Słowo „ciąg” może oznaczać wiele różnych rzeczy. Jest ciąg pieszy, czyli chodnik i ciąg jezdny. Rakieta nie wystrzeliłaby w kosmos gdyby nie odpowiednia siła ciągu a dobry napastnik zawsze ma ciąg na bramkę. Kiedyś ciągiem określano też w sądownictwie kradzież albo rozbój. Słownym kuzynem ciągu jest słówko „ciężki” ale w tej lekcji pokażę Ci że ciągi wcale nie są ciężkie do pojęcia! To jest rejestracja pewnego pojazdu. Przeczytaj ją. 1234 BCD. Zapis rejestracji składa się z cyfr i liter. Czy potrafisz powiedzieć jaki jest pierwszy znak tej rejestracji? Jestem pewny, że tak! Jest nim cyfra 1. A jak jest piąty znak tej rejestracji? 1, 2, 3, 4, 5. Na piątym miejscu stoi litera B. Spójrzmy na kolejny przykład. Z ilu znaków składa się napis „pistacja”? Policzmy! 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Tutaj mamy wyłącznie litery. Jaka litera stoi na siódmym miejscu? Litera „j”. A na którym miejscu stoi litera „p”? Na pierwszym. Przejdźmy do kolejnego przykładu. Widzisz tutaj hasło do konta na Steamie pewnego gracza: matematyka16#. Hasło składa się z liter cyfr oraz znaku specjalnego. Na którym miejscu w tym haśle stoi litera „t”? Możemy ją znaleźć w dwóch miejscach na pozycji trzeciej i siódmej. Każdy matematyk zauważy w tych przykładach przyporządkowanie które kolejnym liczbom naturalnym dodatnim czyli naszym pozycjom przyporządkowuje pewne wartości. Matematycy takie przyporządkowanie nazywają ciągiem. Matematycy zajmują się głównie ciągami liczbowymi, czyli takimi, które składają się wyłącznie z liczb. Czy znasz przykład takiego ciągu? Każdy człowiek w Polsce ma przypisany do swojej osoby niepowtarzalny ciąg liczbowy. Jest nim numer identyfikacyjny PESEL. Na przykład taki. To jest ciąg liczbowy. Na pierwszym miejscu stoi 8 na drugim 1, na trzecim 0 na czwartym jedynka i tak dalej. PESEL zawsze składa się z jedenastu elementów. Inny przykład ciągu liczbowego możemy zobaczyć w telewizji gdy piłkarze reprezentacji kraju stoją jeden obok drugiego i śpiewają hymn. Potrafimy podać numer zawodnika stojącego na pierwszym miejscu drugim miejscu i tak dalej aż do jedenastego. Mamy tutaj ciąg, który składa się z jedenastu elementów. Wszystkie są liczbami więc to jest ciąg liczbowy. A co się stanie, gdy zawodnicy po śpiewaniu hymnu rozbiegną się po boisku? Czy potrafisz powiedzieć który zawodnik stoi na drugim miejscu? Nie, bo już nie stoją obok siebie. To ustawienie, choć też w pewien sposób uporządkowane, nie jest ciągiem. Innym przykładem ciągu liczbowego jest ciąg dodatnich wielokrotności liczby 2. Spróbuj wypisać kilka kolejnych liczb z tego ciągu. Pierwszym wyrazem tego ciągu jest liczba 2 drugim — 4, trzecim — 6, czwartym — 8 piątym — 10, szóstym — 12. Zatrzymajmy się na chwilę. Czy da się wypisać wszystkie wyrazy tego ciągu? No nie da się. Musielibyśmy robić to w nieskończoność. To jest przykład ciągu liczbowego nieskończonego. A jak jest w numerze PESEL? Tu liczba znaków jest zawsze skończona i wynosi 11. Numer PESEL jest zatem