Z tego filmu dowiesz się:

  • jak szukać pierwiastków całkowitych i wymiernych wielomianu,
  • jak sprawdzać, czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu,
  • ile maksymalnie pierwiastków może posiadać wielomian.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Dla wielomianów trzeciego i czwartego stopnia podobnie jak dla znanych Ci już funkcji kwadratowych można wyznaczyć miejsca zerowe. Istnieją do tego gotowe wzory zwane wzorami Cardano. Dla wielomianów wyższych stopni matematycy wykazali że nie ma takich gotowych wzorów. Wzory Cardano są jednak bardzo skomplikowane dlatego nikt nie będzie kazał Ci uczyć się ich na pamięć. W tej lekcji poznasz prostsze sposoby na wyznaczanie miejsc zerowych wielomianu. Wiesz już czym jest pierwiastek wielomianu i potrafisz sprawdzić, czy dana liczba jest takim pierwiastkiem. Szukanie pierwiastków wielomianu jednak nie jest proste i powstało wiele metod ich obliczania. W tym filmie pokażę Ci jeden ze sposobów wyznaczania pierwiastków dla szczególnych wielomianów. Szukamy pierwiastków takiego wielomianu. W od x równa się 2x do potęgi czwartej odjąć 5x do potęgi trzeciej dodać 5x odjąć 2. Jeśli pewna liczba, na przykład p jest jego pierwiastkiem to W od p jest równe zero. Podstawiając p w miejsce x możemy zatem napisać równanie: 2p do czwartej odjąć 5p do potęgi trzeciej dodać 5p odjąć 2 równa się zero. Przekształćmy je. Przenieśmy minus dwójkę na prawą stronę pamiętając o zmianie znaku na przeciwny. Mamy więc 2p do czwartej odjąć 5p do trzeciej dodać 5p równa się 2. Teraz wyciągnijmy p przed nawias. Zapisujemy. p razy w nawiasie 2p do trzeciej odjąć 5p do kwadratu dodać 5 zamknąć nawias równa się 2. Czy z takiego zapisu możemy wyłuskać jakieś informacje na temat pierwiastków? Mamy iloczyn dwóch wyrażeń. p oraz nawiasu. Teraz musimy przyjąć pewne założenie. Mianowicie nasze p musi być liczbą całkowitą. Wtedy mamy mnożenie dwóch liczb całkowitych bo to, co jest w nawiasie też musi być liczbą całkowitą. To mnożenie daje wynik 2 a zatem na pewno dwójka podzielna jest przez p i wartość nawiasu. Zapisujemy to jako p jest dzielnikiem dwójki. Zawęża nam to wartość p do jedynki dwójki i liczb im przeciwnych czyli minus dwójki i minus jedynki. W skrócie możemy to zapisać jako plus minus 1 oraz plus minus 2. Pamiętasz, że p jest miejscem zerowym naszego wielomianu czyli jego pierwiastkiem. Jeśli W od x posiada jakieś całkowite pierwiastki to na pewno znajdą się one wśród wymienionych czterech liczb. Teraz należy sprawdzić, które z tych liczb są faktycznie pierwiastkami wielomianu. Możesz to zrobić na wiele różnych sposobów. Decyzję pozostawiam Tobie. Zatrzymaj film i sprawdź się. Najpierw zrobię tutaj trochę miejsca. Obliczmy wartość wielomianu dla argumentu minus 2, wykorzystując schemat Hornera. O wyznaczeniu wartości wielomianów z wykorzystaniem tej metody opowiadałem w innym filmie z tej playlisty. Rysuję tabelę, w której wpisuję współczynniki naszego wielomianu. Po lewej stronie wpisuję argument dla którego chcę wyznaczyć wartość. Dwójkę przepisuję, mnożę ją przez minus 2 i odejmuję piątkę. Otrzymuję minus 9. Tę wartość mnożę przez minus 2 i dodaję zero, otrzymując 18. 18 razy minus 2 dodać 5, to minus 31. minus 31 razy minus 2 odjąć 2 to 60. Zatem W od minus 2, równa się 60 co oczywiście nie jest równe zeru. Dlatego minus 2 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu. Mam już narysowaną tabelkę więc po prostu zmienię sobie wartość argumentu na minus 1. Dwójkę przepisuję. 