Rozwiązywanie równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

Playlista: Równania i nierówności liniowe

Z tego filmu dowiesz się:


  • jak rozwiązywać równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą,
  • czym są pierwiastki równania,
  • czym są równania oznaczone, sprzeczne i tożsamościowe,
  • jak sprawdzić, czy dana liczba jest pierwiastkiem równania,
  • jak rozwiązywać zadania tekstowe za pomocą równań.

Podstawa programowa


Autorzy i materiały

Lista wszystkich autorów


Tutor: Patryk Bojarski

Konsultacja: Krystyna Parszuto

Grafika podsumowania: Agnieszka Opalińska

Materiały: Patryk Bojarski

Korekta: Małgorzata Załoga

Produkcja


Katalyst Education

Wiedza niezbędna do zrozumienia tematu

Aby w pełni zrozumieć materiał zawarty w tej playliście, upewnij się, że masz opanowane poniższe zagadnienia.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Chcę pokazać ci pewną sztuczkę. Pomyśl o dowolnej liczbie. Pomnóż ją przez 2. Następnie do wyniku dodaj 6, a całość podziel przez 2. Teraz odejmij od wyniku wybraną przez ciebie liczbę. Co ci wyszło? Niech zgadnę, to 3. Prawda? Nie, nie potrafię czytać w myślach, za to jestem matematykiem. Stąd wiem, że wynikiem wykonanych przed chwilą operacji zawsze będzie 3 niezależnie od tego, jaką liczbę wybierzesz na początku. Zacznijmy tę lekcję od zagadki podobnej do tej, którą znasz z teasera. Pomyślałem o pewnej liczbie, a następnie pomnożyłem ją przez 1/2, dodałem 5 i wynik pomnożyłem przez 3. Otrzymałem 60. Czy wiesz, o jakiej liczbie pomyślałem? Zatrzymaj film i zastanów się. Czy też wyszło ci 30? Każdą taką zagadkę możemy zapisać językiem matematyki. Czy masz pomysł, jak to zrobić? Matematycy wykorzystują do tego równania. Naszą szukaną liczbę musimy jakoś oznaczyć, na przykład literą x. Jest to nasza niewiadoma. Zapisujemy równanie. Moją liczbę, czyli x na początku pomnożyłem przez 1/2, później dodałem do niej 5. Zauważ, że w kolejnym kroku pomnożyłem cały wynik przez 3. Po wykonaniu operacji otrzymałem 60, więc wpiszę tę wartość po znaku równości. Uprośćmy to równanie. W tym celu możemy obie strony pomnożyć lub podzielić przez dowolną liczbę różną od zera. Możemy też dodawać i odejmować obustronnie dowolną liczbę. Jeśli nie pamiętasz tych zasad, obejrzyj odpowiedni film. Podzielmy obie strony przez 3. Po lewej zostaje nam wyrażenie w nawiasie, który możemy opuścić. Po prawej stronie dzielimy 60 przez 3 i otrzymujemy 20. Następnym krokiem będzie odjęcie od obu stron piątki. Po lewej stronie zostanie nam 1/2 x, a po prawej 20 odjąć 5, czyli 15. Aby otrzymać x musimy obie strony równania podzielić przez 1/2, co możemy zastąpić mnożeniem przez odwrotność, czyli 2. Po lewej stronie otrzymujemy x, a po prawej stronie 30, ponieważ 15 razy 2 to 30. To jest liczba, której szukaliśmy. W ten sposób przypomnieliśmy sobie, jak rozwiązywać równania z jedną niewiadomą w pierwszej potędze. Takie równania nazywamy równaniami liniowymi albo pierwszego stopnia z jedną niewiadomą. Możemy je zawsze doprowadzić do postaci a razy x dodać b równa się 0, gdzie a i b są znanymi współczynnikami liczbowymi. Zauważ, że w naszym zadaniu możemy przenieść 30 na lewą stronę aby otrzymać je w takiej postaci. Jednak po co przekształcać równania w ten