William George Horner był brytyjskim matematykiem żyjącym na przełomie XIX i XX wieku. Od jego nazwiska pochodzi nazwa metody którą poznasz w tym wideo. Jednak nie samą matematyką Horner żyje. W roku 1833 zbudował urządzenie zwane zoetropem w którym można było imitować ruch obrazu wewnątrz obracającego się cylindra. W tym filmie pokażę Ci kolejną metodę dzielenia wielomianów. Na początku rozwiążmy takie zadanie. Dany jest wielomian W od x równa się 2x do czwartej odjąć 19x do trzeciej odjąć 31x kwadrat odjąć 21x odjąć 13. Oblicz wartość tego wielomianu dla argumentu 11. Aby wyznaczyć tę wartość musielibyśmy za x podstawić 11 tę jedenastkę podnieść do potęgi czwartej, trzeciej i drugiej. Operowalibyśmy na dużych liczbach a to niewygodne i mało zachęcające. Pokażę Ci bardzo sprytny sposób który pozwala na obliczenie wartości wielomianu dla dowolnego argumentu bez podnoszenia do potęgi. Przekształćmy nasz wielomian. Z jednomianów zawierających x wyciągnijmy tego x z nawiasu. Zauważ, że w nawiasie pozostaje nam wtedy wielomian stopnia niższego o 1. Z niego też wyciągnijmy x. Znowu stopień wielomianu zmniejszył się o 1. Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie przekształcić ten wielomian tak żeby otrzymać x tylko w pierwszej potędze. Wyciągamy x z tego nawiasu i otrzymujemy: 2x odjąć 19 razy x odjąć 31 razy x odjąć 21 razy x i odjąć 13. Obliczamy teraz wartość tego wielomianu zaczynając od najbardziej wewnętrznego nawiasu. 2 razy 11 odjąć 19 daje nam 3. Z kolejnymi nawiasami postępujemy w podobny sposób. 3 razy 11 odjąć 3 daje nam 2. Dokończ te obliczania samodzielnie. Mnożymy 2 przez 11 i odejmujemy 21 otrzymując 1. 1 razy 11 odjąć 13 daje nam minus 2. Zobacz, że na każdym etapie obliczeń operowaliśmy na małych liczbach i nie musieliśmy korzystać z kalkulatora. Aby jeszcze bardziej ułatwić sobie obliczenia możemy zapisać je w postaci tabeli. Tę metodę nazywamy schematem Hornera. W pierwszym wierszu wpisujemy kolejno współczynniki uporządkowanego wielomianu. W tym przypadku mamy: 2 minus 19 minus 31 minus 21 minus 13. Drugi wiersz pozostawiamy na razie pusty. Dodajemy dodatkową kolumnę na początku tabeli i wpisujemy w nią nasz argument. Z tak przygotowaną tabelą możemy rozpocząć obliczenia. Pierwszy współczynnik przepisuję do drugiego wiersza następnie mnożę tę wartość przez nasz argument i do wyniku dodaję kolejny współczynnik z pierwszego wiersza. Wynik zapisuję w drugim wierszu poniżej drugiego współczynnika. Zauważ, że jest to dokładnie to samo działanie które wykonywaliśmy w najbardziej wewnętrznym nawiasie. Otrzymany wynik mnożę ponownie przez nasz argument i dodaję kolejny współczynnik z pierwszego wiersza. Wynik ponownie zapisuję w wierszu poniżej. Zobacz, że tu otrzymaliśmy to samo co wyżej wewnątrz tego nawiasu. Spróbuj w analogiczny sposób uzupełnić pozostałe dwie komórki. Liczymy. 2 razy 11 to 22 dodajemy do tego minus 21 i otrzymujemy 1. 