2 razy minus 1 odjąć 5 to minus 7. Minus 7 razy minus 1 dodać zero to 7. 7 razy minus 1 dodać 5 to minus 2. Minus 2 razy minus 1 odjąć 2 daje nam zero. Zatem dla argumentu minus 1 wielomian przyjmuje wartość zero. -1 jest pierwiastkiem całkowitym tego wielomianu. Idąc po kolei przyszła pora na jedynkę. Dwójkę przepisujemy. 2 razy 1 odjąć 5 to minus 3. Minus 3 razy 1 dodać zero to minus 3. Minus 3 razy 1 dodać 5 to 2. I w końcu 2 razy 1 odjąć 2 to zero. Czyli jedynka również jest poszukiwanym pierwiastkiem ponieważ W od 1 równa się zero. I ostatnia liczba do sprawdzenia, czyli 2. Dwójkę przepisujemy, mnożymy ją przez 2 i odejmujemy 5, otrzymując minus 1. Minus 1 razy 2 dodać zero to minus 2. Minus 2 razy 2 dodać 5 daje jedynkę. 1 razy 2 odjąć 2 to zero. Dwójka również jest pierwiastkiem tego wielomianu. Zapiszmy to jeszcze. W od 2 równa się z zero. Jeśli współczynniki wielomianu W od x są całkowite i posiada on pierwiastki całkowite to są one dzielnikami wyrazu wolnego. Dla naszego wielomianu znaleźliśmy 3 takie pierwiastki. W jednej z pierwszych lekcji w tej playliście mówiłem, że liczba pierwiastków może być maksymalnie taka jak stopień wielomianu. Czyli nasz wielomian może mieć ich maksymalnie 4. Nie wiemy, czy istnieje czwarty pierwiastek. A przynajmniej ta metoda nie pozwoli nam odpowiedzieć na to pytanie. Jednego możemy być pewni. Znaleźliśmy wszystkie pierwiastki które są liczbami całkowitymi. A co jeśli wielomian posiada niecałkowite pierwiastki? Sposób ich szukania jest bardzo podobny. Spróbujmy wyznaczyć je dla wielomianu z poprzedniego przykładu. Załóżmy, że pierwiastkiem wielomianu jest ułamek nieskracalny, czyli liczba wymierna. p dzielone przez q. Jeżeli jest ona pierwiastkiem wielomianu W od x to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a q jest dzielnikiem współczynnika stojącego przy najwyższej potędze x. Dzielniki wyrazu wolnego wyznaczyliśmy poprzednio. Współczynnikiem stojącym przy najwyższej potędze x też jest dwójka więc q należy do zbioru plus minus 1, plus minus 2. Wynika z tego, że ułamek p przez q może równać się: plus minus 1 przez 1, plus minus 1 przez 2 plus minus 2 przez 1 plus minus 2 przez 2. Dzielenie przez 1 nic nam nie zmienia dlatego możemy pozbyć się jedynki z mianowników. 2 przez 2 to 1 a jedynkę w naszym zbiorze też już mamy. Otrzymaliśmy jednak jeszcze inne liczby które potencjalnie mogą być pierwiastkami naszego wielomianu. Wcześniej znaleźliśmy 3 pierwiastki. minus 1, 1 i 2. Mogliśmy je znaleźć również korzystając z tej metody. Szukanie pierwiastków wymiernych jest bardziej ogólną metodą i pozwala znaleźć pierwiastki nie tylko całkowite. Sprawdźmy czy minus 1/2 albo 1/2 są pierwiastkami W od x. Wykonaj obliczenia samodzielnie a za chwilę podam Ci odpowiedź. Wykorzystajmy schemat Hornera. Rysujemy tabelkę ze współczynnikami a jako argument wpisujemy 1/2. Dwójkę przepisuję i mnożę ją przez 1/2. Odejmuje piątkę i otrzymuję minus 4. Minus 4 razy 1/2 dodać zero to minus 2. Minus 2 razy 1/2 dodać 5 daje 4. I w końcu 4 razy 1/2 odjąć 2 to zero. Zatem 1/2 jest pierwiastkiem tego wielomianu dlatego możemy napisać że W od 1/2 równa się zero. Czy warto sprawdzać czy minus 1/2 będzie miejscem zerowym W od x? Jak myślisz? Na pewno nie, ponieważ wielomian stopnia 4 może posiadać maksymalnie 4 pierwiastki a my już tyle znaleźliśmy. Dlatego nie musimy już liczyć wartości W od x dla argumentu minus 1/2. Jeśli jednak nie jesteś pewien rozwiązania to zawsze lepiej jest sprawdzić wszystkie potencjalne