Z tego filmu dowiesz się:

  • jak rozwiązywać zadania optymalizacyjne z geometrii,
  • jak wyznaczać wzór funkcji korzystając z praw i zależności.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Na pewno nieraz przy pakowaniu walizki albo plecaka gnębiło cię, jak zmieścić w środku to, co najpotrzebniejsze, a przy tym się nie przedźwigać. Wiesz, że nad tym problemem głowią się też matematycy i informatycy? Nosi on nazwę dyskretnego problemu plecakowego, który można przedstawić w formie pytania: Czy wartość 'co najmniej C' może być osiągnięta bez przekraczania wagi w? Dyskrecja w nazwie oznacza, że podobnie jak w życiu, nie możesz zabrać do plecaka ułamka spodni, ani jednego buta od pary. Ułamkowych części nie bierzemy pod uwagę w rozwiązaniu. W tej lekcji zajmiemy się trochę prostszymi problemami optymalizacyjnymi choć od geometrii nie uciekniemy. Zadania optymalizacyjne z zastosowaniem funkcji kwadratowej, to w dużej mierze zadania dotyczące geometrii. Znajdujemy w nich wymiary czy kąty dla których figury o podanych cechach mają największe albo najmniejsze pola obwody czy sumę kwadratów długości boków. Wyobraźnia matematyków nie zna granic chyba, że są to granice funkcji a różnorodność zadań może na pierwszy rzut oka przyprawiać o zawrót głowy. Na szczęście, choć można wymyślić nieskończenie wiele zadań optymalizacyjnych sposób ich rozwiązania jest za każdym razem podobny. W innym filmie tej playlisty optymalizowaliśmy pole prostokąta, w którym ograniczał nas jego obwód. Podaliśmy w nim też kroki jakie należy wykonać, aby rozwiązać tego typu zadanie. Warto je sobie przypomnieć. W tym filmie także będziemy zajmować się figurami. I tymi płaskimi, i przestrzennymi. Przeczytajmy razem pierwsze zadanie. Dany jest prostokąt ABCD w którym AB to 12, a BC to 8. Na bokach BC i CD zaznaczono odpowiednio punkty E i F w taki sposób że odcinki CE i DF są równe iksowi. Dla jakiej wartości iksa pole trójkąta AEF będzie najmniejsze? Oblicz to pole. W zadaniu nie ma rysunku więc trudno to sobie wyobrazić. Zacznijmy więc od narysowania naszego prostokąta ABCD. Jego wymiary to 12 i 8. Podczas rysowania warto zachować proporcje. Ja narysuję go zatem w taki sposób że jeden bok będzie miał 12, a drugi 8 kratek. Oznaczmy wierzchołki A, B, C, D tak aby zgodnie z zadaniem bok AB miał długość 12 a BC - osiem. Pierwsze zdanie tego zadania mamy tym samym z głowy. W kolejnym jest informacja o punktach E i F. Pierwszy podany mamy punkt E, co oznacza że ma być on zaznaczony na pierwszym z podanych boków: boku BC. Na razie zaznaczę go w dowolnym miejscu. Jeśli coś nie będzie się zgadzać z dalszą częścią zadania, zawsze możemy poprawić. Teraz czas na punkt F. Z polecenia wiemy, że odcinek CE i DF mają być sobie równe. Zaznaczam więc punkt F w takiej samej odległości od punktu D. Oba odcinki mamy oznaczyć jako x. Nasza optymalizacja będzie dotyczyła trójkąta AEF. Narysujmy go więc, łącząc jego wierzchołki. Rysunek gotowy. Teraz zastanówmy się czego żądają od nas w zadaniu. Mamy znaleźć taką wartość iksa, dla którego pole trójkąta AEF jest najmniejsze. Zobacz: kiedy zmieniam długość naszego x zmienia się kształt trójkąta, a z nim i pole. Mogę go wydłużyć aż do momentu kiedy będzie zajmował cały krótszy bok czyli będzie miał długość 8 albo skracać go, aż będzie równy zeru. Przedział domknięty od 0 do 8 będzie więc dziedziną naszej funkcji. Jej wzór zaraz sobie wyznaczymy. Mamy optymalizować pole. Potrzebujemy więc wzoru, z którego moglibyśmy to pole obliczyć, znając x i z którego powstanie nasza funkcja. Pole trójkąta obliczamy ze wzoru: a razy h przez 2. Nie znamy jednak ani podstawy ani wysokości trójkąta AEF. Znamy za to wymiary prostokąta. Musimy więc do pola trójkąta AEF dojść pośrednią drogą, odejmując od pola prostokąta pole trzech narożnych trójkątów, których boki albo znamy bezpośrednio, albo możemy opisać za pomocą wyrażenia z iksem. Pole prostokąta to 8 razy 12, czyli 96. Pole trójkąta ADF, to osiem razy x przez 2, czyli 4x. Długość odcinka CF możemy zapisać jako 12-x. Wtedy pole trójkąta CEF, to iks razy 12 - x przez 2, co po uproszczeniu daje nam 6x - 1/2x². Analogicznie, odcinek BE oznaczamy jako osiem minus iks, a pole trójkąta ABE zapisujemy jako 12 razy 8 minus x przez dwa co daje nam 48 minus 6x. Możemy już zapisać pole naszego trójkąta odejmując od 96 pola pozostałych trójkątów. Po uproszczeniu otrzymujemy: 1/2x² minus 4x plus 48. Czy to wyrażenie coś ci przypomina? Tak, to trójmian kwadratowy który możemy zapisać w postaci funkcji. Jej dziedzinę już wyznaczyliśmy. To przedział obustronnie domknięty od 0 do 8. Mamy funkcję. Zróbmy miejsce na dalsze obliczenia. Kolejnym krokiem jest obliczenie współrzędnej iksowej wierzchołka. P równa się minus b przez 2 a, czyli minus -4 przez dwa razy 1/2, co daje nam 4. Czwórka należy do dziedziny. Funkcja ma dodatni współczynnik a a więc ramiona skierowane ku górze i wartość najmniejszą. To minimum będzie oznaczało najmniejsze pole a nasza funkcja osiąga je właśnie dla x równego 4. Tym samym obliczyliśmy, dla jakiego x pole trójkąta AEF jest najmniejsze czyli odpowiedzieliśmy na pierwsze pytanie z zadania. Drugie dotyczy pola czyli najmniejszej wartości funkcji. Możemy je obliczyć ze wzoru na igrekową współrzędną wierzchołka ale wtedy konieczne będzie obliczenie delty lub obliczając wartość naszej funkcji dla x równego 4, czyli podstawiając czwórkę pod x do naszej funkcji. W drugim zadaniu odwrócimy sytuację i tym razem to prostokąt wpiszemy w trójkąt. A oto treść zadania: Z blaszki w kształcie trójkąta prostokątnego chcemy wyciąć prostokąt o maksymalnym polu, tak aby wykonać tylko dwa cięcia. Jakie największe pole uda nam się uzyskać jeśli przyprostokątne blaszki mają długości 5 i 12 cm? Tym razem mamy już rysunek do zadania. Musimy go tylko odpowiednio opisać. Dłuższa przyprostokątna trójkąta ma 12 a krótsza - 5 cm. Miejsca, w których wykonamy cięcia dzielą nam każdy z tych boków na dwie części. Jedna z nich to bok prostokąta a druga to bok małego trójkąta jaki zostanie po cięciu. Optymalizować znów będziemy pole. Czy tym razem możemy skorzystać z wzoru na pole prostokąta, czy znów będziemy coś odejmować? Zastanówmy się. Dwa boki naszego prostokąta pokrywają się częściowo z bokami trójkąta których długości znamy. Jeśli chcielibyśmy obliczać pola małych trójkątów, które zostaną po odcięciu i je odejmować, musielibyśmy użyć długości tych samych odcinków, których użyjemy przy obliczaniu pola prostokąta. Nie ma co więc utrudniać sobie obliczeń. Przechodzimy bezpośrednio do pola prostokąta. Oznaczmy jego boki jako iks i igrek czyli pole to x razy y. Mamy tu dwie litery, o jedną za dużo, a więc jedną z nich musimy podstawić. Ale czym? Nie znamy obwodu prostokąta, trzeba więc znaleźć inną zależność między iksem a igrekiem. Masz pomysł? Jeśli nie, to na chwilę zostawmy treść zadania i wyobraźmy sobie, że znamy długość jednego z boków prostokąta a chcemy obliczyć drugi. Przykładowo niech dolny bok ma długość 10. Wstrzymaj film i pomyśl chwilę, jak obliczyć w takim przypadku drugi bok prostokąta? Jeśli przyszedł ci do głowy pomysł wykorzystania podobieństwa trójkątów gratulacje! Jeśli nie, posłuchaj. Na naszym rysunku mamy 3 trójkąty podobne. Duży ma przyprostokątne o wymiarach 5 i 12 a pozostałe to: y i 2 oraz 5 minus y i 10. Drugi bok prostokąta możemy więc obliczyć układając proporcję; na przykład taką: igrek do dwóch ma się tak samo, jak 5 do 12. A teraz zapomnij o liczbie 10 która była tylko przykładem i ułóż analogiczną proporcję posługując się literami x i y. Moja proporcja wygląda tak. Po wymnożeniu jej na krzyż otrzymujemy: 12y równa się 60 minus 5x. Mamy więc już zależność między bokami prostokąta. Teraz musimy wyznaczyć jeden z