Galileusz, pochodzący z Włoch fizyk i astronom sądził że gdy zamocujemy na końcach łańcuch tak, aby wisiał to otrzymany kształt paraboli. Dopiero później udowodniono że to inny kształt, który nazwano krzywą łańcuchową. W tej lekcji pokażę Ci jaka postać funkcji kwadratowej powstanie po przesunięciu wykresu funkcji określonej wzorem a razy x do kwadratu. Zanim jednak do tego przejdziemy przypomnijmy sobie, jak przesuwa się w układzie współrzędnych wykres dowolnej funkcji. Niech f od x będzie dowolnym wzorem funkcji. Nie wiemy, jaki to wzór. Wiemy jedynie, że zmienną jest litera x. Przesuwając funkcję f od x o q jednostek w górę otrzymamy nowy wzór poprzez dodanie do formuły f od x liczby q. W takim przypadku możemy zapisać wektor przesunięcia jako 0, q. Przesuwając funkcję f od x o q jednostek w dół otrzymamy nowy wzór poprzez odjęcie od wzoru f od x liczby q. Wektor przesunięcia to 0, –q. Przesuwając funkcję f od x o p jednostek w prawo otrzymamy nowy wzór odejmując od każdego argumentu we wzorze f od x, liczbę p. Wektor przesunięcia w takim przypadku to p, 0. A co robimy przesuwając funkcję f od x o p jednostek w lewo? Do każdego argumentu dodajemy liczbę p. Wektor przesunięcia to –p, 0. Za chwilę poprzesuwamy sobie funkcję y równa się 2x kwadrat na różne sposoby. Tak wygląda wykres funkcji y równa się 2x do kwadratu. Wiesz już, że jej wierzchołek jest punkcie 0, 0. Co się stanie, gdy przesuniemy wykres tej funkcji o jedną jednostkę w górę? Jak będzie wyglądał wzór po przesunięciu? Jakie będą współrzędne wierzchołka przesuniętej paraboli? Przesuwając funkcję f od x o jedną jednostkę w górę do wzoru na f od x dodajemy liczbę 1. Otrzymujemy 2x do kwadratu dodać 1. Przesuńmy teraz wykres o jedną jednostkę w górę. Wierzchołek, który był w punkcie 0, 0 znalazł się w punkcie 0, 1. Po przesunięciu funkcji f od x o dwie jednostki w górę do wzoru na f od x dodajemy 2. Otrzymujemy 2x do kwadratu dodać 2. Wierzchołek paraboli opisanej tym wzorem jest w punkcie 0, 2. Analogiczne zmiany zajdą po przesunięciu funkcji 2x kwadrat o 3 jednostki w górę. Wzór takiej funkcji to 2x do kwadratu dodać 3. Wierzchołek paraboli opisanej wzorem 2x kwadrat dodać 3 jest w punkcie 0, 3. Wróćmy do funkcji 2x do kwadratu. Jak będzie wyglądał wzór tej funkcji po przesunięciu f od x o 1 jednostkę w dół? Spróbuj odpowiedzieć samodzielnie. Od wzoru na f od x odejmujemy 1. Otrzymujemy 2x do kwadratu odjąć 1. Gdzie będzie wierzchołek funkcji opisanej tym wzorem? Tak wygląda wykres paraboli opisanej wzorem 2x kwadrat odjąć 1. Jej wierzchołek jest w punkcie 0, –1. A jaki wzór otrzymamy przesuwając funkcję f od x o 2 miejsca w dół? 2x do kwadratu odjąć 2. Gdzie jest wierzchołek paraboli opisanej tym wzorem? Wierzchołek paraboli opisanej wzorem 2x kwadrat odjąć 2 jest w punkcie 0, –2. Analogiczne zmiany zajdą, gdy przesuniemy 2x do kwadratu o 3 jednostki w dół. Wzór nowej funkcji to 2x do kwadratu odjąć 3. Wierzchołek paraboli opisanej tą formułą jest w punkcie 0 i –3. Teraz poprzesuwamy funkcję 2x do kwadratu w lewo i w prawo. Najpierw w prawo o jedną jednostkę. Jaki będzie wzór funkcji po przesunięciu? Aby otrzymać wzór nowej funkcji należy od argumentu odjąć 1. Otrzymamy 2 razy, w nawiasie x odjąć 1 zamykamy nawias, do kwadratu. Wierzchołek paraboli opisanej tym wzorem jest w punkcie 1 i 0. A jaki wzór otrzymamy przesuwając 2x do kwadratu o dwie jednostki w prawo? Od argumentu x we wzorze na f od x odejmujemy 2, otrzymując 2 razy w nawiasie x odjąć 2 zamykamy nawias, do kwadratu. Gdzie będzie wierzchołek paraboli opisanej tym wzorem? W punkcie 2 i 0. Analogicznie postępujemy przesuwając funkcję 2x do kwadratu o 3 jednostki w prawo. Wzór funkcji po przesunięciu to 2 razy, w nawiasie x odjąć 3 zamykamy nawias, do kwadratu. Wierzchołek paraboli opisanej tym wzorem jest w punkcie 3 i 0. Wróćmy do naszej