pierwiastki. Jeśli ich liczba przekracza stopień wielomianu to znaczy, że musisz sprawdzić swoje obliczenia jeszcze raz. W ostatnim zadaniu należy znaleźć wszystkie pierwiastki całkowite wielomianu W od x. Zrób to samodzielnie. Jeśli p jest całkowitym pierwiastkiem naszego wielomianu to musi być ono dzielnikiem wyrazu wolnego czyli dwunastki. Zatem p należy do zbioru: plus minus 1, plus minus 2 plus minus 3, plus minus 4 plus minus 6 i plus minus 12. Zacznijmy od sprawdzenia minus jedynki. Podstawiamy ją w miejsce x. Minus 1 podniesiony do parzystej potęgi daje nam jedynkę a do nieparzystej potęgi daje nam minus 1. Mamy: minus 1 odjąć 3 dodać 5 dodać 15 odjąć 4 odjąć 12 a to jest równe zeru. Stąd wynika, że minus 1 jest pierwiastkiem W od x. Teraz kolej na jedynkę. Gdy podstawimy ją jako argument dostajemy: 1 odjąć 3 odjąć 5 dodać 15 dodać 4 odjąć 12 co też jest równe zeru. Dlatego jedynka też jest miejscem zerowym wielomianu W. Dla kolejnych x-ów zastosujemy schemat Hornera ponieważ ułatwi nam to obliczenia. Narysujmy tabelę. Wypełnijmy ją współczynnikami i wpiszmy argument minus 2. Jedynkę przepisujemy niżej. 1 razy minus 2 odjąć 3 to minus 5. Minus 5 razy minus 2 odjąć 5 daje 5. 5 razy minus 2 dodać 15 to 5. 5 razy minus 2 dodać 4 daje minus 6. I w końcu minus 6 razy minus 2 odjąć 12 to zero. W od minus 2 równa się zero dlatego minus 2 również jest pierwiastkiem W od x. Teraz wyznaczmy wartość naszego wielomianu dla argumentu 2. Jedynkę przepisuję. 1 razy 2 odjąć 3 to minus 1. Minus 1 razy 2 odjąć 5 daje minus 7. Minus 7 razy 2 dodać 15 to 1. 1 razy 2 dodać 4 daje 6. I 6 razy 2 odjąć 12 to zero. Skoro W od 2 równa się zero to dwójka jest kolejnym pierwiastkiem W od x. Teraz obliczmy wartość W od x dla x równego minus 3. Jedynkę przepisuję niżej. 1 razy minus 3 odjąć 3 to minus 6. Minus 6 razy minus 3 odjąć 5 daje 13. 13 razy minus 3 dodać 15 to minus 24. Minus 24 razy minus 3 dodać 4 daje 76. 76 razy minus 3 odjąć 12 to minus 240. W od minus 3 równa się minus 240 co oczywiście nie jest równe zeru dlatego minus 3 nie jest pierwiastkiem naszego wielomianu. Szukamy dalej. Sprawdźmy trójkę. Jedynkę przepisujemy. 1 razy 3 odjąć 3 to zero. Zero razy 3 odjąć 5 to oczywiście -5. Minus 5 razy 3 dodać 15 daje zero. Zero razy 3 dodać 4 to 4. I 4 razy 3 odjąć 12 daje zero. W od trzech równa się zero dlatego trójka też jest poszukiwanym przez nas pierwiastkiem. Co dalej? Czy musimy sprawdzać pozostałe liczby? Nie. Pamiętasz przecież, że stopień W od x równy jest 5. Wynika z tego, że nasz wielomian może posiadać maksymalnie 5 pierwiastków. A tyle znaleźliśmy dlatego nie ma potrzeby sprawdzać pozostałych liczb. Po tylu ćwiczeniach na pewno żaden pierwiastek wielomianu nie ujdzie Twojej uwadze. Jeśli wszystkie współczynniki wielomianu są całkowite to jeśli ma on pierwiastki całkowite to muszą być one dzielnikami wyrazu wolnego. To, które z dzielników są pierwiastkami najprościej sprawdzić schematem Hornera. Czy po tej lekcji umiesz już szukać pierwiastków wielomianu? Pochwal się tym w komentarzu a jeśli chcesz wiedzieć więcej to zachęcam Cię do polajkowania naszego fanpage'a na Facebook'u PistacjaMatematyka.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Patryk Bojarski

Konsultacja: Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Patryk Bojarski

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Klaudia Abdeltawab, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

OpenClipartVectors (CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg