Z tego filmu dowiesz się:

  • jak rozwiązywać zadania optymalizacyjne osadzone w układzie współrzędnych.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Jednym z pierwszych problemów optymalizacyjnych był tak zwany problem diety żołnierzy amerykańskiej armii. Chodziło o to, by zapewnić poborowym zdrowe żywienie jak najmniejszym kosztem. Jeden z naukowców, George Stigler wydedukował, że taką dietę można zapewnić za 39 dolarów i 93 centy rocznie. 8 lat później postanowiono sprawdzić dane Stiglera matematycznie. Wykorzystano do tego dziewięć równań i 77 niewiadomych. Dziewięciu urzędnikom z ręcznymi kalkulatorami zajęło 120 osobodni by wykazać, że Stigler miał świetne wyczucie. Cenę żołnierskiego jadłospisu udało się obniżyć ledwie o 24 centy. Nie licząc kosztów wyłożonych na samą optymalizację. W tej lekcji będziemy optymalizować figury. Bezkosztowo. W innych filmach tej playlisty zajmowaliśmy się optymalizacją różnych figur geometrycznych. Stawialiśmy je na plaży wciskaliśmy w inne figury a nawet proponowaliśmy aby umieścić w nich rybki. Czas na nowy pomysł. W tej lekcji nadamy naszym figurom jakby to powiedział fizyk zupełnie nowy układ odniesienia. Umieścimy je w układzie współrzędnych i będziemy ograniczać prostymi parabolami i osiami. Będziemy musieli nieco zmienić sposób myślenia, bo w zadaniach optymalizacyjnych z geometrii analitycznej Trudno o takie luksusy, jak obwód figury czy jej wymiary podane w liczbach. Wystarczyć nam będą musiały równania prostych, parabol, czy współrzędne punktów. Na pierwszy ogień weźmy optymalizację bardzo prostej figury - odcinka. Uwięzimy go między dwiema parabolami. Ale... nie spoilerujmy, najpierw zapoznajmy się z treścią zadania. Dane są dwie parabole: igrek równa się x² - 4 x + 7 i y równa się -2 iks kwadrat plus 1. Parabole te połączono pionowym odcinkiem który można dowolnie przesuwać w prawo i w lewo. Dla jakiego x odcinek ten będzie najkrótszy? Spójrz, kiedy przesuwam nasz odcinek skraca się on i wydłuża. Widzimy na oko, że najkrótszy jest w okolicach jedynki. Jednak po co spekulować skoro możemy to dokładnie wyliczyć. Pierwszy krok to opisanie zależności długości naszego odcinka od iksa w postaci funkcji. Jak to zrobić? Przeanalizujmy konkretny przypadek. Jaka będzie długość odcinka dla x równego 1? Aby to obliczyć, potrzebne nam będą igrekowe współrzędne obu punktów. Podstawiamy więc liczbę 1 pod x do obu równań Otrzymujemy cztery i minus jeden. A więc końce naszego odcinka mają współrzędne 1 i 4 oraz 1 i minus 1. Są to punkty kratkowe, więc bez obliczeń można stwierdzić, że odcinek ma długość 5. My potrzebujemy jednak formuły. Aby obliczyć długość odcinka musimy wykonać odejmowanie: 4 odjąć minus 1, czyli pięć. Teraz wykonajmy to samo odejmowanie dla dowolnego x. Współrzędne punktu leżącego na tej paraboli Możemy opisać jako iks i iks kwadrat minus 4x plus 7. Analogicznie punkt należący do drugiej ma współrzędne x i -2 iks kwadrat plus jeden. Teraz wykonujemy odejmowanie podobnie jak to zrobiliśmy przed chwilą. Odejmujemy współrzędne igrekowe: iks kwadrat minus 4x plus 7 odjąć, w nawiasie, minus 2 iks kwadrat plus 1. Po opuszczeniu nawiasu i redukcji wyrazów podobnych, otrzymujemy funkcję. Opiszmy ją jako d od iks. Jaka będzie jej dziedzina? Odcinek możemy przesuwać w prawo i w lewo do plus i minus nieskończoności bo nasze dwie parabole też przecież nie mają początku ani końca. Tak więc dziedziną naszej funkcji będzie zbiór liczb rzeczywistych. Funkcja d od x ma dodatni współczynnik a czyli ramiona skierowane ku górze. Jej najniższy punkt, czyli wierzchołek odpowiada najkrótszej długości odcinka uwięzionego między parabolami. Chcemy wiedzieć, dla jakiego iksa będzie