozwiązać jeszcze jedną nierówność. Wartość bezwzględna z x jest mniejsza od pierwiastka trzeciego stopnia z dziewięciu odjąć 2. Zauważmy na początku, że pierwiastek trzeciego stopnia z dziewięciu odjąć 2 to inaczej pierwiastek trzeciego stopnia z dziewięciu odjąć pierwiastek trzeciego stopnia z ośmiu. Od większej liczby odejmujemy mniejszą. Więc jest to na pewno liczba dodatnia. Możemy pewnie stosować poznane własności. x są mniejsze od pierwiastka trzeciego stopnia z dziewięciu odjąć 2 i jednocześnie większe od minus, w nawiasie pierwiastka trzeciego stopnia z dziewięciu odjąć 2. Inaczej x większe od dwóch odjąć pierwiastek trzeciego stopnia z dziewięciu. Otrzymujemy zatem przedział obustronnie otwarty od dwóch minus pierwiastek trzeciego stopnia z dziewięciu do pierwiastka trzeciego stopnia z dziewięciu odjąć 2. Prawy kraniec przedziału to liczba dodatnia. Lewy to jako liczba przeciwna do dodatniej liczba ujemna. Przedział jest zatem poprawnie wyznaczony i jest rozwiązaniem naszej nierówności. Rozwiążmy teraz bardziej skomplikowane nierówności. Wartość bezwzględna z x odjąć 3 jest mniejsza od czterech. Na początku rozwiążmy tę nierówność korzystając z własności które po drodze wynotowaliśmy. Wiemy, że jeżeli wartość bezwzględna z jakiegoś wyrażenia jest mniejsza od pewnej dodatniej liczby to wyrażenie pod wartością bezwzględną musi być mniejsze od tej liczby i jednocześnie większe od liczby do niej przeciwnej. Otrzymujemy więc, że x odjąć 3 jest mniejsze od czterech i jednocześnie x odjąć 3 jest większe od minus czterech. Rozwiązujemy obie nierówności czyli do obu stron w jednej i drugiej dodajemy 3 i otrzymujemy x jest mniejsze od siedmiu i x jest większe od minus jednego. Rozwiązaniem są więc wszystkie liczby między minus 1, a 7 czyli liczby z przedziału otwartego od minus jednego do siódemki. Spróbujmy teraz to zadanie zinterpretować na osi liczbowej. Wiemy, że wartość bezwzględna z x odjąć 3 jest to odległość między niewiadomym x-em, a trójką. Tłumacząc tę nierówność na prosty język szukamy takich punktów, których odległość od trójki jest mniejsza od czterech. Punktem odległym od trójki o 4 jednostki z jednej strony jest liczba minus 1 natomiast z drugiej 7. Dla wszystkich liczb pomiędzy tymi dwoma odległość od trójki jest mniejsza od czterech. Rozwiązaniem jest więc przedział otwarty od minus jednego do siedmiu. Spróbuj rozwiązać kolejną nierówność. Wartość bezwzględna z x dodać 2 jest mniejsza bądź równa zeru. Jak już dobrze wiesz wartość bezwzględna jest odległością więc nie może być liczbą ujemną. Jedyna możliwość kiedy odległość jest mniejsza bądź równa zeru, to ta kiedy jest po prostu równa zeru. Tak więc zamiast tej nierówności możemy równie dobrze zapisać że wartość bezwzględna z x dodać 2, ma być równa zeru. A wartość bezwzględna z zera to 0 więc wyrażenie pod wartością bezwzględną x dodać 2 musi być równe zeru. Otrzymujemy więc rozwiązanie x równe minus dwóm. Żeby zinterpretować graficznie tę nierówność, przekształćmy wyrażenie pod wartością bezwzględną. W ten sposób będziesz mógł łatwo zauważyć między jakimi liczbami odległość ma być mniejsza bądź równa zeru. Zamiast x dodać 2 możemy zapisać x odjąć -2. Teraz wyraźnie widać że w zadaniu chodzi o odległość między x, a minus dwójką. Odległość ta ma być mniejsza bądź równa zeru. Jest ona taka tylko w tym jednym punkcie. Jedynym rozwiązaniem jest więc liczba -2. Ostatnia nierówność. Wartość bezwzględna z x dodać 0,5 jest większa bądź równa 1,5. Na pewno teraz już poradzisz sobie bez pomocy. Zatrzymaj film i rozwiąż tę nierówność algebraicznie lub graficznie. Jak wolisz. Korzystając z własności wartości bezwzględnej, wyrażenie pod nią ma być większe bądź równe 1,5 lub mniejsze bądź równe -1,5. Otrzymujemy dwie łatwe nierówności. Odejmujemy od obu stron tych nierówności 0,5 i otrzymujemy x większe bądź równe jednemu lub x mniejsze bądź równe minus dwóm. Tak więc rozwiązaniem są wszystkie liczby mniejsze bądź równe minus dwóm jak i większe bądź równe jednemu. Zapiszmy rozwiązanie w postaci sumy przedziałów. x należy do przedziału prawostronnie domkniętego od minus nieskończoności do minus dwóch lub, stąd znak sumy do przedziału lewostronnie domkniętego od jedynki do plus nieskończoności. A jak by to wyglądało graficznie? Na początku ponownie wyrażenie pod wartością bezwzględną możemy przedstawić jako różnicę x dodać 0,5 to nic innego jak x odjąć -0,5. Szukamy więc tych liczb których odległość od -0,5 jest większa bądź równa 1,5. Zaznaczamy te liczby których odległość od -0,5 jest równa 1,5. Są to z lewej strony minus dwójka a z prawej jednyka. Nierówność jest słaba więc zaznaczam te punkty wypełnionymi kropkami. Odległość może być też większa od 1,5 dlatego rozwiązaniem są wszystkie liczby leżące na lewo od minus dwójki i na prawo od jednynki. Otrzymaliśmy dokładnie takie same x jak przy rozwiązywaniu tej nierówności metodą algebraiczną. Jeżeli treść zadania nie wskazuje Ci metody rozwiązania równania lub nierówności z wartością bezwzględną to zrób to metodą, którą wolisz. Wykorzystując poznane własności albo korzystając z osi liczbowej. Jeżeli chcesz rozwiązać prostą nierówność z wartością bezwzględną zerknij na liczbę którą z nią porównujesz. Jeżeli jest to liczba mniejsza bądź równa zeru sprawa staje się prosta. Jeżeli jest to liczba większa od zera skorzystaj z własności wartości bezwzględnej albo z jej geometrycznej interpretacji. Jeżeli wydaje Ci się że z nami matematyka jest łatwiejsza subskrybuj nasz kanał na YouTubie.