Wjazd kolejką na Kasprowy Wierch to niemal obowiązkowy punkt programu pobytu w naszych polskich górach. Ale czy wiesz, że po to by sprawnie wwoziła turystów trzeba od czasu do czasu robić przegląd tak zwanych pajączków czyli urządzeń, które pozwalają utrzymywać się linom równolegle niezależnie od obciążenia. Dzisiaj opowiemy sobie także co w matematyce utrzymuje proste równolegle względem siebie. Na początku przypomnijmy sobie podstawowe informacje o funkcji liniowej. Funkcja liniowa określona jest wzorem y równa się ax plus b a jej wykresem jest prosta. Możemy też powiedzieć że prosta na rysunku opisana jest równaniem y równa się ax plus b albo krócej, że to równanie jest równaniem prostej. Współczynnik a nazywa się współczynnikiem kierunkowym prostej. Możemy go odczytać ze wzoru albo z wykresu funkcji. Przypomnijmy sobie jak odczytać to z wykresu. Z punktu przecięcia osi OX z wykresem zaznaczmy odcinek jednostkowy. Następnie połączmy go z odcinkiem prostopadłym do osi OX. Obserwowana zmiana wartości jest właśnie równa wartości współczynnika kierunkowego. Dorysujmy teraz na naszym układzie współrzędnych prostą równoległą do wykresu naszej funkcji. Jak myślisz, jaki warunek powinny spełniać wzory funkcji liniowych aby ich wykresy były równoległe? Oczywiście ich współczynniki kierunkowe powinny być równe. To widać na rysunku. Ale w matematyce nie można uzasadniać twierdzeń słowami „bo to widać”. Spróbujmy to uzasadnić inaczej. Dorysujmy do drugiego wykresu trójkąt prostokątny pozwalający odczytać współczynnik kierunkowy tej prostej. Co możemy powiedzieć o naszych trójkątach? Są przystające. Możemy to stwierdzić na podstawie cechy kąt-bok-kąt. Proste są równoległe więc kąty utworzone przez wykresy i oś OX są tej samej miary. Odcinki leżące na osi odciętych są odcinkami jednostkowymi a kolejne kąty – kątami prostymi. Skoro trójkąty są przystające to ich boki są równej długości a więc i współczynniki kierunkowe są równe. Analogicznie możemy uzasadnić że jeżeli dwie funkcje mają identyczne współczynniki kierunkowe to zarówno odcinki równoległe do osi OX jak i odcinki równoległe do osi OY są równe więc trójkąty są przystające. Co za tym idzie kąty nachylenia wykresów do osi OX mają te same miary co oznacza, że proste są równoległe. Na podstawie zdobytych informacji możemy sformułować stwierdzenie: wykresy funkcji liniowych o tym samym współczynniku kierunkowym są prostymi równoległymi. Lub: dwie proste opisane tymi równaniami są równoległe, gdy spełniony jest warunek a1 równa się a2. Znajomość tej własności jest sprawdzana bardzo często podczas egzaminów. Po przerwie rozwiążemy zadanie tego typu dla utrwalenia zdobytej wiedzy. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt P o współrzędnych 3, 8 i równoległej do prostej k: y równa się 5x minus 1. Niech l będzie szukaną prostą. Zapiszmy jej wzór. Tak wygląda. Wiemy, że prosta l jest równoległa do prostej k. Ma więc ten sam współczynnik kierunkowy, 5. Zapiszmy to we wzorze prostej: y równa się 5x plus b. Wiemy, że prosta l przechodzi przez punkt P więc współrzędne tego punktu spełniają równanie prostej. Wstawmy je do wzoru. Otrzymujemy 8 równa się 5 razy 3 plus b. Stąd po wymnożeniu i przeniesieniu iloczynu na drugą stronę mamy -7 równa się b. Tak więc równanie naszej prostej ma postać y równa się 5x minus 7. Kolejne zadanie jest dla Ciebie. Wyznacz wartość m dla której proste o równaniach y równa się w nawiasie m minus 5 razy x plus 7 oraz y równa się w nawiasie 2m plus 3 razy x minus 13 są równoległe. Oczywiście proste są równoległe gdy współczynniki kierunkowe są równe. Porównując współczynniki kierunkowe otrzymujemy równanie: m minus 5 równa się 2m plus 3 z którego wyliczamy wartość m. Przenosząc niewiadome na lewą a liczby na prawą stronę dostajemy: m minus 2m równa się 5 plus 3 z czego wynika, że m równa się -8 i dla tego parametru proste będą równoległe. Możemy to sprawdzić licząc współczynniki kierunkowe. Dla pierwszej prostej a1 równa się m minus 5 czyli -8 minus 5, czyli -13. A dla drugiej prostej a2 równa się 2m plus 3 równa się 2 razy -8 plus 3 czyli -16 plus 3 czyli otrzymujemy wynik -13. Widzisz, że współczynniki a1 i a2 są równe więc proste są równoległe. Mamy przed sobą teraz taki problem: czy prosta o równaniu y równe -2/3x jest równoległa do prostej przechodzącej przez punkty A(0,4) i B(3,2)? Spróbuj znaleźć rozwiązanie a później sprawdź czy Twój wynik zgadza się z moim. Aby odpowiedzieć na zadane pytanie musimy ustalić współczynnik kierunkowy prostej AB. Wykonujemy rysunek pomocniczy. Zauważ, że odczytanie współczynnika kierunkowego prostej AB z rysunku jest obarczone błędem bo nasz współczynnik jest ułamkiem. Spróbujmy obliczyć go inaczej. Narysujmy trójkąt prostokątny ABF tak, aby boki tego trójkąta były równoległe do osi układu współrzędnych. Punkt F ma współrzędne (3,4) a trójkąt ABF jest podobny do trójkąta DCE. To znaczy, że długości odpowiednich boków tych trójkątów są proporcjonalne. Możemy więc zapisać, że DE do DC jest równe BF do FA. Podstawmy teraz wartości liczbowe zaczynając od mianowników ułamków. DC jest odcinkiem jednostkowym więc przyrost argumentów wynosi 1. Odejmując pierwsze współrzędne punktów A i F obliczymy, że odcinek AF ma długość 3. A więc przyrost argumentów wynosi 3. Natomiast odpowiadający temu przyrost wartości wynosi -2. Możemy to obliczyć, odejmując od drugiej współrzędnej punktu B drugą współrzędną punktu F. Zmiana wartości w funkcji odpowiadająca wzrostowi argumentu o 1 jest równa współczynnikowi. A więc w puste miejsce wpisujemy a. Obliczyliśmy, że współczynnik kierunkowy prostej AB wynosi -2/3. Możemy odpowiedzieć na pytanie z zadania. Tak. Obie proste są równoległe. Przy okazji wyprowadziliśmy też wzór pozwalający obliczyć współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa dowolne punkty. Po dzisiejszej lekcji wiemy już że aby wykresy funkcji liniowej były do siebie równoległe to ich współczynniki powinny być sobie równe. Obejrzyj pozostałe filmy o funkcji liniowej a po więcej materiałów zajrzyj na naszą stronę pistacja.tv.