Malarze i rzeźbiarze tworzą swoje dzieła kierując się kanonem piękna. Muzyczny kanon to najstarsza technika polifoniczna, w której melodię głosu prowadzącego powtarzają kolejne głosy z opóźnieniem lub bez. Matematykom kanon kojarzy się na pewno z funkcją kwadratową. O jej postaci kanonicznej opowiem Ci w tej lekcji. Pewną funkcję kwadratową zapisano w postaci kanonicznej. Jej wzór to: w nawiasie x dodać 3, zamykamy nawias do kwadratu, dodać 1. Spróbuj przekształcić to wyrażenie zapisując je w postaci sumy algebraicznej. Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia. Tutaj masz ściągawkę. x dodać 3 w nawiasie, do kwadratu to x do kwadratu dodać 2 razy x razy 3 dodać 3 do kwadratu i do tego dodajemy jeszcze 1. Po uproszczeniu otrzymujemy: x do kwadratu dodać 6x dodać 10. Oba wyrażenia opisują dokładnie tę samą funkcję. Narysujmy jej wykres korzystając z postaci kanonicznej. p to –3, q to 1, więc wierzchołek znajduje się w punkcie –3 i 1. Współczynnik a wynosi 1 czyli jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Zaletą postaci kanonicznej jest to że od razu możemy odczytać z niej współrzędne wierzchołka. Po przekształceniach otrzymaliśmy postać z której tego nie odczytamy. Spójrz jak wygląda. Mamy 1x w drugiej potędze 6 x–ów pierwszej potędze i 10. Zapis funkcji kwadratowej w postaci sumy algebraicznej postaci: a razy x do kwadratu dodać b razy x dodać c nazywa się postacią ogólną. Liczby a, b i c są współczynnikami funkcji kwadratowej w postaci ogólnej. Współczynnik a, który znajduje się przy x kwadrat nie może być zerem. Gdyby był, zostałoby tylko bx dodać c a to postać funkcji liniowej. Dla naszej funkcji a równa się 1 b równa się 6, a c równa się 10. Zauważ, że litera a pojawia się i we wzorze na postać kanoniczną i w tym na postać ogólną. Dla tego przykładu w obu postaciach funkcji, a równa się 1. Mam teraz zadanie dla Ciebie. Spróbuj samodzielnie przedstawić wzór tej funkcji kwadratowej w postaci ogólnej. Mamy do czynienia z funkcją: x odjąć 5 w nawiasie, do kwadratu dodać 2. Korzystam ze wzoru na kwadrat różnicy. Otrzymuję x do kwadratu odjąć 2 razy x razy 5 dodać 5 do kwadratu do tego dodaję jeszcze 2. Po uproszczeniu otrzymuję x do kwadratu odjąć 10x dodać 27. To jest postać ogólna tej funkcji. Teraz wypisz samodzielnie jej współczynniki. Współczynnik a to liczba przez którą mnożymy x do kwadratu. W tym przypadku to 1. Współczynnik b to liczba przez którą mnożymy x, czyli –10. Współczynnik c to liczba bez x, czyli 27. A oto wykres tej funkcji. Pamiętaj! Postać kanoniczna ma tę zaletę że łatwo z niej odczytać współrzędne wierzchołka. Z postaci ogólnej możemy jedynie wywnioskować kierunek ułożenia ramion. Wiesz już jak przechodzić z postaci kanonicznej do ogólnej. Teraz pokażę Ci przejście odwrotne z postaci ogólnej do kanonicznej. Polecenie brzmi następująco: przedstaw funkcję x do kwadratu odjąć 10x dodać 27 w postaci kanonicznej. Wzór ogólny postaci kanonicznej to: a razy, w nawiasie x odjąć p zamykamy nawias, do kwadratu dodać q. Taką postać możemy otrzymać na 2 sposoby. Pierwszy wymaga skorzystania ze wzorów skróconego mnożenia kwadratu sumy lub kwadratu różnicy. Musimy wybrać z którego ale nie będziemy rzucać monetą. Wystarczy spojrzeć na znak między pierwszym, a drugim elementem postaci ogólnej. U nas to minus. Łatwiej będzie zatem zwijać to wyrażenie do kwadratu różnicy. Pod sumą algebraiczną zapisujemy postać ogólną i porównujemy po kolei elementy. Tutaj mamy x do kwadratu a tutaj pik do kwadratu. Aby otrzymać ten zapis wystarczy zatem w miejsce pika wstawić x. Teraz kolejne elementy. Tutaj mamy –2 razy pik razy krzyż a tutaj –10 razy x. Oba zapisy mają być takie same. Wiemy, że pik to x. Wiemy zatem, że –2x razy krzyż to –10 x. To co należy wstawić w miejsce krzyża? 