Słyszałeś kiedyś o złotej proporcji? Pewnie tak. Ale czy wiesz, że istnieje też proporcja srebrna? Jest to proporcja, w której stosunek dwóch odcinków ma się do siebie tak jak stosunek boku kwadratu do jego przekątnej. Srebrną proporcję często wykorzystuje się w polskiej architekturze. Nadaje ona budynkom większą strzelistość. Z przeprowadzonego przez Politechnikę Krakowską badania okazało się, że w 76% przebadanych losowo krakowskich budynków dominuje właśnie taki stosunek. Janek wybrał się na pieszą wycieczkę. Wiemy, że przez 5 godzin szedł ze stałą prędkością pięciu kilometrów na godzinę. Jaką drogę przebył w tym czasie? Spróbujmy przeanalizować jak zmieniła się droga przebyta przez Janka w czasie. Pomoże nam w tym tabela. W pierwszym rzędzie umieścimy czas w godzinach a w drugim przebytą drogę w kilometrach. Zapisujemy 0, 0,5, 1, 2 i 5 godzin. Jaką drogę Janek ma za sobą gdy czas wynosi 0 godzin? Oczywiście 0 kilometrów. Skoro poruszał się ze stałą prędkością pięciu kilometrów na godzinę to w ciągu pół godziny przeszedł 2,5 kilometra w ciągu godziny 5 kilometrów w ciągu dwóch godzin 10 kilometrów. a w ciągu pięciu godzin 25 kilometrów prawda? Odpowiedź na pytanie zadane na początku to oczywiście 25 kilometrów. Możemy rozwiązać ten problem także za pomocą wykresu. Na osi poziomej będziemy opisywać czas w godzinach a na osi pionowej przebytą przez Janka drogę w kilometrach. Na osiach zaznaczymy wartości otrzymane z naszej tabeli. Zaczynamy w początku układu współrzędnych bo na samym początku zarówno czas jak i przebyta droga wynosiły 0. Zaznaczmy na wykresie punkty odpowiadające wartościom czasu zapisanym w tabeli. Wiemy, że gdy poruszamy się ze stałą prędkością droga i czas są wielkościami proporcjonalnymi. To znaczy, że gdy jedna wartość rośnie lub maleje to druga także rośnie lub maleje tyle samo razy. Skoro przez godzinę Janek pokonał 5 kilometrów to w 2 razy mniejszym czasie czyli w pół godziny pokonał połowę dystansu, 2,5 kilometra a w czasie 4 razy krótszym niż godzina 4 razy krótszy dystans. Punkty oznaczające wszystkie takie możliwości utworzą nam półprostą. Możemy także rozwiązać to zadanie ustalając wzór funkcji. Niech y oznacza pokonaną drogę w kilometrach a x czas w godzinach. Należy pamiętać, że zarówno x jak i y są większe od zera. Możemy nasz problem opisać w ten sposób y równa się 5 razy x bo w ciągu każdej godziny Janek pokonuje dokładnie 5 kilometrów. Po podstawieniu za x 5 otrzymamy: y równa się 5 razy 5 a to równa się 25. Każdy z tych trzech sposobów pozwolił nam otrzymać takie samo poprawne rozwiązanie. Rozwiążmy teraz takie zadanie. Koszt przejazdu taksówką wynosi 1,10 złoty za każdy przejechany kilometr. Marysia chce dojechać na oddalony o 40 kilometrów dworzec. Ile zapłaci za przejechanie tej trasy taksówką? Zatrzymaj film i samodzielnie znajdź rozwiązanie wykorzystując tabelę, wykres lub wzór. Jeśli zdecydujesz się na tabelę to w jej pierwszym rzędzie umieścimy przebytą drogę w kilometrach. W drugim rzędzie kwotę w złotówkach. Przy wartości 0 kilometrów. wpiszemy 0 złotych bo nasza taksówka nie pobiera opłaty startowej. W kolejnych komórkach wpiszemy kolejne wartości w kilometrach i odpowiadające im kwoty w złotówkach. 1 kilometr to 1,10 złoty. 5 kilometrów to 5 razy 1,10 złoty czyli 5,5. A ile wyniesie opłata po 40 kilometrach? Dokładnie tak. 44 złote. I właśnie tyle zapłaci Marysia za podróż do dworca taksówką. Teraz spróbujmy rozwiązać to zadanie inną metodą. Skorzystajmy z wykresu. Na osi poziomej zaznaczymy przebytą drogę w kilometrach a na osi pionowej kwoty w złotówkach. Startujemy w punkcie 0, 0 gdy mamy przejechane 0 kilometrów a opłata wynosi 0 złotych. Teraz każdemu przejechanemu kilometrowi dopisujemy koszt. Po pierwszym kilometrze na osi pionowej otrzymamy wartość 1,10 złoty. Po drugim 2,20 a po czterdziestym kilometrze 44 złote. Zwróć uwagę, że otrzymany wykres jest półprostą, która rozpoczyna się w początku układu współrzędnych. Na koniec rozwiążmy to samo zadanie korzystając ze wzoru. Niech y oznacza kwotę do zapłacenia a x przejechane kilometry. Nasz wzór będzie wyglądał następująco: y równa się 1,10 złoty razy x bo każdy kilometr kosztuje 1 złoty 10 groszy. Nic więcej nie dodajemy bo opłata startowa wynosi 0 złotych. Po podstawieniu za x czterdziestu kilometrów, otrzymamy: y równa się 1,10 złoty razy 40 a to równa się 44 złote. I to już koniec. Rozwiązaliśmy to zadanie trzema różnymi metodami po to byś umiał się posługiwać każdą z