sposób? Wyjaśnię ci to po krótkiej przerwie. Każde równanie liniowe z jedną niewiadomą możemy zapisać w postaci a razy x dodać b równa się 0. Przekształcając je otrzymamy, że x równa się minus b dzielone przez a. Taka równość jest prawdziwa lub nie w zależności od wartości współczynników. Jeśli a jest różne od zera, to równanie posiada dokładnie jedno rozwiązanie i nazywamy je wtedy równaniem oznaczonym. Przyjrzyjmy się innym przypadkom. Jak będzie wyglądało nasze równanie, jeśli współczynniki a i b będą równe 0? Otrzymujemy 0 razy x dodać 0 równa się 0, czyli po prostu 0 równa się 0. Jak myślisz? Jakie wartości może przyjmować nasza niewiadoma? Zobacz, że niezależnie od tego, jaką liczbę podstawimy w miejsce x otrzymujemy zawsze równość prawdziwą. Nasze równanie ma w tym przypadku nieskończenie wiele rozwiązań i nazywamy je tożsamościowym. Możemy napisać, że x należy do zbioru liczb rzeczywistych. A co, jeśli a będzie równe zeru, a b różne od zera? Sprawdźmy to. 0 razy x dodać b równa się 0. Otrzymujemy b równe zeru niezależnie od wartości x. Jest to sprzeczne z wcześniejszym założeniem, w którym b miało być różne od zera. Zatem nie ma takiej liczby, która po podstawieniu w miejsce niewiadomej dałaby równość prawdziwą. To równanie nie ma rozwiązań. Jest sprzeczne, więc zapisujemy, że x należy do zbioru pustego. Wykorzystajmy poznaną wiedzę w praktyce. Jaką liczbę należy podstawić w miejsce m, aby równanie: x odjąć 8 równa się mx dzielone przez 2, było sprzeczne? Żeby odpowiedzieć na to pytanie, musimy równanie doprowadzić do postaci a razy x dodać b równa się 0. No to zaczynamy. Na początku pomnóżmy obie strony przez 2. Otrzymujemy 2x odjąć 16 równa się m razy x. Przenieśmy teraz m razy x na lewą stronę. Otrzymujemy 2x odjąć 16 odjąć mx równa się 0. Co teraz? Wyłączmy zatem ten x. Po lewej mamy teraz nawias 2 odjąć m, zamknąć nawias, razy x odjąć 16 równa się 0. Czy potrafisz już odpowiedzieć na pytanie z polecenia? Spójrz. Jeśli wartość w nawiasie będzie równa zeru, to otrzymamy równanie sprzeczne, więc m musi przyjąć wartość 2. Dla jakiej wartości liczby a równość: pierwiastek z 2 odjąć 1 równa się 3 razy a dzielone przez pierwiastek z 2 dodać 1 jest prawdziwa? Żeby odpowiedzieć na to pytanie, należy rozwiązać równanie i wyznaczyć wartość a. Po jej podstawieniu do równania w miejsce niewiadomej a, powinniśmy otrzymać równość prawdziwą. Na początku przepiszmy to wyrażenie. Następnie pomnóżmy obie strony przez pierwiastek z 2 dodać 1. Otrzymujemy pierwiastek z 2 odjąć 1 w nawiasie razy pierwiastek z 2 dodać 1 w nawiasie równa się 3a. Skorzystajmy teraz ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Po lewej stronie dostajemy pierwiastek z 2 do potęgi drugiej, czyli 2, odjąć 1. Aby pozbyć się trójki przy niewiadomej, wystarczy obie strony podzielić przez 3. Otrzymujemy 1/3 równa się a. Jak wcześniej wspomniałem, dana liczba spełnia równanie, jeśli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej otrzymamy równość prawdziwą. W naszym przypadku równanie spełnia 1/3, zatem po podstawieniu jej w miejsce a powinniśmy otrzymać równość prawdziwą. Sprawdźmy to. Lewa strona naszego równania to pierwiastek z 2 odjąć 1. Prawa strona to 3 razy 1/3 podzielić przez pierwiastek z 2 dodać 1. Upraszczając, w liczniku otrzymujemy 1, a mianownik? Usuńmy z niego niewymierność. Najprościej będzie skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia, czyli pomnożyć licznik oraz mianownik przez pierwiastek z 2 odjąć 1. Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy w liczniku pierwiastek z 2 odjąć 1, a w mianowniku pierwiastek z 2 dodać 1 w nawiasie razy pierwiastek z 2 odjąć 1 w nawiasie, czyli 2 odjąć 1. Widzimy, że prawa strona jest równa lewej, zatem otrzymaliśmy równość prawdziwą. Stąd wiemy, że 1/3 spełnia nasze równanie, czyli jest jego pierwiastkiem. Każdą liczbę, która spełnia dane równanie nazywamy pierwiastkiem tego równania, a zbiór wszystkich pierwiastków zbiorem rozwiązań równania. Nasze równanie ma 1 pierwiastek. Jest nim liczba 1/3, a rozwiązaniem jest zbiór jednoelementowy składający się z tej liczby. Możemy zapisać, że a należy do zbioru jednoelementowego 1/3. W przypadku jednego rozwiązania klamrowe nawiasy często pomijamy i piszemy po prostu, że a równa się 1/3. Rozwiążmy takie zadanie. Mamy zbiór liczb: 1, 1/2, minus 2. Czy któraś z tych liczb jest pierwiastkiem równania x dodać 1 dzielone przez 2 dodać 2x równa się 3 razy x minus 1 w nawiasie dzielone przez 2? Jak to zrobić? Podstawmy pierwszą liczbę w miejsce x i sprawdźmy, czy otrzymamy równość prawdziwą. Pamiętając o kolejności wykonywania działań, uprośćmy nasze wyrażenie. 1 dodać 1 przez 2 daje 1 dodać 2 razy 1, czyli 2. Po prawej stronie dostajemy 0. Lewa strona nie jest równa prawej, dlatego 1 nie jest pierwiastkiem tego równania. A czy będzie je spełniać jedna druga? Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie odpowiedzieć na to pytanie. Porównajmy nasze obliczenia Dla ułatwienia zamienię 1/2 na ułamek dziesiętny, czyli na 0,5. Teraz podstawiam tę wartość do naszego równania. Wykonuję obliczenia i po lewej stronie otrzymuję liczbę dodatnią, natomiast po prawej – liczbę ujemną. Ta równość nie jest prawdziwa. Zatem możemy stwierdzić, że liczba 1/2 nie jest pierwiastkiem naszego równania. A co z liczbą -2? Spróbuj sprawdzić to sam, a potem porównamy nasze obliczenia. Tak jak poprzednio, w miejsce x podstawiam -2. Obliczam i otrzymuję -4,5 równa się -4,5. Lewa strona jest równa prawej. Oznacza to, że -2 jest pierwiastkiem tego równania. Jeśli twoje obliczenia doprowadziły cię do tego samego wyniku, to ci gratuluję. Równania liniowe nie powinny mieć już przed tobą tajemnic. Równania liniowe, nazywane też równaniami stopnia pierwszego to równania, w których niewiadome występują tylko w pierwszej potędze. Dowolne równanie liniowe o jednej niewiadomej daje się zapisać w postaci: a razy x dodać b równa się 0, gdzie x jest niewiadomą, natomiast a i b to współczynniki liczbowe. Jeśli a jest różne od zera, to takie równanie zawsze ma dokładnie 1 pierwiastek, mówiąc inaczej - jedno rozwiązanie. Jeśli a i b są równe zeru, to wszystkie liczby są pierwiastkami tego równania. Jeśli a równa się 0, a b nie jest zerem, to równanie nie ma żadnego pierwiastka. Zachęcam cię do obejrzenia innych naszych filmów, zasubskrybowania naszego kanału oraz do odwiedzenia naszej strony pistacja.tv.

Pobieranie materiałów

Poniższe materiały są udostępniane na otwartej licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 4.0.

cc-by