oryginalnej funkcji czyli tej opisanej wzorem 2x kwadrat. Jaki wzór otrzymamy przesuwając funkcję f od x o jedną jednostkę w lewo? Aby otrzymać ten wzór należy do argumentu we wzorze na f od x dodać 1. Dostaniemy 2 razy, w nawiasie x dodać 1 zamykamy nawias, do kwadratu. Wierzchołek paraboli opisanej tym wzorem jest w punkcie –1 i 0. A jaki wzór otrzymamy przesuwając funkcję f od x o dwie jednostki w lewo? Do argumentu x we wzorze na f od x dodajemy 2 i otrzymujemy 2 razy, w nawiasie x dodać 2 zamykamy nawias, do kwadratu. Wierzchołek paraboli opisanej tym wzorem znajdzie się w punkcie –2 i 0. Analogicznie postępujemy przesuwając funkcję 2x do kwadratu o 3 jednostki w lewo. Wzór funkcji po przesunięciu to 2 razy, w nawiasie x dodać 3 zamykamy nawias, do kwadratu. Wierzchołek paraboli opisanej tym wzorem jest w punkcie –3 i 0. Pomyślmy teraz, co się stanie gdy naszą funkcję przesuniemy zarówno wzdłuż osi x jak i osi y. Jaki wzór otrzymamy przesuwając ją o dwie jednostki do góry i jedną w prawo? Jak myślisz? Po przesunięciu funkcji f od x o dwie jednostki do góry otrzymamy wzór 2x do kwadratu dodać 2. Zostało przesunięcie w prawo. By zapisać je we wzorze od argumentu x powinniśmy odjąć 1 bo o tyle jednostek przesuwamy wykres wzdłuż osi x. Ostateczny wzór to zatem: 2 razy, w nawiasie x odjąć 1 zamykamy nawias, do kwadratu dodać 2. Jak myślisz, gdzie będzie wierzchołek paraboli opisanej tym wzorem? Przesuwamy wykres funkcji 2x kwadrat o dwie jednostki do góry i o jedną jednostkę w prawo. Wierzchołek paraboli jest w punkcie 1 i 2. Zauważ, że pierwsza współrzędna, czyli 1 jest taka sama, jak liczba oznaczająca przesunięcie o jedną jednostkę w prawo. Druga współrzędna, czyli 2 jest taka sama, jak liczba oznaczająca przesunięcie o dwie jednostki do góry. Ostatnie zadanie jest dla Ciebie. Jaki wzór otrzymamy przesuwając naszą pierwotną funkcję czyli 2x kwadrat o 3 jednostki w dół i dwie w lewo? Po przesunięciu funkcji f od x o 3 jednostki w dół otrzymamy wzór 2x do kwadratu odjąć 3. Przesuwając o dwie jednostki w lewo do argumentu x w tym wzorze dodajemy 2. Nowy wzór to 2 razy, w nawiasie x dodać 2 zamykamy nawias, do kwadratu odjąć 3. Gdzie będzie wierzchołek paraboli opisanej tym wzorem? Przesuwamy wykres funkcji 2x kwadrat o 3 jednostki w dół i o dwie jednostki w lewo. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w punkcie –2 i –3. Zauważ, że pierwsza współrzędna czyli –2, jest taka sama, jak liczba oznaczająca przesunięcie o dwie jednostki w lewo. Druga współrzędna, czyli –3 jest taka sama, jak liczba oznaczająca przesunięcie o 3 jednostki w dół. Niech f od x równa się a x do kwadratu gdzie a to współczynnik różny od zera. Wierzchołek paraboli opisanej tym wzorem niezależnie od współczynnika a jest zawsze w punkcie 0, 0. Niech p oznacza liczbę jednostek o którą przesuwamy wykres funkcji f od x w prawo lub w lewo a q liczbę jednostek, o którą przesuwamy wykres funkcji f od x w górę lub w dół. Wektor przesunięcia to p i q. Wzór, który otrzymamy po przesunięciu funkcji ax do kwadratu to: a razy, w nawiasie x odjąć p zamykamy nawias, do kwadratu dodać q. Taka postać funkcji kwadratowej nazywa się postacią kanoniczną. Z poprzednich przykładów można wywnioskować, że p i q to współrzędne wierzchołka paraboli opisanej tym wzorem. Współczynnik a jest taki sam jak współczynnik a funkcji, którą przesuwamy czyli ax do kwadratu. W kolejnej lekcji poćwiczymy obcowanie z tą postacią. Jeżeli przesuniemy wykres funkcji y równa się a razy x do kwadratu o wektor p i q to otrzymamy wykres funkcji kwadratowej o wzorze y równa się a razy, w nawiasie x odjąć p zamknąć nawias, do kwadratu dodać q. Taką formułę nazywamy postacią kanoniczną funkcji kwadratowej. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych lekcji z tego działu oraz do polubienia naszej strony na Facebooku.