Symbole nierówności „mniejszy niż” i „większy niż” po raz pierwszy wprowadził angielski matematyk Thomas Harriot w 1631 roku. Niektóre źródła donoszą, że zainspirował się on tatuażem rdzennego mieszkańca Ameryki Północnej. Tatuaż wyglądem przypomina dwa symbole nierówności splecione ze sobą. Jaka powinna być długość sznura pokazanej na rysunku huśtawki, żeby jej siedzisko znajdowało się od 0,6 do 1 metra nad ziemią? Na początku oznaczmy szukaną długość jako x. Konstrukcję naszej huśtawki stanowi trójkąt równoboczny o boku 4 metrów. Wysokość tego trójkąta oznaczmy literą h. Zatem odległość siedziska od ziemi wynosi h odjąć x. Odległość ta mieści się w przedziale od 0,6 metra do 1 metra. Możemy to zapisać wykorzystując nierówność podwójną. 0,6 metra jest mniejsze bądź równe h odjąć x, a to jest mniejsze bądź równe 1 metrowi. Możemy wyodrębnić dwie nierówności. Czy czegoś nam tu jeszcze brakuje? Tak – nie znamy wartości h, ale spójrz raz jeszcze na rysunek. Nasz trójkąt jest równoboczny. Czy pamiętasz wzór na wysokość w takim trójkącie? h równa się a razy pierwiastek z 3 przez 2, gdzie a jest długością boku. Jeśli nie pamiętasz, skąd wziął się ten wzór, to zachęcam cię do obejrzenia odpowiedniej wideolekcji. Mamy zatem 4 metry razy pierwiastek z 3 przez 2, czyli 2 pierwiastki z 3 metrów. Jest to około 2 razy 1,73 metra, więc 3,46 metra. Takie przybliżenie wystarcza do praktycznych zastosowań, takich jak liczenie długości sznura, dlatego między h a liczbą postawię znak równości. Zatem w miejsce h możemy podstawić tę wartość. Spróbuj teraz rozwiązać obie nierówności. Po przeniesieniu liczby na lewą stronę i wykonaniu odejmowania otrzymujemy, że minus 2,86 metra jest mniejsze bądź równe minus x. Aby pozbyć się minusa przy niewiadomej, mnożymy obie strony przez minus 1. Mnożąc przez liczbę ujemną należy pamiętać o zmianie zwrotu nierówności. Nasz wynik to: 2,86 metra jest większe bądź równe x. Teraz zajmijmy się drugą nierównością. Przenosimy 3,46 metra na prawą stronę i wykonujemy odejmowanie. Otrzymujemy: minus x jest mniejsze bądź równe minus 2,46 metra. Podobnie jak w nierówności obok, całość mnożymy przez minus 1, pozbywając się minusa przy niewiadomej i zmieniając zarazem zwrot nierówności. Dostajemy x większy bądź równy 2,46 metra. Czy umiesz już odpowiedzieć na pytanie postawione w treści zadania? Na sznur musi być dłuższy niż 2,46 metra, ale krótszy niż 2,86 metra. Jego długość mieści się w przedziale obustronnie domkniętym od 2,46 metra do 2,86 metra. Teraz pokażę ci, jak szybciej dojść do rozwiązania. Na początek odejmujemy h od całego wyrażenia. Dostajemy więc, że 0,6 metra odjąć h jest mniejsze bądź równe minus x, a to jest mniejsze bądź równe 1 metr odjąć h. W miejsce h podstawiamy obliczoną wcześniej wysokość. Otrzymujemy minus 2,86 metra jest mniejsze bądź równe minus x, a to jest mniejsze bądź równe minus 2,46 metra. Całe wyrażenie mnożymy przez minus 1. Musimy pamiętać o zmianie zwrotu nierówności. Dostajemy 2,86 metra jest większe bądź równe x, a to jest większe bądź równe 2,46 metra. x zatem należy do przedziału obustronnie domkniętego od 2,46 metra do 2,86 metra. Jak widzisz oba sposoby prowadzą do tego samego wyniku. Rozwiązując zadania możesz stosować ten, który bardziej przypadnie ci do gustu. Dany jest odcinek o nieznanej długości