Nazwa schemat Hornera wzięła się od nazwiska XIX-wiecznego matematyka ale podobnej metody używali już Chińczycy w X wieku. Służyła im głównie do obliczania pierwiastków wielomianów drugiego i trzeciego stopnia. To niełatwa sztuka zwłaszcza bez pomocy komputerów i kalkulatorów. W tej lekcji zajmiemy się czymś znacznie prostszym. Udowodnię Ci dlaczego schemat Hornera działa. W jednym z filmów z tej playlisty uczyliśmy się wykorzystywania schematu Hornera do dzielenia wielomianów. W tym filmie pokażę Ci dlaczego ta metoda działa. Załóżmy, że wielomian W od x jest dowolnym wielomianem czwartego stopnia. Zapiszmy go w postaci ogólnej. W od x równa się a4 razy x do czwartej dodać a3 razy x do trzeciej dodać a2 razy x kwadrat dodać a1 razy x dodać a0 gdzie a4, a3, a2, a1 i a0 to współczynniki wielomianu. Schemat Hornera pozwala nam wykonać dzielenie tego wielomianu przez dwumian postaci x odjąć c. W wyniku dzielenia dostaniemy pewien wielomian G od x oraz resztę R od x. Resztę możemy zapisać jako R od x podzielić przez x odjąć c. Co wiemy o wielomianach G oraz R? Czy jesteś w stanie powiedzieć jakiego są stopnia? Przy dzieleniu wielomianów stopień w wyniku jest różnicą stopnia dzielnej i dzielnika. Mówiłem o tym w innym filmie z tej playlisty. Skoro W jest stopnia czwartego a x odjąć c stopnia pierwszego to G musi być stopnia trzeciego bo 4 odjąć 1 równa się 3. Wielomian G od x możemy zapisać w postaci b3 razy x do trzeciej dodać b2 razy x kwadrat dodać b1 razy x i dodać b0. Pozostało nam jeszcze określić stopień reszty. Wiesz, że jej stopień musi być mniejszy od stopnia dzielnika. W naszym przypadku mniejszy od 1. Wielomian stopnia zerowego to po prostu pewna liczba rzeczywista dlatego możemy napisać że R od x, równa się r. Wartość reszty nie zależy zatem od wartości x. Zróbmy sobie krótką przerwę. Rozpatrzmy równanie które ułożyliśmy poprzednio. W od x podzielić przez x odjąć c równa się G od x dodać R od x podzielić przez x odjąć c. Jeśli obie strony pomnożymy przez dwumian x odjąć c to otrzymamy W od x równa się G od x razy x odjąć c dodać R od x. Wyznaczmy współczynniki wielomianu W. Po prawej stronie zastąpmy G wzorem wielomianu a w miejsce R od x wpiszmy r i wykonajmy mnożenie. Mnożymy każdy wyraz z każdym i otrzymujemy: b3 razy x do czwartej dodać b2 razy x do trzeciej dodać b1 razy x kwadrat dodać b0 razy x odjąć b3 razy c razy x do trzeciej odjąć b2 razy c razy x kwadrat odjąć b1 razy c razy x i odjąć b0 razy c a resztę przepisujemy. Uporządkujmy ten wielomian. x w potędze czwartej jest tylko tutaj więc po znaku równości zapiszmy b3 razy x do czwartej. x do trzeciej jest tutaj i tutaj. Po dodaniu współczynników otrzymujemy b2 odjąć b3 razy c razy x do trzeciej. Teraz szukamy x-ów w potędze drugiej. Są one tutaj. Dodajemy je i dopisujemy do wyniku b1 odjąć b2 razy c razy x kwadrat. x w potędze pierwszej znajdują się tutaj. Po dodaniu otrzymujemy: b0 odjąć b1 razy c razy x. Zostały jeszcze wyrazy wolne czyli te bez x. Zapiszę je w nawiasie aby łatwo można było je zauważyć. Zróbmy sobie trochę miejsca na tablicy. Lewa strona musi być równa prawej zatem to, co otrzymaliśmy musi być równe W od x. A kiedy dwa wielomiany są sobie równe? Kiedy współczynniki przy odpowiednich potęgach niewiadomej są takie same. Możemy zatem napisać że a4 równa się b3. a3 równa się b2 odjąć b3 razy c. a2 równa się b1 odjąć b2 razy c. a1 równa się b0 odjąć b1 razy c. I a0 równa się r odjąć b0 razy c. Wyznaczyliśmy współczynniki wielomianu W względem współczynników wielomianu G. Zrobiliśmy to nie wykorzystując schematu Hornera. Z niego skorzystamy w kolejnej części dowodu po krótkiej przerwie. Celem tych wszystkich operacji jest udowodnienie że schemat Hornera działa. Chcemy pokazać, że korzystając z niego otrzymamy takie same współczynniki wielomianu G od x, jak poprzednią metodą. Skorzystajmy z tabeli i wykonajmy dzielenie wielomianu W od x przez dwumian x odjąć c. Będziemy robić to tak samo jak robiliśmy to w innej lekcji tyle, że zamiast liczb wykorzystamy symbole. Rysujemy tabelkę i wpisujemy współczynniki wielomianu W od x. Jeśli chcemy wykonać dzielenie przez dwumian x odjąć c to w pierwszej kolumnie musimy wpisać c. Dlaczego c? Bo żeby wykorzystać schemat Hornera musimy obliczyć wartość wielomianu W od x dla argumentu, który jest liczbą przeciwną do wyrazu wolnego w dwumianie przez który dzielimy. Po przeprowadzeniu obliczeń w kolejnych kolumnach tego wiersza znalazłyby się współczynniki wielomianu G oraz reszta r. Pod a4 byłoby b3, pod a3 b2 pod a2 byłoby b1, pod a1 byłoby b0 a pod a0 zapisalibyśmy naszą resztę. Jednak nic tym nie osiągniemy ponieważ już wiemy, że wielomian G od x właśnie tak wygląda. Zróbmy to nieco inaczej ale najpierw zrobię sobie trochę miejsca. Obliczmy te współczynniki korzystając ze schematu Hornera właśnie. a4 przepisujemy. Zwróć uwagę, że dwie ostatnie komórki w tej kolumnie są sobie równe. Czyli b3 równa się a4. Zapiszmy to niżej. Teraz b3 mnożymy przez c i dodajemy do tego a3. Otrzymujemy b3 razy c dodać a3. To z kolei równa się b2. Idąc tym tropem, kolejny współczynnik to b2 razy c dodać a2. Zgodnie z naszą tabelą to wyrażenie równe jest współczynnikowi b1. Następnie mamy b1 razy c dodać a1. To wyrażenie jest równe współczynnikowi b0. Kolejny współczynnik wynosi b0 razy c dodać a0. I jest on równy r, czyli naszej reszcie co również napiszę poniżej. Odetchnijmy chwilkę. Przypomnijmy sobie zależności między współczynnikami, które otrzymaliśmy korzystając ze schematu Hornera. Porównamy je z wynikami które otrzymaliśmy bezpośrednio mnożąc wielomiany. Jeśli te wyniki są identyczne to znaczy, że schemat Hornera działa dla dowolnego wielomianu czwartego stopnia, który podzielimy przez dwumian postaci x odjąć c. Przekształćmy równania po prawej stronie. Pierwszego równania nie ruszamy ponieważ jest identyczne z tym po lewej stronie. W czterech kolejnych przenieśmy b razy c na lewą stronę pamiętając o zmianie znaku. Zauważ, że to, co otrzymaliśmy z bezpośredniego mnożenia wielomianów i ze schematu Hornera jest dokładnie takie samo. I to jest koniec dowodu. Oczywiście podobne rozumowanie można przeprowadzić dla wielomianów innego stopnia. Zachęcam Cię do przeprowadzenia takiego dowodu dla wielomianu trzeciego lub piątego stopnia. Dowód schematu Hornera polega na znalezieniu współczynników wielomianu otrzymanego w wyniku dzielenia W od x przez x odjąć c dwoma sposobami. Jednym z nich jest schemat Hornera. Jeśli współczynniki w obu metodach są identyczne, to udowodniliśmy skuteczność schematu Hornera. Który z etapów dowodu sprawił Ci największą trudność? A może wszystko było dla Ciebie proste? Podziel się tym w komentarzu i nie zapomnij rzucić okiem na naszą stronę pi-stacja.tv na której znajdziesz wszystkie nasze filmy.