Pękiem prostych nazywamy zbiór wszystkich prostych które przechodzą przez dany punkt. Punkt taki zwany jest środkiem pęku. Jak zapewne się domyślasz prostych wchodzących w skład takiego zbioru jest nieskończenie wiele. Co tu widzisz? Wszystkie narysowane proste przecinają się w jednym punkcie o współrzędnych 0, 2. Jak pamiętasz wzór ogólny funkcji liniowej to y równa się ax plus b. Wszystkie punkty leżące na osi rzędnych mają pierwszą współrzędną czyli współrzędną x równą zeru. Podstawiając do wzoru funkcji w miejscu argumentu x, 0 otrzymamy y równa się a razy 0 plus b czyli y równa się b. Możemy sformułować wniosek. Każda funkcja liniowa przechodzi przez punkt o współrzędnych 0, b. Własność tę możemy wykorzystywać przy rysowaniu wykresu funkcji ale także przy ustalaniu jej wzoru na podstawie wykresu. W naszym przypadku wiemy że wyraz wolny każdej z przedstawionych funkcji to 2 bo przecinamy pionową oś w punkcie 0, 2. Spójrzmy teraz na wykresy takich funkcji liniowych. Co możemy zaobserwować? Widzimy, że proste te są względem siebie równoległe. A skoro są równoległe to biegną w tym samym kierunku. To, w jakim kierunku biegnie funkcja zależy od współczynnika a. Nic dziwnego, że współczynnik a nazywamy współczynnikiem kierunkowym. Wartość tego współczynnika możemy odczytać także z wykresu. Pokażę Ci jak. Mamy funkcję f od x równa się 2x minus 1. Z dowolnego punktu na wykresie narysujmy odcinek jednostkowy równoległy do osi OX. Następnie na jego końcu narysujmy odcinek do niego prostopadły. Powstał nam tu trójkąt. Wzrost argumentu o jedną jednostkę odpowiada zmianie wartości o dwie jednostki. Ta zmiana wartości funkcji, to właśnie wartość współczynnika kierunkowego. Możemy powiedzieć że dla każdej funkcji liniowej wzrost dowolnego argumentu o 1 powoduje zmianę wartości funkcji równą współczynnikowi kierunkowemu. Możemy to udowodnić. Jeśli f od x równa się ax plus b to dla argumentu większego o 1 mamy f od x plus 1 równa się ax plus 1 plus b. Obliczmy teraz różnicę wartości f od x plus 1 i f od x. Co otrzymujemy? f od x plus 1 minus f od x równa się a razy x plus 1 plus b minus ax plus b. Piszemy dalej. ax plus a plus b minus ax minus b. Skracamy teraz to, co możemy i widzimy, że w wyniku otrzymujemy a. Spójrz teraz na kolejny przykład. Tutaj mamy wykres funkcji g od x. Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie na jego podstawie podać wzór. Spójrzmy. Wzrost argumentu o jedną jednostkę odpowiada zmianie wartości o minus 3 jednostki. Oznacza to że wartość współczynnika kierunkowego a wynosi tu -3. A współczynnik b? Widzimy, że nasz wykres nie przechodzi przez środek układu współrzędnych tylko jest przesunięty w górę o dwie jednostki. Oznacza to, że współczynnik b wynosi 2. Teraz już bez problemu możemy napisać że wzór funkcji g od x to -3x plus 2. Wartość współczynnika a pozwala nam określić na ile funkcja liniowa jest stroma. Im większa wartość bezwzględna współczynnika tym wykres szybciej pnie się do góry lub spada w dół. Możemy zauważyć tutaj jeszcze jedną zależność. Funkcja f od x jest funkcją rosnącą funkcja g od x jest funkcją malejącą a h od x jest funkcją stałą, prawda? W pierwszym przypadku a jest większe od zera. W drugim przypadku a jest mniejsze od zera a w trzecim a jest równe zeru. Możemy zatem sformułować kolejny wniosek. Jeśli wartość współczynnika kierunkowego jest dodatnia to wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji. Czyli mamy do czynienia z funkcją rosnącą. Na tej samej zasadzie jeśli współczynnik a jest równy zeru to mamy do czynienia z funkcją stałą. Natomiast jeśli wartość współczynnika kierunkowego a jest ujemna to na pewno mamy do czynienia z funkcją malejącą. Na podstawie wykresu funkcji f od x równa się ax plus b określ monotoniczność funkcji współrzędne punktu przecięcia z osią OY i wartości współczynników a i b. Zacznijmy od określenia monotoniczności funkcji. Widzimy, że w całej dziedzinie dla coraz większych x-ów y i są coraz mniejsze. Możemy stwierdzić że f od x jest funkcją malejącą. Skoro funkcja jest malejąca wiemy na pewno że wartość współczynnika a jest ujemna. Teraz spróbujmy odczytać współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OY. Tym punktem jest punkt o współrzędnych 0, 3. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie określić na podstawie wykresu wartości współczynników a i b. Jak pamiętasz, druga współrzędna punktu przecięcia z pionową osią informuje nas jaka jest wartość współczynnika b. Wiemy już zatem, że b równa się 3. A ile wynosi a? Wykorzystajmy metodę o której przed chwilą się uczyliśmy. Z dowolnego punktu rysujemy odcinek o długości jednej jednostki równoległy do osi OX. Teraz na jego końcu narysujmy odcinek do niego prostopadły. Widzimy, że wzrost argumentu o jedną jednostkę odpowiada zmianie wartości o minus dwie jednostki. Oznacza to, że a równa się -2. Świetnie. Zapiszmy jeszcze na koniec pełny wzór funkcji. Wiemy, że a równa się -2 a b równa się 3. Zatem nasz wzór będzie miał postać f od x równa się -2x plus 3. Jaką liczbę należy wstawić w miejsce m aby wykres funkcji g od x równy -3x plus m minus 2 przecinał oś Y w punkcie 0,10? Odpowiedz na to pytanie ale najpierw zastanów się ile wynosi wartość parametru a a ile wartość parametru b. Widzimy, że przy naszym x stoi -3. To wartość współczynnika kierunkowego a. A ile wynosi wartość wyrazu wolnego b? Nasze b równe jest wyrażeniu m minus 2. Z treści zadania wiemy w jakim punkcie wykres funkcji przecina pionową oś OY. Tym punktem jest punkt 0, 10. Z tej informacji możemy wywnioskować że wartość współczynnika b wynosi 10. Zatrzymaj teraz film. Ułóż odpowiednie równanie i oblicz jaka liczba kryje się pod literą m. Otrzymamy takie równanie: m minus 2 równa się 10. Po przeniesieniu dwójki na drugą stronę i wykonaniu obliczeń dostaniemy m równa się 12. Określ współczynnik kierunkowy funkcji f od x równa się ax minus 2 wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt -2, -3. Spróbujmy narysować wykres funkcji f od x. Wiemy, że leży na nim punkt -2, -3. Zaznaczmy go. Z podanego wzoru możemy także odczytać że wartość współczynnika b wynosi -2. Jak już wiesz wykres funkcji liniowej zawsze przechodzi przez punkt o współrzędnych 0, b. Czyli w naszym przypadku przez punkt o współrzędnych 0, -2. Zaznaczmy ten punkt. Poprowadźmy teraz prostą przez te dwa punkty. Ta prosta to wykres funkcji f od x. Ale w treści zadania poproszono nas o określenie współczynnika kierunkowego funkcji. Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie odczytać wartość tego współczynnika z wykresu. Narysujmy odcinek jednostkowy rozpoczynający się w punkcie -2, -3 równoległy do osi OX. Na jego końcu narysujmy odcinek do niego prostopadły. Niestety z wykresu ciężko byłoby nam w tym przypadku odczytać dokładną zmianę wartości. A co, gdybyśmy narysowali równoległy do poziomej osi odcinek rozpoczynający się w punkcie -2, -3 ale o długości dwóch jednostek? Jeśli na jego końcu narysujemy odcinek do niego prostopadły bez problemu odczytamy że wzrost argumentu o dwie jednostki odpowiada zmianie wartości o jedną jednostkę. Skoro przesunęliśmy się poziomo o dwie jednostki to otrzymaną zmianę wartości musimy podzielić przez 2. 1 podzielić przez 2 da nam 1/2. Oznacza to, że wartość współczynnika kierunkowego a także wynosi 1/2. Możemy jeszcze sprawdzić nasz wynik. Podstawmy do wzoru współrzędne punktu -2, -3. Otrzymamy: -3 równa się 1/2 razy -2 minus 2 a to wynosi -3. Widzimy, że lewa strona równa się prawej. Nasz punkt znajduje się w tym miejscu na wykresie. Widzimy, że nigdzie się nie pomyliliśmy a nasz wynik jest poprawny. W dzisiejszej lekcji powiedzieliśmy sobie jaki wpływ ma współczynnik kierunkowy funkcji liniowej na wykres tej funkcji. Umiemy też wskazać go we wzorze lub wyznaczyć z wykresu. Jest to bardzo przydatna umiejętność która może Ci się przydać w przyszłości. Obejrzyj pozostałe filmy o funkcji liniowej, a po więcej materiałów zajrzyj na naszą stronę pi-stacja.tv