oraz 2 odcinki dłuższe od niego odpowiednio o 2 centymetry i o 4 centymetry. Jaką długość powinien mieć ten odcinek, aby z trzech podanych odcinków można było zbudować trójkąt? Przedstawmy tę sytuację na rysunku. Oznaczmy ten odcinek jako a. Z treści zadania wiemy, że jeden z odcinków jest dłuższy o 2 centymetry, dlatego możemy zapisać a dodać 2 cm przy tym odcinku. Trzeci odcinek jest dłuższy od szukanego o 4 centymetry, dlatego zapiszemy a dodać 4 cm. Żeby z trzech odcinków można było zbudować trójkąt, muszą one spełniać nierówność trójkąta, która mówi, że suma długości dwóch dowolnych boków w trójkącie musi być większa od długości trzeciego boku. Jeśli tego nie pamiętasz, obejrzyj odpowiedni film. Zauważ, że wiemy dokładnie, który z naszych odcinków jest najdłuższy. Jest nim ten odcinek, dlatego nie musimy zapisywać wszystkich trzech nierówności. Wystarczy, że suma długości naszych dwóch krótszych odcinków będzie większa od długości najdłuższego. Zatem a dodać a dodać 2 cm musi być większe od a dodać 4 cm. Zatrzymaj film i spróbuj rozwiązać tę nierówność. Przenieśmy niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą. Otrzymujemy a dodać a odjąć a jest większe niż 4 cm odjąć 2 cm. Po wykonaniu działań otrzymujemy, że a jest większe od 2 cm, zatem aby z danych odcinków można było zbudować trójkąt, najkrótszy z nich, czyli ten o długości a musi być dłuższy niż 2 cm. Przejdźmy teraz do kolejnego przykładu. Jakiej długości może być bok rombu, jeśli jedna z jego przekątnych ma 10 cm? W rozwiązaniu tego zadania bardzo przyda nam się rysunek pomocniczy. Bok oznaczymy jako a i napiszemy, że jedna z przekątnych ma 10 cm. Zauważ, że dzieli ona nasz romb na dwa identyczne trójkąty równoramienne, których ramionami są boki rombu. Z jakich odcinków można zbudować trójkąt równoramienny, jeśli długość jego podstawy wynosi 10 cm? Tak jak w poprzednim zadaniu, skorzystamy z twierdzenia o nierówności trójkąta. Nie wiemy, który z boków jest najdłuższy. Zatrzymaj film i sprawdź się. Spróbuj wypisać wszystkie potrzebne nierówności. Suma długości tego boku i tego boku musi być większa od długości tego boku. Suma długości tych boków musi być większa od długości tego boku. Wreszcie długości tych boków dodane do siebie muszą być większe od długości tego boku. Zwróć uwagę, że dwie ostatnie nierówności są identyczne, bo nasz trójkąt był równoramienny. Zajmijmy się więc tą nierównością. 2 a jest większe od 10 cm. Po podzieleniu obu stron przez 2 otrzymujemy, że a jest większe od 5 cm. A co z tą nierównością? Kiedy odejmiemy od obu stron a, to otrzymamy, że 10 cm jest większe od zera. Jest ona spełniona niezależnie od wartości a, ale tak się dzieje tylko w przypadku trójkąta równoramiennego. Zwróć uwagę, że jeśli do długości ramienia dodamy dowolną dodatnią liczbę, to zawsze spełnimy nierówność trójkąta, ponieważ drugie ramię jest takiej samej długości. Zatem bok naszego rombu musi być dłuższy niż 5 cm. Jakie warunki musi spełniać x, aby można było zbudować przedstawiony na rysunku trójkąt rozwartokątny? Jak wiesz, trójkąt jest rozwartokątny jeśli suma kwadratów długości krótszych boków jest mniejsza od kwadratu długości najdłuższego. Zapiszmy ten warunek. 10 do kwadratu dodać x do kwadratu musi być mniejsze niż x dodać 2 do kwadratu. Spróbuj rozwiązać tę nierówność samodzielnie. 