Około czterysetnego roku przed naszą erą babilońscy oraz chińscy matematycy niezależnie od siebie znaleźli sposób na rozwiązywanie równań kwadratowych metodą dopełniania do kwadratu którą poznasz w jednej z kolejnych lekcji. W obliczeniach pomagało im starożytne liczydło abakus. Tę lekcję zaczniemy od następującego pytania: ile miejsc zerowych ma funkcja kwadratowa opisana wzorem y równa się 2x kwadrat dodać 8x? Spróbuj odpowiedzieć samodzielnie. To jest postać ogólna funkcji kwadratowej. Wypisujemy jej współczynniki. a to 2, b to 8, a c to 0. Teraz liczymy deltę ze wzoru b kwadrat odjąć 4 razy a razy c Otrzymujemy: 8 do kwadratu odjąć 4 razy 2 razy 0 czyli 64. Delta jest dodatnia więc funkcja kwadratowa opisana wzorem 2x kwadrat dodać 8x ma dwa miejsca zerowe. Pokażę Ci teraz wykres tej funkcji. Oto on. Widzisz, że parabola przecina oś x w dwóch miejscach. Pierwsze miejsce zerowe to 0 co zapisujemy x1 równa się 0 a drugie miejsce zerowe to -4 co zapisujemy x2 równa się -4. Ale jak obliczyć miejsca zerowe gdy nie mamy wykresu funkcji lub nie da się ich jednoznacznie z niego odczytać? Miejsca zerowe funkcji to argumenty czyli x dla których dana funkcja przyjmuje wartość równą zeru. Aby znaleźć takie argumenty należy do wzoru funkcji w miejsce y wstawić liczbę 0 i rozwiązać powstałe równanie. W naszym przypadku otrzymujemy równanie: 0 równa się 2x kwadrat dodać 8x. Teraz wystarczy je rozwiązać. Najprościej przekształcić jego prawą stronę wyłączając x przed nawias. Otrzymujemy: 0 równa się x razy, otwieramy nawias 2x dodać 8, zamykamy nawias. Mamy tutaj iloczyn dwóch czynników x oraz wyrażenia 2x dodać 8. Kiedy iloczyn dwóch czynników jest równy zeru? Wtedy, gdy jeden z nich to 0. Pierwszy czynnik, czyli x będzie zerem gdy w jego miejsce wstawimy po prostu 0. 0 razy cokolwiek to 0. Mamy pierwsze miejsce zerowe. x1 równa się 0. Teraz musimy znaleźć liczbę która po wstawieniu w miejsce x w drugim czynniku sprawi że cały nawias będzie zerem. Rozwiązujemy zatem równanie 2x dodać 8 równa się 0. To zadanie dla Ciebie. Przerzucamy 8 na drugą stronę równania otrzymując 2x równa się -8. Teraz dzielimy równanie obustronnie przez 2 i mamy x równa się -4. Drugie miejsce zerowe czyli x2 to -4. Widzisz, że te same miejsca zerowe odczytaliśmy z wykresu. Mieliśmy tutaj do czynienia z funkcją kwadratową której współczynnik c wynosił 0. Miejsca zerowe tej funkcji wyznaczyliśmy rozwiązując równanie w którym wyłączyliśmy x przed nawias. Mogliśmy to zrobić w łatwy sposób dlatego że nie było w nim współczynnika c który jest liczbą. Rozwiązując takie równanie trzeba pamiętać aby nie podzielić całego równania przez x mimo, że to kusi. Gdybyśmy to zrobili najprawdopodobniej zgubiłoby się nam jedno z rozwiązań. Mam teraz zadanie dla Ciebie. Znajdź miejsca zerowe funkcji kwadratowej opisanej wzorem: 5x do kwadratu dodać 10x. Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji opisanej tym wzorem należy znaleźć argumenty dla których funkcja przyjmuje wartość równą zeru. Należy zatem rozwiązać takie równanie: 0 równa się 5x kwadrat dodać 10x. Wyłączamy x przed nawias. Otrzymujemy: 0 równa się x razy, otwieramy nawias 5x dodać 10, zamykamy nawias. Mamy tutaj iloczyn dwóch czynników. Przyjmuje on wartość 0 gdy pierwszy lub drugi czynnik jest zerem. Pierwsze miejsce zerowe jest proste x1 równa się 0. A drugie? Aby znaleźć x dla którego nawias będzie zerem wystarczy rozwiązać równanie 5x dodać 10 równa się zeru. Przerzucamy 10 na drugą stronę równania ze zmienionym znakiem i mamy: 5x równa się -10. Dzielimy równanie obustronnie przez 5 i mamy: x równa się -2. Drugie miejsce zerowe czyli x2 to -2. Zastanów się chwilę. Żeby znaleźć miejsca zerowe wyłączaliśmy x przed nawias ale czy można to równanie rozwiązać inaczej? Można. Wyciągając 5x przed nawias. Otrzymamy wtedy: 0 równa się 5x razy, w nawiasie x dodać 2. 5x będzie równa zeru, gdy x to 0 a x dodać 2 będzie zerem gdy w miejsce x wstawimy -2. To tak na marginesie. Jak widzisz, sposób rozwiązywania możesz wybrać według uznania ale musi być poprawny. Pokażę Ci jeszcze wykres tej funkcji. Oto on. Widzisz, że wykres przecina oś x w miejscu gdzie x to 0 i gdzie x to -2. Wszystko się zgadza. Przejdźmy dalej. Mam dla Ciebie jeszcze jedno zadanie. Wyznacz miejsce zerowe funkcji: y równa się 2x kwadrat odjąć 11x. Zapisujemy równanie: 0 równa się 2x kwadrat odjąć 11x. Wyłączamy x przed nawias. Mamy 0 równa się x razy, otwieramy nawias 2x odjąć 11, zamykamy nawias. Iloczyn po prawej stronie będzie zerem gdy pierwszy czynnik będzie zerem lub gdy wyrażenie w nawiasie przyjmie wartość 0. Pierwszy czynnik będzie zerem gdy w miejsce x wstawimy 0. To jest pierwsze miejsce zerowe. Drugi czynnik będzie zerem gdy 2x odjąć 11 przyjmuje wartość 0. Przerzucamy -11 na drugą stronę równania ze zmienionym znakiem. Dzielimy stronami przez 2 i mamy drugie miejsce zerowe. x2 to 11/2 czyli 5,5. Może udało Ci się zauważyć że w przypadku gdy szukamy miejsc zerowych funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, a współczynnik c jest równy zeru, jednym z rozwiązań jest zawsze 0. Pokażę Ci, dlaczego tak jest. Funkcja kwadratowa zapisana w tej postacie wygląda tak: y równa się ax kwadrat dodać bx. Szukając miejsc zerowych takiej funkcji w miejsce y wstawiamy 0 i rozwiązujemy równanie. 0 równa się ax kwadrat dodać bx Możemy wyłączyć wspólny czynnik przed nawias. Otrzymamy 0 równa się x razy otwieramy nawias ax dodać b. Mamy tutaj iloczyn dwóch czynników. Jeden z nich to x. Całe wyrażenie będzie zawsze równe zeru gdy w miejsce x wstawimy liczbę 0. Zapamiętaj.! 0 będzie zawsze miejscem zerowym funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej o zerowym współczynniku c. Jeżeli w równaniu kwadratowym współczynnik c wynosi 0 to aby je rozwiązać najprościej jest wyłączyć x przed nawias. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych lekcji z tego działu oraz do polubienia naszej strony na Facebooku.