nich. Wróćmy teraz jeszcze na chwilę do poprzednich przykładów. Zależność między wielkościami z poprzednich dwóch zadań nazywamy proporcjonalnością prostą a iloraz tej wielkości współczynnikiem proporcjonalności. W zadaniu pierwszym współczynnik proporcjonalności jest równy prędkość ruchu Janka i wynosi 5. Możemy zapisać że y podzielić przez x równa się 5 lub wyliczyć go ze wzoru y równa się 5 razy x. W zadaniu drugim współczynnik proporcjonalności jest równy cenie za 1 kilometr czyli y przez x równa się 1,10 złoty co możemy zapisać wzorem y równa się 1,10 złoty razy x uogólniając, proporcjonalność prostą możemy zapisać wzorem y równa się a razy x gdzie współczynnik proporcjonalności a jest różny od zera. Rozwiążmy teraz takie zadanie. Sprawdź, czy długość boku kwadratu i jego obwód są wielkościami wprost proporcjonalnymi. Poprzez y oznaczmy obwód kwadratu a poprzez x długość jego boku. Odpowiedz na to pytanie samodzielnie wykorzystując któryś z poznanych wcześniej sposobów. Potem sprawdź czy Twój wynik zgadza się z moim. Ja skorzystam z tabeli. W pierwszym rzędzie umieszczam długość boku kwadratu w drugim rzędzie obwód a w trzecim wartość y podzielić przez x Czyli, jak pamiętasz współczynnik proporcjonalności. Wybierzmy na przykład takie wartości długości boku 1/4, 1, 2, 5 i 7. Dla każdej z nich otrzymamy odpowiednio następujące obwody kwadratów 1, 4, 8, 20 i 28. Znając te wartości obliczmy teraz iloraz y przez x. W pierwszym przypadku mamy 1 podzielić na 1/4. Zamieniamy na mnożenie przez odwrotność i otrzymujemy 1 razy 4, czyli 4. W drugim przypadku mamy 4 podzielić na 1, czyli 4. W kolejnym 8 podzielić na 2 czyli również 4. Potem 20 podzielić na 5 co daje nam 4. I 28 podzielić na 7 co również daje nam 4. Za każdym razem otrzymaliśmy identyczny współczynnik proporcjonalności. Oznacza to, że długość boku kwadratu i jego obwód są wartościami wprost proporcjonalnymi. Oczywiście możesz dla treningu rozwiązać ten przykład pozostałymi metodami. Pozostańmy jeszcze przy kwadracie. Teraz sprawdź czy długość boku kwadratu i jego pole są wielkościami wprost proporcjonalnymi. Możesz wybrać dowolną metodę. Podpowiem tylko że ja tym razem skorzystam z wykresu. Na osi poziomej zaznaczę długości boku kwadratu a na osi pionowej wartości jego pola. Niech wartości długości boków będą identyczne jak poprzednio. 1/4, 1, 2, 5 i 7. Dla 1/4 pole wyniesie 1/4 razy 1/4 czyli 1/16. Dla jedynki pole wyniesie 1. Dla dwójki pole wyniesie 4. Dla piątki to 25. A dla siódemki to 49. Obliczmy teraz wartości ilorazów y przez x dla kolejnych punktów. Dla kwadratu o boku długości 1/4 otrzymamy: 1/16 podzielić przez 1/4 równa się 1/16 razy 4. To równa się 4/16 i po skróceniu otrzymamy 1/4. Dla kwadratu o boku długości 1 otrzymamy 1 podzielić na 1, czyli 1. Widzisz już, że otrzymane wyniki są różne. Skoro tak to już w tym momencie możemy stwierdzić że długość boku kwadratu i jego pole nie są wartościami wprost proporcjonalnymi. Możemy też zauważyć że punkty tworzące ten wykres nie są współliniowe czyli nie leżą na jednej prostej. Taka obserwacja też pozwala stwierdzić że nie jest to proporcjonalność prosta. Zapamiętaj! Jeśli wielkości x i y nie przyjmują wartości ujemnych tak jak w naszych przykładach wykresem proporcjonalności prostej jest półprosta o początku w początku układu współrzędnych. Jeśli wielkości x i y przyjmują dowolne wartości wykresem proporcjonalności prostej będzie prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych. Napisz wzór funkcji której wykresem jest prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych i punkt 2, -4. Skoro wiemy, że nasz wykres jest prostą oraz przechodzi przez początek układu współrzędnych to na pewno mamy tu do czynienia z proporcjonalnością prostą. Wzór naszej funkcji ma więc postać y równa się a razy x. Skoro nasz wykres przechodzi przez punkt 2, -4 to podstawiamy jego współrzędne odpowiednio za x i za y. Otrzymamy: -4 równa się a razy 2. Gdy podzielimy obie strony równania przez 2 otrzymamy a równa się -2 czyli nasz wzór ma postać y równa się -2 razy x. W dzisiejszej lekcji rozwiązywaliśmy zadania z wielkościami wprost proporcjonalnymi, korzystając przy tym z różnych metod: tabeli, wykresu oraz wzoru. Dowiedzieliśmy się również że taką zależność pomiędzy wielkościami nazywamy proporcjonalnością prostą a iloraz tych zmiennych jest współczynnikiem proporcjonalności. Obejrzyj pozostałe filmy o funkcji liniowej a po więcej materiałów zajrzyj na naszą stronę pi-stacja.tv