10 do kwadratu to 100. x kwadrat pozostawiamy bez zmian, natomiast wyrażenie: x dodać 2 do kwadratu rozwiązujemy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia. Widzisz, że x do kwadratu możemy skrócić. Nasza nierówność przyjmie zatem postać: 100 jest mniejsze niż 4x dodać 4. Przenosimy czwórkę ze zmienionym znakiem na lewą stronę i otrzymujemy, że 96 jest mniejsze od 4x. Dzielimy obie strony przez 4. 24 jest zatem mniejsze od x, czyli x jest większe od 24. Aby trójkąt przedstawiony na rysunku był trójkątem rozwartokątnym, to x musi być większe niż 24. Rozwiążmy ostatni przykład: różnica długości boków prostokąta wynosi 5. Jaką najmniejszą długość wyrażoną w liczbach naturalnych powinny mieć te boki, jeśli po zwiększeniu długości każdego z nich o 3 pole zwiększy się co najmniej o 32? Znów pomoże nam rysunek. Ten bok oznaczmy literą a. Wiemy, że drugi jest krótszy o 5, dlatego możemy zapisać, że ma długość a odjąć 5. Wiemy, że jeśli każdy z boków wydłużymy o 3, to nowy prostokąt powinien mieć pole większe o co najmniej 32. Jakie wymiary będzie miał nowy prostokąt? Narysujmy to. Ten bok będzie o 3 większy od tego, dlatego piszę a dodać 3. Ten bok natomiast będzie o 3 dłuższy od tego boku, dlatego piszę a odjąć 2. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie obliczyć pole obu prostokątów. Pole pierwszego, mniejszego, wynosi a razy a odjąć 5. Po pomnożeniu dostajemy a kwadrat odjąć 5a. Natomiast pole drugiego, większego prostokąta jest równe a dodać 3 razy a odjąć 2. Mnożymy każdy składnik w nawiasie i otrzymujemy a kwadrat dodać a odjąć 6. Przypomnijmy sobie, o co pytano nas w zadaniu. Mieliśmy znaleźć najmniejsze długości boków prostokąta takie, żeby po ich powiększeniu o 3 pole tego prostokąta zwiększyło się o co najmniej 32, czyli P2 musi być większe bądź równe P1 dodać 32. Dlaczego piszę znak „większe bądź równe”, a nie po prostu znak większości? Ponieważ w treści zadania pole nowego prostokąta musi być większe co najmniej o 32, a nie większe o ponad 32. To zasadnicza różnica, na którą musisz zwracać uwagę podczas czytania treści zadań. Wracając do naszego przykładu, należy teraz w miejsce P1 i P2 podstawić te wyrażenia. Zatrzymaj film i spróbuj rozwiązać tę nierówność samodzielnie. Zróbmy sobie trochę miejsca. Po podstawieniu otrzymujemy a kwadrat dodać a odjąć 6 jest większe bądź równe a kwadrat odjąć 5a dodać 32. Przenosimy niewiadome na lewą, a liczby na prawą stronę, pamiętając o zmianie znaku. a do kwadratu się zredukuje i zostaje nam 6a jest większe bądź równe 38. Dzielimy obie strony przez 6 i otrzymujemy, że a jest większe bądź równe 38/6, czyli 6 i 1/3. My jednak mieliśmy znaleźć najmniejsze długości boków wyrażone liczbami naturalnymi. Jakie zatem będzie nasze a? Będzie wynosiło 7, zatem długość krótszego boku będzie musiała wynosić przynajmniej 2. W każdym trójkącie najdłuższy bok jest krótszy od sumy pozostałych boków. W trójkącie ostrokątnym kwadrat najdłuższego boku jest mniejszy od sumy kwadratów pozostałych boków, a w trójkącie rozwartokątnym kwadrat najdłuższego boku jest większy od sumy kwadratów pozostałych boków. To wideo dotyczy wykorzystywania nierówności liniowych w rozwiązywaniu zadań geometrycznych. Jeśli ten temat cię zainteresował, to zachęcam cię do obejrzenia pozostałych filmów z tej playlisty.