Jedną z dostępnych form opodatkowania jest podatek liniowy. Zakłada on, że wszyscy podatnicy płacą taką samą część swoich dochodów w formie podatku niezależnie od ich wysokości. To nie oznacza, że płacą tyle samo. Jeśli dochód Kowalskiego to 40 000 złotych rocznie to przy stawce 19% odda on państwu 7 600 złotych. Zarabiający 96 000 złotych rocznie Nowak zapłaci zaś 18 240 złotych. W tej lekcji nauczymy się rysować wykresy funkcji liniowych. Nasze rozważania zaczniemy od takich funkcji: f od x równa się 2x minus 1 g od x równa się -3x plus 2 oraz h od x równa się -5x plus 4. Narysujmy wykres funkcji f od x. Wykorzystamy do tego tabelkę pokrótce przypominając sobie jak to zrobić. W pierwszym rzędzie tabeli umieszczamy kolejne wybrane przez nas argumenty czyli x. W drugim rzędzie umieszczamy natomiast y, czyli wartości które będą odpowiadały poszczególnym argumentom. Na nasze argumenty wybierzmy na przykład -2, -1, 0, 1 i 2. Gdy do wzoru funkcji f od x za x podstawimy -2, to otrzymamy: y równa się 2 razy -2 minus 1 co daje nam -4 minus 1 a to równa się -5. Gdy za x podstawimy -1 to otrzymamy: y równa się 2 razy -1 minus 1. To równa się -2 minus 1 i ostatecznie otrzymujemy wynik -3. Zatrzymaj teraz film i oblicz wartości jakie przyjmuje funkcja dla pozostałych argumentów z tabeli. Powinniśmy otrzymać następujące wyniki: dla x równego zeru, -1 dla x równego jednemu, 1 a dla x równego dwóm, 3. Odpowiednie x oraz y w tabeli to współrzędne tylko kilku z bardzo wielu punktów leżących na wykresie naszej funkcji. Umieśćmy pierwszy z tych punktów na wykresie. Widzimy, że ma on współrzędne -2, -5. Żeby trafić na x równe minus dwóm przesuńmy się z początku układu współrzędnych o dwie jednostki w lewo. Teraz przesuńmy się o 5 jednostek w dół żeby trafić na y równe minus pięciu. Zaznaczmy nasz punkt. Analogicznie postępujemy w przypadku pozostałych punktów których współrzędne ustaliliśmy. Drugi punkt o współrzędnych -1, -3 będzie tu. Trzeci 0, -1 tu. I tak dalej. Teraz poprowadźmy przez nasze punkty prostą. Świetnie. Otrzymaliśmy wykres funkcji f od x. Narysujmy teraz wykres funkcji g od x. Na poprzednim przykładzie na pewno udało Ci się zauważyć że aby narysować odpowiednią prostą nie musimy wyznaczać aż tylu punktów. Wystarczą nam dwa. Spróbujmy w pamięci obliczyć wartości funkcji g od x dla przykładowego x równe zeru oraz x równe jednemu. Po podstawieniu za x liczby 0 otrzymamy -3 razy 0 plus 2 co da nam 2. Mamy zatem punkt o współrzędnych 0, 2. Zaznaczmy go w układzie współrzędnych. Teraz obliczamy wartość funkcji dla x równego jednemu. Otrzymamy -3 razy 1 plus 2 równa się -1. Mamy punkt o współrzędnych 1, -1. Umieśćmy go w odpowiednim miejscu w układzie współrzędnych. Spójrz. Możemy teraz przeprowadzić przez te punkty prostą. Otrzymamy w ten sposób wykres funkcji g od x. Znacznie skróciło to czas rysowania wykresu, prawda? Na przykładzie funkcji h od x pokażę Ci jeszcze jeden sposób rysowania wykresów funkcji liniowych. Jak wiesz, wyraz wolny we wzorze funkcji mówi nam o miejscu przecięcia jej wykresu z osią OY. W naszym przypadku wyraz wolny wynosi 4. Zatem wykres funkcji h od x przecina się z pionową osią w punkcie 0, 4. Zaznaczmy ten punkt. Wiemy także że współczynnik kierunkowy naszej funkcji wynosi -5. Oznacza to, że wzrost argumentu o jedną jednostkę odpowiada