nich i podstawić do wzoru na pole. Który? Dowolny, choć wygodniej będzie nam wyznaczyć y, aby w powstałej funkcji tak, jak to najczęściej w funkcjach bywa pozostała tylko zmienna x. Igrek wyznaczymy, dzieląc równanie obustronnie przez 12. Otrzymujemy: y równa się 5 minus 5/12x. Po podstawieniu do wzoru na pole otrzymujemy P równa się x razy, w nawiasie, 5 minus 5/12x a po wymnożeniu: 5x minus 5/12x². Mamy wzór na pole, który możemy zapisać jako funkcję zależności pola prostokąta od długości boku x. Nie zapominajmy jednak, że pod x nie możemy wstawić dowolnej liczby, musimy więc wyznaczyć dziedzinę funkcji. X to długość boku prostokąta musi więc być dłuższa od zera. Nie może też przekroczyć długości boku trójkąta a nawet być mu równym, a więc nasza dziedzina to przedział obustronnie otwarty od 0 do 12. Kolejnym krokiem jest sprawdzenie czy wierzchołek paraboli będącej wykresem naszej funkcji, zawiera się w dziedzinie. Obliczamy p, czyli iksową współrzędną wierzchołka. P równa się minus b przez 2 a czyli -5/2 razy -5/12, co daje nam wynik 6. P należy do dziedziny funkcji. Wiemy już, że parabola będąca wykresem naszej funkcji ma ramiona skierowane ku dołowi i pierwszą współrzędną wierzchołka równą 6, a więc dla argumentu iks równego sześciu, funkcja przyjmuje wartość największą, czyli kiedy bok x jest równy 6, nasz prostokąt będzie miał największe pole. W zadaniu pytano właśnie o to pole a więc obliczmy je, obliczając wartość naszej funkcji dla iksa równego sześciu. A więc z naszej blaszki uda się uzyskać prostokąt o polu 15 cm kwadratowych. Ostatnie zadanie spróbuj rozwiązać samodzielnie, a następnie wznów film i sprawdź, jak ci poszło. Adam ma trzy metry kątownika z którego chce zbudować szkielet do akwarium. Jaką maksymalną powierzchnię ścian bocznych akwarium uda mu się uzyskać, jeśli chce by krawędzie podstawy miały stosunek 2 do 3. Oblicz wymiary akwarium dla tego pola. Moje rozwiązanie składa się z następujących kroków: Oznaczyłam krawędzie podstawy akwarium jako 2x i 3x, a wysokość jako h. Zapisałam wyrażenie na pole boczne akwarium. Wiedząc, że suma krawędzi akwarium jest równa 300 cm, wyznaczyłam h. Podstawiłam wyrażenie 75 - 5x do wzoru na pole boczne i zapisałam je jako funkcję. Wyznaczyłam dziedzinę funkcji. X musi być liczbą większą od zera a jednocześnie obwód obu podstaw, czyli 20x musi być mniejszy od 300 cm, ponieważ wysokość nie może być równa zeru czyli x musi być mniejsze od 15. Czyli dziedziną funkcji jest przedział obustronnie otwarty od 0 do 15. Obliczyłam iksową współrzędną wierzchołka i sprawdziłam, czy należy do dziedziny funkcji. Obliczyłam największe pole powierzchni bocznej akwarium, jakie może uzyskać Adam. Ostatnim krokiem było obliczenie wymiarów akwarium. W zadaniach optymalizacyjnych największym wyzwaniem jest wyznaczenie wzoru funkcji. Pamiętaj nie tylko o najbardziej oczywistych wzorach na pole czy objętość ale też o innych zależnościach i prawach głównie z planimetrii. Jeśli w zadaniu występują dwie niewiadome i masz problem ze znalezieniem zależności między nimi, czasowo zastąp jedną z nich liczbą. Widząc jedną niewiadomą, łatwiej znaleźć sposób jej obliczenia. Następnie wykorzystaj znalezioną zależność na powrót zastępując liczbę literą. Po tym filmie zbudowanie optymalnego akwarium nie będzie już dla Ciebie problemem o ile masz opanowane spawanie. Więcej zadań z optymalizacji znajdziesz w innych filmach tej playlisty.

Lista wszystkich autorów

Scenariusz: Dobrawa Szlachcikowska, Małgorzata Załoga

Lektor: Dobrawa Szlachcikowska

Konsultacja: Anna Soliwocka, Andrzej Pieńkowski

Grafika podsumowania: Dobrawa Szlachcikowska

Materiały: Dobrawa Szlachcikowska

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Montaż: Dobrawa Szlachcikowska

Animacja: Magdalena Adamska

Opracowanie dźwięku: Aleksander Margasiński

Produkcja:

Katalyst Education