Z tego filmu dowiesz się:

  • co to są zadania optymalizacyjne,
  • jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej na podstawie treści zadania,
  • jaki jest schemat postępowania przy rozwiązywaniu zadań optymalizacyjnych z zastosowaniem funkcji kwadratowej.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Słowo "optymalny" oznacza "najlepszy w danych warunkach" ale co znaczy "najlepszy" i dla kogo? Zastanów się. Możesz szukać optymalnej równowagi między nauką a rozrywką, między potrzebą snu a zabawy do białego rana; możesz ustawić sobie w domu optymalną temperaturę czyli nie za niską i nie za wysoką ale optymalizacja często nie oznacza równowagi. Optymalna wypłata? Jak najwyższa. Optymalne koszty? Jak najniższe. Zwłaszcza gdy w grę wchodzą liczby optymalność często skręca w stronę skrajności i właśnie takim, skrajnym podejściem do optymalizacji zajmiemy się w tym filmie. Wyobraź sobie janusza nad morzem. Przytachał 12-metrowy parawan i chce zagarnąć dla siebie jak największy kawałek plaży. Słupki parawanu można, rzecz jasna ustawiać w dowolny kształt, ale janusz chce mieć prostokąt, aby wygodnie było mu ułożyć wewnątrz leżaki i ręczniki. Jakie powinny być boki tego prostokąta aby powierzchnia plaży ograniczona parawanem, była jak największa? Wiemy, że parawan ma długość 12 metrów. Tyle więc będzie miał obwód powstałego prostokąta. Musimy jeszcze założyć, że słupki nie są trwale związane z materiałem parawanu, więc można je wstawiać w zasadzie dowolnie. Ile da się do takiego obwodu wcisnąć powierzchni? Przeanalizujmy to na przykładzie kilku różnych długości boków. Jeśli jeden z boków będzie miał jeden metr drugi musi mieć 5 metrów. Jakie będzie pole takiego prostokąta? To jeden razy pięć czyli pięć metrów kwadratowych. Wydłużmy krótszy bok o pół metra. Pole to teraz półtora metra razy 4,5 metra czyli sześć i 75 setnych metra kwadratowego. Przy wymiarach 2 na 4, to już 8 metrów kwadratowych, a kwadrat trzy metry na trzy metry da nam pole równe 9 m². Dalsze zmiany nic nowego już nie wprowadzają. Otrzymamy te same wyniki, co wcześniej. Zmieni się tylko ustawienie boków prostokąta. Z wyliczeń wynika, że największe pole uzyskamy, ustawiając parawan w kształcie kwadratu o boku 3 metrów. Nasza analiza nie jest jednak zbyt dokładna. Obliczaliśmy pole przy zmianach wymiarów o co najmniej pół metra. To wystarczy przy układaniu ręczników ale w wielu wypadkach może okazać się niewystarczające. Jak przeprowadzić optymalizację w bardziej usystematyzowany i dokładniejszy sposób? Punktem wyjścia niech będzie dla nas wykres zależności pola naszego prostokątnego kawałka plaży od długości jednego z boków. Oznaczmy długość tego boku jako x. Dla x równego jednemu metrowi, pole to 5 m². Gdy x to półtora metra, pole to 6,75 m². Gdy x równa się dwa, pole to osiem. Czy wykres ten coś ci przypomina? Mamy trochę luk między punktami ale i tak widać, że wykres ten układa się w kształt paraboli z maksimum w punkcie gdzie x = 3 m. Gdybyśmy mieli wzór tej funkcji, całe zadanie sprowadzałoby się do obliczenia współrzędnej iksowej wierzchołka paraboli i wartości drugiego boku. Zróbmy sobie teraz przerwę na orzeszka a po niej pokażę ci, jak taki wzór wyznaczyć. Wykres, który narysowaliśmy przed chwilą pokazywał, jak zmienia się pole prostokąta w zależności od długości jednego z boków przy stałym obwodzie. W naszym przypadku P równa się x razy y bo takimi literami oznaczyłam boki prostokąta. Pole prostokąta zależy od długości obu boków. Im większe liczby wstawimy pod x i pod y tym większe będzie pole. Jednak w naszym przypadku nie możemy dowolnie zmieniać obu wymiarów. Obwód ma być cały czas równy 12. Znając obwód, wystarczy więc znać długość jednego boku, a drugi możemy sobie w każdej chwili obliczyć. Możemy więc zapisać wzór na obwód naszego prostokąta: Dwa iks plus dwa igrek równa się dwanaście. Mamy tu dwie niewiadome: x i y. Chcąc pozbyć się nadmiarowej niewiadomej we wzorze, postępujemy tu podobnie jak w przypadku metody podstawiania przy rozwiązywaniu układów równań. Z równania: 2x + 2y = 12 wyznaczamy jedną z niewiadomych. Dowolną, ale Jeśli używamy liter x i y wygodniej nam będzie wyznaczyć y aby w powstałej funkcji została nam zmienna x do której jesteśmy przyzwyczajeni. Wyznaczamy więc y. W tym celu przenosimy 2x na drugą stronę równania ze zmianą znaku, a następnie dzielimy obustronnie przez 2, co daje nam: y równa się 6 minus x. Otrzymaliśmy w ten sposób wzór na długość drugiego boku prostokąta. Gdy we wzorze na pole prostokąta zastąpimy igrek wyrażeniem 6 - x Otrzymamy P = x razy 6 - x, czyli wzór pozwalający obliczyć pole prostokąta o obwodzie 12, znając jeden jego bok. We wzorze