ciągiem liczbowym skończonym. Ten ciąg jest jednakże nieskończony. Aby zaznaczyć, że dany ciąg jest nieskończony, po przecinku zapisujemy 3 kropki. To jest pierwszy podział ciągów liczbowych. Ciągi można zapisywać również w tabeli. W pierwszym wierszu znajdą się numery pozycji, na których stoją kolejne wyrazy ciągu, a w drugim wierszu odpowiednie wyrazy. Zobacz, na pierwszym miejscu stoi liczba 2 na drugim — 4 na trzecim — 6 na czwartym — 8 na piątym — 10, na szóstym — 12 i tak dalej. Matematycy lubią upraszczać sobie nazwy, oznaczenia i zapisy. Pozycję w ciągach postanowili oznaczać literą „n”, a kolejne wartości ciągu jakąś literą alfabetu z indeksem dolnym „n”. Warto przyzwyczaić się do tych oznaczeń. Będziemy z nich często korzystać. Pokażę Ci teraz co można robić z takimi oznaczeniami. Weźmy na przykład n równe 3. Oznacza to, że chodzi nam o trzeci wyraz w tym ciągu. Jest nim liczba 6. Zamiast pisać słownie „trzecim wyrazem tego ciągu jest liczba 6” to robimy to w ten sposób: zapisujemy a z indeksem dolnym 3 równa się 6. a z indeksem dolnym 3 czytamy po prostu „a 3”. Weźmy teraz n równe 4. Ile wynosi a4? 8. Możesz zauważyć że ciągi można zapisywać na różne sposoby. Ten sam ciąg dodatnich wielokrotności dwójki, zapisaliśmy słownie wypisując kolejne wyrazy ciągu oraz za pomocą tabeli. Może masz jakiś pomysł, jak jeszcze inaczej możemy zapisać ten ciąg? Jeżeli coś jest zapisane w tabeli to możemy to łatwo zapisać za pomocą grafu. Rysujemy dwie elipsy. W pierwszej będą pozycje wyrazów ciągu czyli n, a w drugiej wyrazy ciągu czyli an. Pierwszym wyrazem ciągu jest liczba 2 drugim — liczba 4 trzecim — liczba 6 a czwartym — liczba 8. Możemy tak wypisywać w nieskończoność więc w obu elipsach na końcach zapisujemy 3 kropeczki. Ciągi możemy prezentować też na wykresie. Na osi poziomej znajdują się numery wyrazów ciągu, czyli n a na osi pionowej wyrazy ciągu, czyli an. Pierwszym wyrazem tego ciągu jest liczba 2 drugim — liczba 4 trzecim — liczba 6 i tak dalej. Przejdźmy teraz do jeszcze do innego sposobu zapisywania ciągów. Zastanów się, czy potrafisz dostrzec zależność między numerem wyrazu czyli pozycją, a wyrazem stojącym na tej pozycji. Zobacz, wyrazy tego ciągu są 2 razy większe niż numery miejsc na których stoją. Mnożąc 1 przez 2 otrzymamy 2. Mnożąc 2 przez 2 otrzymamy 4. Mnożąc 2 przez 3 otrzymamy 6. Jak to zapisać za pomocą wzoru? Wyrazy tego ciągu, czyli an są 2 razy większe niż numery wyrazów czyli an równa się 2 razy n. Jak wykorzystuje się takie wzory? Wymyśl sobie dowolną pozycję w tym ciągu na przykład siedemdziesiątą dziewiątą. Dzięki znajomości wzoru możemy szybko obliczyć jaki wyraz stoi na tej pozycji. Wystarczy w miejsce litery „n” wstawić numer pozycji, czyli 79. 