1 mnożymy przez 11 i dodajemy minus 13. Wynik, czyli minus 2 wpisujemy do ostatniej kolumny w tym wierszu. To jest rozwiązanie naszego zadania. Możemy zatem napisać że W od 11 równa się minus 2. Jak widzisz metoda z użyciem tabeli bywa szybsza. Dlatego zachęcam Cię do stosowania tego algorytmu przy obliczaniu wartości wielomianów zwłaszcza jeśli zawierają wysokie potęgi. Przećwiczmy schemat Hornera. Oblicz wartość wielomianu W od x dla argumentu minus 7. Rysujemy tabelę i wypełniamy ją współczynnikami: minus 1, minus 6 ale chwila... X w czwartej potędze nie ma a miejsce w tabeli jest. Co powinniśmy tam wpisać? Skoro nie ma x w takiej potędze to oznacza że jego współczynnik wynosi zero co oczywiście należy wpisać do tabeli. Dopiszmy jeszcze pozostałe współczynniki. Wyraz wolny jest równy zeru ponieważ nie występuje on w wielomianie W od x. Po lewej stronie zapiszmy argument dla którego liczymy wartość wielomianu. minus 1 przepisujemy i mnożymy przez minus 7. Do tego dodajemy minus 6 i otrzymujemy 1. Tę jedynkę mnożymy przez minus 7 i dodajemy zero otrzymując po prostu minus 7. Minus 7 razy minus 7 to 49. 49 odjąć 50 daje nam minus 1. Minus 1 razy minus 7 dodać minus 8 to minus 1. Minus 1 razy minus 7 dodać minus 10 to minus 3. I w końcu minus 3 razy minus 7 dodać zero to 21. Jest to odpowiedź do naszego zadania. W od minus 7 równa się 21. Przejdźmy teraz do dzielenia wielomianów. Też wykorzystamy tu schemat Hornera. Podzielmy wielomian W od x przez dwumian x odjąć 3. Narysujmy tabelkę oraz uzupełnijmy ją współczynnikami dzielonego wielomianu. Co dalej? Aby uzyskać wynik tego dzielenia musimy obliczyć wartość wielomianu W od x dla x który jest liczbą przeciwną do wyrazu wolnego w dwumianie przez który dzielimy. Ten wyraz wolny wynosi -minus dlatego liczymy wartość wielomianu dla argumentu 3. Wykonaj obliczenia samodzielnie wykorzystując do tego schemat Hornera. Dwójkę przepisujemy do wiersza niżej oraz mnożymy ją przez 3. Otrzymujemy szóstkę do której dodajemy minus 9. Wynik, czyli minus 3 wpisujemy poniżej. Teraz to minus trójkę mnożymy przez 3 i otrzymujemy minus 9. A to dodać 13 to 4. 4 razy 3 to 12. Do tego dodajemy minus 12 i otrzymujemy zero. Zatem wartość tego wielomianu dla argumentu 3 wynosi zero. Nie jest to tylko wartość tego wielomianu dla argumentu 3 ale również reszta z dzielenia tego wielomianu przez x odjąć 3 Jak widać W od x podzielił się bez reszty. Zwróć uwagę na pozostałe wyniki w tabeli. To nie tylko cząstkowe obliczenia które pomagają nam wyznaczyć wartość wielomianu. Kryją się w nich współczynniki wielomianu który otrzymaliśmy w wyniku naszego dzielenia. Jeśli chcesz dowiedzieć się dlaczego ta metoda działa to zachęcam Cię do obejrzenia filmu w którym dowodzę skuteczności schematu Hornera. Wielomian w wyniku jest stopnia drugiego ponieważ wielomian stopnia trzeciego dzieliliśmy przez wielomian stopnia pierwszego a jak wiesz, przy dzieleniu stopnie wielomianów się odejmują. Drugi wiersz w tabeli odpowiada współczynnikom przy odpowiednich potęgach argumentu. Zatem wynikiem dzielenia wielomianu W od x przez dwumian x odjąć 3 gdzie x nie może być równe trzem jest wielomian 2x kwadrat odjąć 3x dodać 4. Zapiszmy jeszcze wynik w postaci iloczynu. Jeśli pomnożymy obie strony przez x odjąć 3 to otrzymamy takie wyrażenie. Jak widzisz, schemat Hornera może znacząco przyśpieszyć dzielenie dowolnego wielomianu