to miało miejsce, czyli musimy obliczyć iksową współrzędną wierzchołka. P równa się minus b przez 2 a czyli p równa się 4 przez 2 razy 3 co po skróceniu daje 2/3. Wynik należy do dziedziny i jest rozwiązaniem naszego zadania. Odcinek jest najkrótszy, kiedy x jest równy 2/3. Jeśli ciekawi cię, jaka jest jego długość możesz to obliczyć, obliczając igrekową współrzędną wierzchołka, czyli najmniejszą wartość naszej funkcji. Ja uciekam na orzeszka. Słyszymy się za chwilę. W tym zadaniu też będzie o odcinkach. Dane są punkty: A, o współrzędnych -2 i 3 i B, o współrzędnych 3 i 4. Na osi x zaznaczono punkt C i połączono go z punktami A i B tak, że otrzymano odcinki AC i BC. Znajdź współrzędne punktu C, dla którego suma kwadratów długości odcinków AC i BC jest najmniejsza. Na początek rysunek. Zaznaczamy punkty A i B. Na osi X zaznaczamy punkt C w dowolnym miejscu i łączymy go z punktami A i B. Tym razem mamy zoptymalizować nie obwód ani pole, a sumę kwadratów długości dwóch odcinków. AC do kwadratu dodać BC do kwadratu. Aby podnieść do kwadratu długość odcinka musimy mieć tę długość zapisaną w formie wyrażenia. Sprawa nie jest zbyt skomplikowana bo wzór na długość odcinka jest często wykorzystywany na lekcjach geometrii analitycznej. Dla odcinka o końcach A i B ma on następującą postać. Ten wzór to nic innego, jak zapisana na potrzeby geometrii analitycznej postać twierdzenia Pitagorasa. Możemy go zapisać w tej postaci. W ten sposób otrzymaliśmy wzór na kwadrat długości odcinka, a właśnie o to nam w zadaniu chodzi. Aby rozwiązać zadanie z wykorzystaniem tego wzoru, potrzebujemy współrzędnych naszych trzech punktów. Jakie współrzędne ma punkt C? Współrzędna iksowa to nasza zmienna bo punkt możemy przesuwać. Nie zmienia się jednak współrzędna igrekowa. Punkt cały czas ma się znajdować na osi X a więc współrzędna igrekowa będzie równa 0. Podstawiamy. Dla odcinka AC: AC do kwadratu równa się w nawiasie minus 2 minus x do kwadratu dodać w nawiasie 3 minus 0 do kwadratu a po uproszczeniu otrzymujemy: iks kwadrat plus 4 iks plus 13. Spróbuj powtórzyć to samo dla odcinka BC. Ja otrzymałam x kwadrat minus 6x plus 25. Mamy już dwa kwadraty długości odcinków. Musimy zoptymalizować ich sumę. Jak to zrobić? Wystarczy je dodać. Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy funkcję: 2x² - 2x + 38. Jaka będzie jej dziedzina? W zadaniu nie ma ograniczeń jeśli chodzi o położenie punktu C. Możemy go przesuwać, podobnie jak odcinek w poprzednim zadaniu, i do plus i do minus nieskończoności. Dziedziną jest więc ponownie zbiór liczb rzeczywistych. Funkcja ma ramiona skierowane ku górze. Dla jakiego iksa wartość naszej funkcji jest najmniejsza? Obliczamy p, które na pewno będzie należało do dziedziny. P równa się minus b przez 2 a czyli dwa przez 2 razy 2, co daje nam 1/2. Pozostaje podać odpowiedź. Suma kwadratów długości odcinków AC i BC będzie najmniejsza, jeśli punkt C będzie miał współrzędne 1/2 i 0. Czas zabrać się za bardziej złożone figury. Tym razem weźmiemy na warsztat trapez. Uwięzimy go między prostą a osiami współrzędnych. Dana jest prosta el o równaniu: y równa się minus 1/2 iks plus 7. Między tą prostą a osiami układu współrzędnych chcemy umieścić trapez prostokątny ABCD o jak największym polu tak, aby punkt C znajdował się na prostej el, a punkt A miał współrzędne (0,0). Jakie współrzędne musi mieć punkt C jeśli długości podstaw tego trapezu pozostają do siebie w stosunku 1 do 2? Spójrzmy najpierw, co będzie się działo z naszym trapezem, kiedy będziemy zmieniać położenie punktu C. Trapez raz robi się wysoki i wąski a raz niski i szeroki. Cały czas jednak jedna z jego podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej. Zmienia