2 razy 79 to 158. W tym ciągu na siedemdziesiątym dziewiątym miejscu stoi liczba 158. Wzory takie jak ten będziemy badać w kolejnych lekcjach. Teraz przyszedł czas na szybką powtórkę. Spróbuj wymienić poznane dotąd metody zapisywania ciągu. Możemy go zapisać na przykład słownie. Ciąg możemy także zapisać wypisując jego kolejne wyrazy. Możemy też wykorzystać tabelę, graf wykres i wzór. A spójrz teraz na taki ciąg: 0, 100, 1/2, pierwiastek z pięciu i 10 do potęgi trzeciej. Zauważ, że mamy tutaj wypisane kolejne wyrazy tego ciągu. Jakimi innymi metodami możemy przedstawić ten ciąg? Możemy skorzystać z tabeli? Możemy! Oto ona! A z grafu? Też! A co sądzisz o wykresie? Czy będzie on czytelny? Zauważ, że pierwszym wyrazem jest 0. Drugim — 100, a trzecim — 1/2. Nie starczy nam miejsca aby zrobić czytelną podziałkę. Nie zmienia to faktu że gdybyśmy bardzo chcieli to moglibyśmy i na wykresie go przedstawić. A czy ten ciąg da się opisać jakimś wzorem? Jak myślisz? Najprawdopodobniej wyrazami tego ciągu są przypadkowe liczby to znaczy, że nie ma reguły ich doboru. Nie możemy więc tej reguły zapisać językiem matematyki, czyli wzorem. Ciągi można opisywać dowolnym z poznanych wcześniej sposobów wyjątkiem jest wzór, nie każdy ciąg da się przedstawić w postaci wzoru. Wzory ciągów będziemy badać dokładnie w kolejnych lekcjach. Teraz utrwalimy zdobytą wiedzę. Spójrz na taki ciąg: 2, 4, 8, 16, 32 i tak dalej. Czy to jest ciąg? Mamy tutaj pewne przyporządkowanie. To znaczy, że jesteśmy w stanie powiedzieć który element jest pierwszy który drugi i tak dalej. To jest ciąg. A czy to jest ciąg liczbowy? Wszystkie wyrazy tego ciągu to liczby. Mamy zatem do czynienia z ciągiem liczbowym. Czy ten ciąg jest skończony czy nieskończony? 3 kropki na końcu oznaczają że to jest ciąg nieskończony. Czy istnieje wzór opisujący kolejne wyrazy tego ciągu? Pierwszy wyraz to 2. Pozycja tego wyrazu to 1. Kandydatem na wzór jest iloczyn dwójki i numeru pozycji. Pierwszym wyrazem tego ciągu będzie zatem 2 razy 1, czyli 2. Sprawdźmy, czy taka reguła zadziała dla drugiej liczby. Też, bo 2 razy druga pozycja to 4. Ale czy ta metoda sprawdzi się dla trzeciej pozycji? 2 razy trzecia pozycja to 6. W tym ciągu jednakże na trzeciej pozycji stoi 8. Ten wzór nie działa. Szukamy innego. Wracamy do pierwszej pozycji. Jakim innym działaniem wykorzystującym dwójkę i jedynkę da się otrzymać 2? 2 do potęgi pierwszej bo po podniesieniu dwójki do potęgi która jest taka sama jak numer pozycji otrzymamy 2. A co dalej? Teraz numerem pozycji będzie 2. 2 do potęgi drugiej to 4. Wciąż się zgadza. A dalej? Kolejna pozycja to 3. 2 do potęgi trzeciej to 8. Hura! Działa! Upewnijmy się, że działa to też dla kolejnych pozycji. 2 do potęgi czwartej to 16 a 2 do potęgi piątej to 32. Mamy zatem wzór jest nim 2 do potęgi n–tej. A czy ten ciąg da się przedstawić za pomocą grafu, tabelki i wykresu? Tak, bo każdy ciąg da się przedstawić w taki sposób. Pamiętaj tylko, że nie każdy ciąg da się opisać wzorem. Pokazaliśmy jednak, że ten się da. Ciągi liczbowe możemy opisywać na różne sposoby: wypisywać wyrazy opisywać wzorem, tabelką czy też grafem. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych lekcji o ciągach oraz do zasubskrybowania naszego kanału na Youtubie!