W pamięci komputera ułamek, na przykład dwie dziesiąte, to w systemie binarnym 0,0011... i tak dalej. Wzór ten powtarza się w nieskończoność – a w zasadzie mógłby, gdyby nie to, że komputer posiada ograniczoną pamięć. Dlatego rozwinięcie dziesiętne w pewnym punkcie po prostu obcina. Gdy chce taki ułamek „przeczytać”, musi zamienić kod binarny z powrotem na system dziesiętny. Tyle, że po takiej zamianie nie będzie to już oryginalne dwie dziesiąte, lecz nieco mniejsza wartość. Różnica jest z pozoru niezauważalna, ale potrafi się kumulować. Dlatego przy tworzeniu precyzyjnych symulacji wymagających wielu powtórzeń, trzeba zwrócić na to uwagę. Cześć! W tej wideolekcji opowiem ci o ułamkach dziesiętnych nieskończonych okresowych, które będę nazywał po prostu ułamkami okresowymi. Przygotujmy sobie kalkulator. Co otrzymamy, jeśli podzielimy jeden przez cztery? Zero, przecinek, dwa, pięć, czyli 25 setnych. Zapiszmy sobie, że 1 dzielone przez 4 równa się zero, przecinek, dwa, pięć. A co dostaniemy, jeśli podzielimy 1 przez 3? 0,333... i tak dalej. Kalkulator ma ograniczoną liczbę okienek, dlatego wyświetli tylko kilka bądź kilkanaście cyfr. W rzeczywistości mamy tych trójek nieskończenie wiele. Możemy napisać trzy kropki, które oznaczają, że cyfry ciągną się w nieskończoność, albo możemy wziąć powtarzające się sekwencje cyfr w nawias. Z tym zapisem spotkasz się najczęściej. Powtarzający się układ cyfr po przecinku nazywamy okresem, a ułamek, w którym taki układ występuje – ułamkiem okresowym. Czy wiesz, jak dokonać operacji odwrotnej, to znaczy zapisać ułamek okresowy w postaci ułamka zwykłego? Pokażę ci, jak to zrobić na przykładzie jednej trzeciej. Oznaczmy sobie ten ułamek okresowy literą x. Teraz obie strony pomnóżmy przez 10. Po lewej mamy 10x, a po prawej? Przy mnożeniu ułamków dziesiętnych przez 10 musimy przesunąć przecinek o jedno miejsce w prawo. W ten sposób uzyskamy 3 przecinek, 3 w okresie. Kontynuujemy przekształcanie prawej strony tego równania. 3, przecinek, 3 w okresie możemy rozpisać jako 3 dodać 0,3 w okresie. Zwróć uwagę, że ten ułamek jest po prostu naszym x. Podstawmy go zatem w to miejsce. Otrzymujemy proste równanie. Spróbuj rozwiązać je samodzielnie. x przenoszę na lewą stronę pamiętając o zmianie znaku i wykonuję odejmowanie. Otrzymuję, że 9x równe jest 3. Obie strony dzielę przez 9 i otrzymuję, że x to 3/9, czyli 1/3. Dokładnie takiego wyniku się spodziewaliśmy, ale czy każdy ułamek okresowy można zamienić na ułamek zwykły? Schrup orzeszka, a za chwilę odpowiem na to pytanie. Każdy ułamek dziesiętny nieskończony okresowy jest liczbą wymierną. Jeśli nie pamiętasz, czym są liczby wymierne, to obejrzyj odpowiedni film. Pomyśl, jak liczbę 0,1 w okresie przedstawić w postaci ułamka zwykłego. Spróbuj zrobić to samodzielnie, wykorzystując metodę z poprzedniego przykładu. Na początku oznaczmy nasz ułamek dowolną literą, na przykład a. Po drugiej stronie równania zapisujemy 0 i kilka jedynek po przecinku. Teraz obie strony pomnóżmy przez 10. Po lewej otrzymujemy 10a, a po prawej 1,11... i tak dalej. Prawą stronę równania możemy tak jak w poprzednim przykładzie rozbić na sumę: 1 dodać 0,111... i tak dalej. Ten ułamek to nasza liczba a. Otrzymujemy więc, że 10a równa się 1 dodać a. Po przeniesieniu niewiadomej na lewą stronę i wykonaniu obliczeń otrzymujemy, że 9a równa się 1. Po podzieleniu obu stron przez 9 mamy a równe 1/9. Możemy zatem napisać, że 0,1 w okresie równe jest 1/9. Jeśli pomyślisz o dowolnej liczbie, to na pewno będzie to liczba rzeczywista. Zbiór liczb rzeczywistych możemy podzielić na dwa rozłączne zbiory: zbiór liczb wymiernych oznaczony wielką literą Q oraz zbiór liczb niewymiernych oznaczony jako R odjąć Q. Czym różnią się te zbiory? Otóż każdą liczbę wymierną możemy zawsze zapisać w postaci ułamka zwykłego. Ta zasada nie działa dla liczby niewymiernych, co udowodnili już starożytni Grecy ze szkoły Pitagorasa. Przykładem liczby niewymiernej jest pierwiastek z 2. Jego rozwinięcie dziesiętne jest co prawda nieskończone, ale nie ma w nim żadnego układu cyfr, który regularnie się powtarza. Jest to cecha, która pozwala nam na odróżnienie liczb wymiernych od niewymiernych. Zróbmy teraz nieco bardziej zaawansowany przykład. Polecenie brzmi: przedstaw liczbę 5,1 i 37 w okresie w postaci ułamka zwykłego. Jak w poprzednich przykładach, oznaczmy naszą liczbę jakąś