się także jego pole, chociaż trudno ocenić, w którym momencie jest największe. Zanim zabierzemy się do zapisania pola naszego trapezu w postaci funkcji zastanówmy się, jak obliczylibyśmy to pole gdybyśmy znali iksową współrzędną punktu C. Załóżmy, że to cztery. Wzór na pole trapezu to a + b przez 2, razy h. Jeśli pierwsza współrzędna punktu C wynosiłaby 4, to dolna podstawa trapezu ma właśnie taką długość. Górna jest dwa razy krótsza, czyli ma długość 2. A co z wysokością? Wysokość będzie równa igrekowej współrzędnej punktu C. Punkt C należy do prostej y = -1/2x + 7 obliczamy więc y dla x równego czterem. Obliczyliśmy A, B i wysokość. Pole możemy sobie darować, bo to ćwiczenie miało posłużyć tylko jako wskazówka. Teraz wracamy do zadania i powtarzamy analogiczne kroki na literach. Ustalamy, że współrzędne punktu C to iks i -1/2x + 7. Przy takim oznaczeniu dolna podstawa trapezu ma długość x, a górna jest o połowę krótsza czyli jej długość to 1/2x. Wysokość trapezu jest równa igrekowej współrzędnej punktu C czyli ma długość -1/2x + 7. Mamy więc i podstawy trapezu, i jego wysokość zapisane za pomocą jednej niewiadomej x. Teraz ja zrobię sobie przerwę, a Ty spróbuj zapisać funkcję opisującą pole trapezu. Po podstawieniu wzoru na pole trapezu powinno to wyglądać tak a po uproszczeniu, tak: Funkcja zapisana. Zastanówmy się nad dziedziną. Jakie liczby możemy podstawić pod x do naszej funkcji? Czy punkt C możemy przesuwać po prostej el bez ograniczeń? Oj, nie tym razem. Nasz trapez jest uwięziony między prostą a osiami. Nie ma sensu, żeby leżał on na osi y bo wtedy nie będzie już trapezem, a odcinkiem. Podobnie zredukowany do odcinka zostanie kiedy punkt C przesuniemy na oś X. X to długość podstawy trapezu musi więc być dłuższy od zera. Z drugiej strony dziedzina będzie ograniczona miejscem zerowym prostej el. Obliczmy je. A więc dziedziną naszej funkcji jest przedział obustronnie otwarty od 0 do 14. Czas na kolejny punkt rozwiązania. Nasza funkcja ma ramiona skierowane ku dołowi. Iksowa współrzędna wierzchołka to jednocześnie iksowa współrzędna punktu C jeśli tylko należy ona do dziedziny. Igrekowa współrzędna wierzchołka czyli największa wartość funkcji będzie w takim przypadku równa największemu polu naszego trapezu. Obliczyć mamy tylko współrzędne punktu C. Zaczynamy od obliczenia iksowej współrzędnej, czyli p. Podstawiamy b i a, i otrzymujemy 7 które należy do dziedziny. Czas na współrzędną igrekową. I tu uwaga: obliczamy igrekową współrzędną punktu C, a nie wierzchołka paraboli! Igrek równa się minus jedna druga razy 7 plus 7 co daje nam 3,5. Nasz trapez będzie więc miał największe pole gdy współrzędne punktu C wyniosą 7 i 3,5. Rozwiązując złożone zadania optymalizacyjne najlepiej na początek założyć i obliczyć sobie pewną konkretną sytuację, a dopiero potem ją uogólnić, powtarzając te same kroki. W zadaniach optymalizacyjnych z geometrii analitycznej, nieznane współrzędne punktów najczęściej opisujemy za pomocą równań prostych czy parabol, na których punkty te się znajdują. Mam nadzieję, że ten film zoptymalizował Twoją wiedzę i że żadne figury nie będą mieć przed Tobą tajemnic. Jeśli chcesz wiedzieć więcej, spraw by pistacja stała się twoim układem odniesienia. Zasubskrybuj!

Lista wszystkich autorów

Scenariusz: Dobrawa Szlachcikowska, Małgorzata Załoga

Lektor: Dobrawa Szlachcikowska

Konsultacja: Anna Soliwocka, Andrzej Pieńkowski

Grafika podsumowania: Dobrawa Szlachcikowska

Materiały: Dobrawa Szlachcikowska

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Montaż: Dobrawa Szlachcikowska

Animacja: Magdalena Adamska

Opracowanie dźwięku: Aleksander Margasiński

Produkcja:

Katalyst Education