5. Pik to x, a krzyż to 5. Wstawiając te elementy do wzoru dostaniemy x odjąć 5 w nawiasie, do kwadratu. Teraz rozwijamy ten zapis aby sprawdzić, czy to równa się x do kwadratu odjąć 10x dodać 27 czyli tyle, ile mamy w postaci ogólnej. Otrzymujemy: x do kwadratu odjąć 10x dodać 25. Nie mamy zatem takiego samego zapisu jak tutaj. Widzisz, że zgadzają się tylko 2 pierwsze elementy. Trzeci już nie. Tutaj mamy 25, a tutaj 27. Co należy zatem dodać do wyniku tego nawiasu, aby otrzymać 27 i tym samym aby otrzymać wzór tej funkcji? 2. x odjąć 5 w nawiasie, do kwadratu dodać 2 to x do kwadratu odjąć 10x dodać 27. Widzisz, że nowy zapis to nic innego jak postać kanoniczna funkcji kwadratowej. Łatwo zauważyć, że a wynosi 1 p 5, a q 2. Oto wykres tej funkcji. Wierzchołek znajduje się w punkcie o współrzędnych 5 i 2 a ramiona są skierowane do góry ponieważ współczynnik a jest dodatni. Teraz drugi sposób. Jest on nieco szybszy. Do otrzymania konkretnej postaci kanonicznej należy znaleźć a, p i q. Współczynnik a w postaci kanonicznej jest taki sam jak współczynnik a w postaci ogólnej. Mamy zatem a równe jednemu. Istnieją wzory, które pozwalają obliczyć p i q korzystając ze wzoru w postaci ogólnej. W postaci ogólnej naszej funkcji a to 1, b to –10, a c to 27. p obliczamy ze wzoru: –b podzielić przez 2a. Otrzymujemy zatem minus, w nawiasie –10 zamykamy nawias, podzielić przez 2 a to jest 5. Wzór na q to: minus, w nawiasie b kwadrat odjąć 4ac zamnąć nawias, podzielić przez 4a. Uwaga! W kolejnych lekcjach dotyczących funkcji kwadratowej będziesz często spotykać się z tą formułą! Matematycy postanowili oznaczyć ten zapis wielką grecką literą delta. To taki trójką. Wzór na q można zatem zapisać jako minus delta przez 4a. Spróbuj samodzielnie obliczyć q. Najpierw liczymy deltę. b kwadrat odjąć 4ac to –10 w nawiasie, do kwadratu odjąć 4 razy 1 razy 27. Mamy 100 odjąć 108, czyli –8. Minus, w nawiasie –8 zamykamy nawias, podzielić przez 4, razy 1 to +2. q to 2. Znamy wartości a, p i q. Wstawiamy je do tego wzoru. Postać kanoniczna tej funkcji to 1 razy w nawiasie x odjąć 5 zamykamy nawias, do kwadratu dodać 2. Gotowe! Jak widzisz, postać ogólną można zamieniać na kanoniczną na 2 sposoby. Częściej wykorzystuje się jednak wzory na p i q. Warto je zapamiętać! Mam teraz zadanie dla Ciebie. Zamień na postać kanoniczną funkcję f od x równa się – x do kwadratu dodać 4x odjąć 3. Skorzystaj ze wzorów widocznych na tablicy. Najpierw wypisujemy współczynniki postaci ogólnej. a to –1, b to 4, a c to –3. Znamy już współczynnik a. Teraz obliczamy p i q. p to –b podzielić przez 2a czyli –4 podzielić przez –2 a to równa się 2. q to minus delta podzielić przez 4a. Liczymy deltę, czyli b do kwadratu odjąć 4 razy a razy c. Otrzymujemy 4 do kwadratu odjąć 4 razy –1 razy –3 czyli 16 odjąć 12, a to daje 4. q równa się zatem –4 podzielić przez 4 razy –1, czyli +1. Postać kanoniczna tej funkcji to -1 razy w nawiasie x odjąć 2, zamykamy nawias do kwadratu, dodać 1. Gotowe! Postać ogólna funkcji kwadratowej to ax kwadrat dodać bx dodać c. Istnieją wzory, które pozwalają z postaci ogólnej otrzymać postać kanoniczną. Pierwszą współrzędną wierzchołka liczymy ze wzoru –b podzielić przez 2a drugą współrzędną ze wzoru minus delta podzielić przez 4a gdzie delta jest liczona ze wzoru b kwadrat odjąć 4ac. Skąd się biorą te wzory? Wyjaśnienie znajduje się na tej planszy. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych lekcji z tego działu oraz do polubienia naszej strony na Facebooku.