zmianie wartości o minus 5 jednostek. Jak wykorzystać to przy rysowaniu wykresu? Mamy nasz punkt 0, 4. Przesuńmy się teraz o jedną jednostkę w prawo, na x równe jednemu. Skoro współczynnik kierunkowy wynosi -5, to teraz musimy jeszcze przesunąć się o 5 jednostek w dół. Mamy kolejny punkt leżący na wykresie. Ma on współrzędne 1, -1. Oczywiście, gdyby współczynnik kierunkowy był dodatni, to po przesunięciu się o jedną jednostkę w prawo w poszukiwaniu wartości musielibyśmy przesunąć się o odpowiednią liczbę jednostek w górę. A gdyby współczynnik kierunkowy był równy zeru to mimo wzrostu argumentu wartość pozostała by taka sama. Wiemy już bardzo dużo na temat rysowania wykresu funkcji liniowych. Rysujemy je oczywiście w układzie współrzędnych. Dlatego warto powiedzieć sobie trochę z czego właściwie się taki układ składa. Jak pamiętasz, osie układu współrzędnych dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki które numerujemy w kierunku odwrotnym do ruchu wskazówek zegara. Pierwsza ćwiartka to część gdzie x jest większe od zera oraz y większe od zera. W drugiej ćwiartce x jest mniejsze od zera a y większe od zera. Trzecia ćwiartka to część płaszczyzny gdzie x jest mniejsze od zera oraz y jest mniejsze od zera. A w czwartej ćwiartce x jest większe od zera ale y mniejsze od zera. Spójrzmy teraz na wykres funkcji h od x z poprzedniego zadania. Przez które ćwiartki przechodzi ten wykres? Przechodzi on przez drugą pierwszą oraz czwartą ćwiartkę. A przez jakie ćwiartki przechodzi wykres funkcji i od x równe 2 minus pierwiastek z dwóch x minus pierwiastek z siedemdziesięciu siedmiu? Zacznijmy od zaznaczenia punktu przecięcia z osią OY. Wiemy, że wyraz wolny wynosi minus pierwiastek z siedemdziesięciu siedmiu czyli nasz punkt przecięcia z pionową osią będzie miał współrzędne 0, minus pierwiastek z siedemdziesięciu siedmiu. Stojący przy x-ie pierwiastek z dwóch to około 1,41. Zatem wyrażenie 2 minus 1,41 da nam liczbę większą od zera. Jak pamiętasz, gdy wartość współczynnika kierunkowego jest większa od zera to wartości funkcji rosną. Otrzymamy zatem mniej więcej taki wykres. Teraz bez problemu odpowiadamy na pytanie przez które ćwiartki przechodzi. Wykres funkcji i od x przechodzi przez pierwszą, trzecią oraz czwartą ćwiartkę. Na koniec zmierzymy się z takim zadaniem. Przez które ćwiartki przechodzi wykres funkcji liniowej y równa się ax plus b jeśli wiemy, że a jest mniejsza od zera i b jest większe od zera? Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie odpowiedzieć na to pytanie a później sprawdź czy Twój wynik zgadza się z moim. Wykonajmy rysunek pomocniczy. Wiemy, że b jest większe od zera zatem punkt przecięcia się wykresu z osią OY musi leżeć gdzieś na tym dodatnim fragmencie pionowej osi. Wiemy również, że a jest mniejsze od zera. Oznacza to, że nasza funkcja maleje czyli jej przebieg będzie wyglądał mniej więcej tak. Możemy podać teraz odpowiedź. Wykres tej funkcji liniowej przechodzi przez pierwszą, drugą oraz czwartą ćwiartkę. Całą dzisiejszą lekcję ćwiczyliśmy rysowanie wykresów funkcji. Opowiedzieliśmy sobie też trochę o układzie współrzędnych w którym te wykresy rysujemy. Mam nadzieję, że teraz już nie sprawi Ci to żadnej trudności. Obejrzyj pozostałe filmy o funkcji liniowej, a po więcej materiałów zajrzyj na naszą stronę pistacja.tv.