192–metrowy łuk wjazdowy Gateway Arch znajduje się w Saint Louis. To najwyższy pomnik w Stanach Zjednoczonych wykonany przez człowieka. Na pierwszy rzut oka przypomina parabolę. W rzeczywistości jest to jednak krzywa łańcuchowa. Polecenie, z którym zaczynamy brzmi: narysuj wykres funkcji 2 razy, w nawiasie x odjąć 3 zamykamy nawias, do kwadratu odjąć 2. Jak ugryźć to zadanie? Masz jakiś pomysł? Liczba 2 w tym wzorze to współczynnik a. Możemy zacząć od narysowania funkcji 2x do kwadratu której wierzchołek jest w punkcie 0 i 0. Jak przesunięto tę funkcję że otrzymano tę formułę? Skoro od argumentu x odjęto liczbę 3 to p wynosi 3 a to oznacza, że 2 do kwadratu przesunięto o 3 jednostki w prawo. Po przesunięciu funkcji 2x kwadrat o 3 jednostki w prawo mamy taki wzór. Po przesunięciu wykresu tej funkcji o dwie jednostki w dół q równa się –2, otrzymamy formułę którą mamy w treści zadania. p to 3, a q to –2. Wiesz już, że wierzchołek funkcji opisanej tym wzorem to punkt o współrzędnych p i q czyli 3 i –2. a jest dodatnie, więc ramiona są skierowane do góry. Oczywiście nie trzeba za każdym razem wychodzić od funkcji ax do kwadratu. Można ten sam wykres narysować sprytniej. Wystarczy, że dobrze przyjrzymy się tej formule i odczytamy od razu p i q. Najpierw p. Patrzymy na to, co odejmujemy w nawiasie. Mamy x odjąć 3. Oznacza to, że p wynosi 3. Warto zapamiętać, że wartość p to liczba z nawiasu ze zmienionym znakiem. Poza nawiasem znajduje się q, czyli –2. Mając p i q możemy na układzie współrzędnych narysować wierzchołek. Teraz patrzymy na a. Jest dodatnie. Rysujemy zatem ramiona do góry. Jeśli nie trafisz w odpowiednie punkty należące do wykresu, to się nie przejmuj. Wykres pomocniczy zawierający poprawne ułożenie ramion oraz wierzchołek, wystarczy aby opisać kilka własności funkcji kwadratowej o danej postaci kanonicznej. Ten temat zgłębimy w jednym z kolejnych filmów. W tym poćwiczymy sobie obycie z postacią kanoniczną. Tym razem mamy narysować wykres funkcji minus, w nawiasie x dodać 1, zamknąć nawias do kwadratu, dodać 3. Weź kartkę, najlepiej w kratkę, długopis i narysuj układ współrzędnych. Następnie spróbuj samodzielnie narysować parabolę opisaną tym wzorem. Podpowiem, że chodzi tutaj o poprawne zaznaczenie jej wierzchołka i odpowiednie narysowanie ramion. Tym razem najpierw odczytam wartość współczynnika a. Wynosi –1, bo przed nawiasem jest sam minus. A ile wynosi p? Skoro w nawiasie mamy x dodać 1 to p wynosi –1. A ile wynosi q? 3 Wierzchołek paraboli opisanej tą formułą ma współrzędne –1 i 3. Możemy go nanieść na układ współrzędnych. To ten punkt. A co z ramionami? Skoro a jest ujemne to ramiona są skierowane w dół. Tak wygląda wykres tej funkcji. Przejdźmy do kolejnego zadania. Wykres funkcji g otrzymamy poprzez przesunięcie f od x równa się x kwadrat o 3 jednostki w prawo i dwie jednostki w górę. Narysuj wykres funkcji g i podaj jej wzór. Najpierw stwórzmy wzór funkcji g. Spróbuj samodzielnie podać ile wynosi p i q. Skoro funkcję f od x przesunięto o 3 jednostki w prawo, to p równa się 3. Przesunięto ją również o dwie jednostki w górę, więc q to 2. Wiemy, że wierzchołek funkcji g jest w punkcie 3 i 2. Formuła funkcji kwadratowej oparta na współczynniku a oraz współrzędnych wierzchołka to postać kanoniczna. Czy pamiętasz, jak wygląda wzór tej postaci? Wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej to f od x równa się a razy w nawiasie x minus p zamykamy nawias, do kwadratu dodać q. Mamy p i q. Ile wynosi a? To ten sam współczynnik co a we wzorze funkcji f czyli 1, bo mamy 1x do kwadratu. Przesuwanie funkcji nie ma wpływu na wartość współczynnika a. Wstawiając w miejsce a w tym wzorze liczbę 1, w miejsce litery p — trójkę a w miejsce q — dwójkę otrzymujemy g od x równa się 1 razy, w nawiasie x odjąć 3 zamykamy nawias, do kwadratu dodać 2. Teraz narysujemy wykres. Znam współrzędne wierzchołka. Punkt o współrzędnych 3 i 2 jest w tym miejscu. a jest dodatnie, więc ramiona są skierowane do góry. Gotowe! Przejdźmy do kolejnego zadania. Podaj wzór funkcji kwadratowej której wierzchołek jest w punkcie o współrzędnych 2 i 4 a do jej wykresu należy punkt A o współrzędnych 5 i 22. Co wiemy z treści zadania? Znamy współrzędne wierzchołka, to 2 i 4. Znamy zatem p i q. p to 2, a q to 4. Postać funkcji kwadratowej która zawiera współrzędne wierzchołka to postać kanoniczna. Jej wzór to: y równa się a razy, w nawiasie x odjąć p zamknąć nawias, do kwadratu dodać q. Wstawmy w miejsce p liczbę 2 a w miejsce q — 4. Otrzymamy: y równa się a razy w nawiasie x odjąć 2 zamykamy nawias, do kwadratu dodać 4. Do kompletnego wzoru brakuje nam współczynnika a. Jak go znaleźć? W treści zadania jest podana jeszcze jedna informacja. Do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych 5 i 22. Pierwsza współrzędna to współrzędna x a druga y. Skoro do wzoru funkcji należy ten punkt to w miejsce litery x możemy wstawić 5 a w miejsce y — 22. Otrzymamy 22 równa się a razy, w nawiasie 5 odjąć 2, zamykamy nawias do kwadratu, dodać 4. Otrzymaliśmy równanie w którym niewiadomą jest a. Aby obliczyć jej wartość należy rozwiązać to równanie. Spróbuj to zrobić samodzielnie. 5 odjąć 2 to 3 a 3 do kwadratu to 9. Otrzymujemy 22 równa się 9a dodać 4. Odejmując od obu stron tego równania liczbę 4, otrzymujemy 18 równa się 9a. Dzieląc to równanie obustronnie przez 9 mamy 2 równa się a. Wstawmy tę wartość do formuły. Rozwiązaliśmy zadanie. Wzór funkcji kwadratowej o wierzchołku w punkcie 2 i 4 oraz przechodzącej przez punkt A to y równa się 2 razy w nawiasie x odjąć 2 zamykamy nawias, do kwadratu dodać 4. Gotowe! Wykonaliśmy wszystkie zadania w tej lekcji. Gratuluję! Postać kanoniczna funkcji kwadratowej jest opisana wzorem a razy w nawiasie x odjąć p zamknąć nawias, do kwadratu, dodać q. Współczynnik a mówi nam czy ramiona paraboli są skierowane w górę czy w dół. p i q to współrzędne wierzchołka paraboli. Ta playlista wprowadza Cię w świat funkcji kwadratowej. Wszystkie działy znajdziesz na naszej stronie internetowej pistacja.tv