literą, na przykład p, a po drugiej stronie znaku równości zapiszmy 5 i kilka cyfr po przecinku. Widzisz, że cyfry 3 i 7 powtarzają się cyklicznie. Żeby po przecinku zostały nam tylko te cyfry, pomnóżmy obie strony przez 10. Otrzymujemy: 10p równa się 51,3737... i tak dalej. Przyjrzyjmy się temu rozwinięciu. Trójki występują na miejscach nieparzystych, natomiast siódemki na miejscach parzystych. Jak myślisz – przez jaką liczbę należy pomnożyć ten ułamek, aby układ tych cyfr pozostał taki sam? Po pomnożeniu naszej liczby przez 100 będziemy musieli przesunąć przecinek o dwa miejsca w prawo. Po tej operacji trójka wciąż będzie występować w miejscach nieparzystych, a siódemka w miejscach parzystych. Mamy więc 1000p równa się 5137,3737... i tak dalej. Teraz prawą stronę równania musimy przedstawić w postaci sumy tego, czyli 51,3737... i tak dalej oraz tego, co pozostanie po odjęciu tego od tego. Jest to liczba 5086. Teraz pozostało nam już jedynie podstawić 10p pod 51,3737... i tak dalej oraz obliczyć to równanie. Spróbuj teraz samodzielnie podać rozwiązanie tego zadania. 1000p równa się 10p dodać 5086. 10p przenosimy na lewą stronę pamiętając o zmianie znaku i wykonujemy odejmowanie. Otrzymujemy: 990p równa się 5086. Obie strony dzielimy przez liczbę stojącą przy niewiadomej, czyli przez 990 i otrzymujemy, że p równa się 5086/990. Sprawdźmy nasze rozwiązanie na kalkulatorze. Dzielimy licznik przez mianownik i otrzymujemy dokładnie liczbę z treści zadania. Pokażę ci teraz użyteczną regułę. Jak myślisz, czemu jest równe 0,9 w okresie? Sprawdź to. Wynik może cię zaskoczyć! Podobnie jak w poprzednich zadaniach, oznaczamy sobie tę liczbę literą, na przykład m i piszemy kilka cyfr rozwinięcia po przecinku. Obie strony mnożymy przez 10 i otrzymujemy, że 10m równa się 9,999... i tak dalej. Rozbijamy tę liczbę na sumę dwóch składników: 9 oraz 0,999 i tak dalej. Drugą liczbą jest, jak w poprzednich przykładach, nasz wyjściowy ułamek. Otrzymujemy proste równanie. Przenosimy m na lewą stronę i widzimy, że 9m równa się 9. Obie strony dzielimy przez 9 i dostajemy odpowiedź: m jest równe 1. Choć pozornie to nielogiczne, nie jest to żadne przybliżenie. To po prostu różny zapis tej samej liczby, tak samo jak 0,3 w okresie równe jest 1/3. Zresztą każdy ułamek dziesiętny o okresie 9 możemy zastąpić ułamkiem dziesiętnym skończonym, na przykład 0,8 i 9 w okresie równe jest 9/10. 1 i 9 w okresie równa się 2. a 0,1 i 9 w okresie równe jest 2/10. Na koniec jeszcze jeden przykład dla ciebie. Liczbę 1,21 i 032 w okresie przedstaw w postaci ułamka zwykłego. Czy potrafisz zrobić to samodzielnie? Na początku oznaczmy tę liczbę literą x i zapiszmy kilka cyfr po przecinku. Aby po przecinku zostały nam tylko cyfry, które powtarzają się regularnie, musimy obie strony pomnożyć przez 100. Mamy zatem: 100x równa się 121,032032… i tak dalej. Przez jaką liczbę należy teraz pomnożyć tę wartość, aby bezpośrednio po przecinku otrzymać sekwencję 0, 3, 2? Przez 1000. Wtedy przecinek przesuwamy o trzy miejsca w prawo i bezpośrednio po przecinku dostajemy właściwą kolejność: 0, 3, 2. Po pomnożeniu otrzymujemy 100000x równa się 121032,032032 i tak dalej. Następnie prawą stroną należy zamienić na sumę tego, czyli 121,032032 i tak dalej oraz różnicy tego… i tego, czyli 120911. W to miejsce możemy podstawić 100x. Otrzymamy, że 100000x równa się 100x dodać 120911. 100x przenosimy na lewą stronę, odejmujemy i dostajemy: 99900x równa się 120911. Ostatnim krokiem będzie podzielenie obu stron równania przez liczbę stojącą przy iksie. Nasz x równa się zatem 120911 dzielone przez 99900. Sprawdźmy to rozwiązanie na kalkulatorze. Dzielimy licznik przez mianownik I otrzymujemy liczbę z treści polecenia. Sprytny sposób na zamianę ułamka okresowego na ułamek zwykły: Zapisz ułamek okresowy biorąc okres w nawias. Zapisz jako jedną liczbę, cyfry znajdujące się po przecinku, a jako drugą liczbę, cyfry między przecinkiem a nawiasem. Odejmij drugą liczbę od pierwszej. Policz, ile jest cyfr w nawiasie (okresie), zapisz w mianowniku tyle samo dziewiątek, a na końcu tyle zer, ile jest cyfr pomiędzy przecinkiem a nawiasem. To jest mianownik twojego ułamka. Zapisz otrzymaną liczbę mieszaną. Jeśli ten film ci się spodobał, to nie zapomnij zostawić łapki w górę. Odwiedź również naszą stronę na Facebooku, Pistacja Matematyka, aby śledzić na bieżąco nasze poczynania.