przez wyrażenie postaci x odjąć c, czyli przez dwumian w którym współczynnik przy x wynosi 1. Przed rozpoczęciem dzielenia upewnij się że wielomian jest uporządkowany. Ten przykład będzie dla Ciebie. Wykonaj dzielenie wielomianu W od x przez dwumian x dodać 2. Wyraz wolny dwumianu wynosi 2 a liczbą przeciwną do dwójki jest minus 2. Aby w wyniku dzielenia otrzymać poprawne współczynniki, należy więc obliczyć wartość wielomianu W od x dla argumentu minus 2. Zatrzymaj film i sprawdź się a za chwilę porównamy nasze wyniki. Rysujemy tabelę i wypełniamy pierwszy wiersz współczynnikami dzielonego wielomianu czyli W od x. Po lewej stronie wpisujemy minus 2 ponieważ dzielimy przez dwumian x dodać 2. Pierwszą jedynkę przepisujemy do wiersza niżej. Teraz 1 mnożymy przez minus dwójkę i dodajemy jedynkę. Otrzymujemy minus 1. Następnie tę minus jedynkę mnożymy przez minus 2 i dodajemy minus jedynkę. Otrzymujemy 1. Tę jedynkę mnożymy przez minus 2 i dodajemy piątkę, otrzymując trójkę. 3 razy minus 2 dodać 1 to minus 5. Ta minus piątka jest resztą naszego dzielenia a pozostałe liczby są współczynnikami wielomianu wynikowego. Zapiszmy odpowiedź. W od x podzielić przez x dodać 2 gdzie x nie może być równe minus 2 równa się x do trzeciej odjąć x kwadrat dodać x dodać 3 i reszty minus 5. Jak pamiętasz, resztę możemy zapisać jako minus 5 dzielone przez x dodać 2. Jeśli teraz obie strony pomnożymy przez x dodać 2 to otrzymamy rozwiązanie w postaci iloczynu. Jak widzisz schemat Hornera nie jest trudny. Ale aby dobrze opanować tę metodę należy ją przećwiczyć. Zróbmy zatem kolejny przykład. W tym zadaniu wielomian W od x należy podzielić przez dwumian x odjąć 2. Przećwicz dzielenie schematem Hornera samodzielnie. Na początek rysujemy tabelę i wypełniamy ją współczynnikami naszego wielomianu. x w pierwszej potędze nie występuje więc jego współczynnik wynosi zero co oczywiście należy wpisać do tabeli. Wpiszmy jeszcze wyraz wolny. Wyraz wolny dwumianu przez który dzielimy wynosi minus 2 a liczbą przeciwną do minus dwójki jest 2. Tę dwójkę wpisujemy tutaj. Zaczynamy obliczenia. Jedynkę przepisujemy, mnożymy ją razy 2 i odejmujemy dwójkę. Dostajemy zero. Następnie to zero mnożymy przez dwójkę i dodajemy 2 w efekcie otrzymujemy 2. 2 razy 2 to 4 odjąć 5 to minus 1. Minus 1 razy 2 dodać zero to minus 2. I w końcu minus 2 razy 2 dodać 5 to 1. Możemy już podać odpowiedź. W od x podzielić przez x odjąć 2 gdzie x nie jest równy dwóm to x do czwartej dodać 2x kwadrat odjąć x odjąć 2 i reszty 1. Możemy również zapisać to działanie w postaci takiego iloczynu. Pamiętaj, aby przy zapisywaniu współczynników wielomianu zapisywać też współczynniki zerowe. Jeśli będziesz o tym pamiętać to na pewno uzyskasz prawidłowy wynik. Co daje nam schemat Hornera? Możliwość szybkiego dzielenia dowolnego wielomianu przez dwumian postaci x odjąć c oraz możliwość wyznaczania wartości wielomianu dla dowolnego argumentu. Znasz już kilka metod dzielenia wielomianów. Która z nich podoba Ci się najbardziej? Daj nam o tym znać w komentarzu. Tymczasem nie zapomnij zasubskrybować naszego kanału, aby twojej uwadze nie umknęły nasze nowe materiały wideo.