tym x jest zmienną, bo zmieniamy jego wartość sprawdzając, jak zmieni się pole. Możemy go więc zapisać jako funkcję P od x. Musimy jednak pamiętać, że nie możemy pod iks wstawiać dowolnej liczby. Iks to bok prostokąta, musi więc być liczbą większą od zera. Nie może też być liczbą większą od 6, a więc dziedziną tej funkcji są liczby z przedziału otwartego od 0 do 6. Jaką funkcję otrzymaliśmy? Jest to stara, poczciwa funkcja kwadratowa zapisana w postaci iloczynowej. Jeśli wymnożymy x z nawiasem a następnie uporządkujemy wyrazy otrzymamy ją w postaci ogólnej. Mamy wzór. Teraz sprawdźmy, czy nasza wcześniejsza analiza była poprawna. Mamy obliczyć, dla jakiej długości boku czyli dla jakiego x, pole prostokąta będzie największe. Nasza funkcja ma ujemny współczynnik a to znaczy, że jej ramiona są skierowane ku dołowi, a co za tym idzie, ma wartość największą, odpowiadającą największemu polu prostokąta i zarazem wierzchołkowi paraboli. Chcemy znać długość boku czyli iksową współrzędną wierzchołka. Ją oznaczamy najczęściej literą p. Pamiętasz wzór na p? P równa się minus b przez 2a. W naszym przypadku b to 6, a a to -1 czyli p równa się minus 6 przez 2 razy -1 co daje nam wynik 3. Uff, mamy nasz bok x. Drugi obliczamy ze wzoru: y równa się sześć minus iks, czyli 6 - 3 co również daje nam trzy. Pamiętaj, że w naszym przypadku y to drugi bok prostokąta. Nie pomyl go z wartością funkcji! Potwierdziliśmy tym samym, że kawałek plaży ogrodzony 12-metrowym parawanem będzie miał największe pole jeśli będzie kwadratem o boku 3 metrów. Poprzedni przykład nie był pewnie bardzo wymagający. Wiele osób intuicyjnie rozłożyłoby taki parawan w kształt zbliżony do kwadratu. Teraz postawimy janusza przed większym wyzwaniem. Nadal chce on zająć maksymalną powierzchnię plaży, ale przy tym zapewnić sobie prywatny dostęp do morza. Mamy więc sytuację, w której parawan ma stanowić trzy boki prostokąta, a czwartym bokiem ma być brzeg morza. Czy i tym razem kwadrat okaże się optymalnym wyborem? Doradź januszowi samodzielnie a za chwilę sprawdzimy, czy twoje obliczenia zgadzają się z moimi. Szybkie sprawdzenie. Znów optymalizujemy pole czyli P równa się x razy y. Tym razem jednak nasze 12 metrów ma wystarczyć tylko na trzy boki: dwa iks plus igrek równa się dwanaście. Wyznaczamy y. Y równa się 12 minus 2 x. Podstawiamy: P od x równa się x razy 12 minus 2x. X i tym razem nie może być mniejszy od zera ani większy od sześciu, ponieważ nawet gdyby bok y był bardzo krótki, to pozostałe prawie 12 metrów parawanu musi wystarczyć na dwa boki o długości x. Po zapisaniu funkcji w postaci ogólnej widzimy że i tym razem współczynnik a jest ujemny co oznacza, że funkcja posiada wartość największą. Po obliczeniu p, czyli maksimum naszej funkcji okazuje się, że optymalna długość boku x to i tym razem trzy metry. X należy do dziedziny, ponieważ miał się zawierać w przedziale otwartym od 0 do 6. Drugi bok prostokąta to: y równa się 12 minus 2 x czyli 12 minus 2 razy 3, co daje nam 6 metrów. Janusz postąpi więc najrozsądniej ustawiając prostokąt o wymiarach 6 na 3 metry w ten sposób, że bok o długości 6 metrów będzie równoległy do brzegu morza. A jakie pole wtedy otrzyma? Podaliśmy już wymiary prostokąta więc wystarczy je pomnożyć, by dowiedzieć się, że dwukrotnie większe niż poprzednio. Taki sam wynik otrzymamy, obliczając wartość naszej funkcji dla x równego trzem czyli igrekową współrzędną wierzchołka albo korzystając ze wzoru: q równa się minus delta przez 4a. Zostawmy naszego janusza na plaży i podsumujmy: aby obliczyć zadanie optymalizacyjne, dające się opisać funkcją kwadratową, należy w pierwszej kolejności wyznaczyć wzór tej funkcji. Kolejnym krokiem jest obliczenie współrzędnej iksowej wierzchołka i sprawdzenie, czy należy ona do dziedziny. Teraz należy przypomnieć sobie o co tak naprawdę nas pytano. Możliwe, że obliczony x to już koniec zadania. Może konieczne będzie obliczenie jeszcze innej wielkości, na przykład drugiego boku prostokąta lub maksymalnej czy minimalnej wartości funkcji, analogicznie do pola prostokąta w przykładzie który liczyliśmy przed chwilą. Byłoby optymalnie, gdyby ten film zasłużył na polubienie. Jeśli chcesz się zmierzyć z innymi wyzwaniami optymalizacji, oglądaj inne filmy tej playlisty.

Lista wszystkich autorów

Scenariusz: Dobrawa Szlachcikowska

Lektor: Dobrawa Szlachcikowska

Konsultacja: Anna Soliwocka, Andrzej Pieńkowski

Grafika podsumowania: Dobrawa Szlachcikowska

Materiały: Dobrawa Szlachcikowska

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Montaż: Dobrawa Szlachcikowska

Animacja: Magdalena Adamska

Opracowanie dźwięku: Aleksander Margasiński

Produkcja:

Katalyst Education