W jednej z warszawskich szkół znajduje się namalowany przeze mnie i kolegę mural przedstawiający twarz jednego z największych matematyków wszech czasów Leonarda Fibonacciego. Jego nazwisko jest zazwyczaj kojarzone z ciągiem Fibonacciego. W tej lekcji dowiesz się czym w matematyce są ciągi. Wiesz już, że kolejne dodatnie wielokrotności dwójki, tworzą ciąg. Wypiszmy kilka początkowych wyrazów tego ciągu. 2, 4, 6, 8, 10 i tak dalej. Oczywiście jest to ciąg nieskończony więc nie jesteśmy w stanie wypisać wszystkich jego wyrazów ale możemy napisać regułę według której wyznaczamy kolejne wyrazy. N–ty wyraz tego ciągu wyznaczamy mnożąc liczbę 2 przez numer pozycji an równa się 2n. Popatrz i zastanów się co oznacza zapis „an”. an to n–ty wyraz ciągu, czyli liczba która stoi na n–tym miejscu. To znaczy, że a z indeksem 1, czyli a1 to wyraz, który stoi na pierwszym miejscu. a z indeksem 2, czyli a2, to wyraz który stoi na miejscu drugim. Natomiast a z indeksem 5 to a5 i stoi na miejscu piątym. I tak dalej. Popatrz i zastanów się do czego wykorzystujemy wzór ciągu. Podstawmy do wzoru w miejsce n jedynkę. Co otrzymamy? a1 równa się 2 razy 1, czyli 2. To znaczy, że pierwszy wyraz ciągu wynosi 2 i zgadza się dokładnie z tym co wypisaliśmy na początku filmu. Podobnie jeśli chcemy wyliczyć wyraz drugi, czyli a2. Przypominamy sobie, że to oznacza że n równa się 2 i podstawiając do wzoru mamy a2 równa się 2 razy 2, czyli 4. Analogicznie trzeci wyraz oznacza że n równa się 3, czyli a3 równa się 2 razy 3, a to równa się 6. A jaki jest czwarty wyraz? W miejsce n wstawiamy liczbę 4. a4 równa się 2 razy 4, czyli 8. Mam teraz zadanie dla Ciebie. Spróbuj samodzielnie obliczyć piąty dziesiąty i setny wyraz tego ciągu a następnie porównaj swoje wyniki z moimi. Najpierw obliczę piąty wyraz tego ciągu w tym przypadku n równa się 5. a5 to nic innego, jak 2 razy 5, czyli 10. Aby obliczyć dziesiąty wyraz tego ciągu w miejsce litery „n” należy wstawić liczbę 10. a10, czyli dziesiąty wyraz równa się 2 razy 10, czyli 20. Chcąc obliczyć setny wyraz tego ciągu w miejsce litery „n” wstawię liczbę 100 otrzymując a100 równa się 2 razy 100 czyli 200. Popatrzmy jeszcze raz na nasz wzór: an równa się 2 razy n. Od czego zależy wartość wyrazu ciągu? Od jego położenia, czyli miejsca na którym się znajduje. Jest ono oznaczone literą „n”. Formuła, która pozwala obliczyć wyraz ciągu, gdy znamy jego miejsce, nazywa się wzorem ogólnym ciągu. Wzorem ogólnym ciągu utworzonego z dodatnich wielokrotności dwójki jest formuła: an równa się 2 razy n. Sprawdźmy, czy liczba 16 jest wyrazem tego ciągu. Możemy od razu powiedzieć, że tak bo to jest liczba dodatnia parzysta. Możemy ją zatem wstawić w miejsce an do wzoru i dzięki temu znaleźć jej pozycję. Obliczamy n. Aby to zrobić, wystarczy to równanie obustronnie podzielić przez 2. n równa się 8. Jaki z tego wniosek? n oznacza numer miejsca w ciągu więc liczba 16 jest ósmym wyrazem tego ciągu, co zapisujemy a8 równa się 16 lub słownie: liczba 16 jest ósmym wyrazem tego ciągu. A czy liczba 17 jest wyrazem tego ciągu? To nie jest liczba parzysta więc nie jest. Zobaczmy, co by się stało, gdybyśmy zrobili tak, jak w przypadku liczby 16 czyli w miejsce an wstawili liczbę 17. Po podzieleniu obustronnie tego równania przez 2 wyszłoby nam, że n równa się 8,5. Co oznacza n? Miejsce, na którym stoi liczba w ciągu. Czy liczba może stać na miejscu o numerze 8,5? No nie! Liczba 17 nie jest zatem wyrazem tego ciągu. Teraz mam zadanie dla Ciebie. Którym wyrazem tego ciągu jest liczba 236? Zatrzymaj film i policz samodzielnie. Aby znaleźć odpowiedź na zadane pytanie należy w miejsce an w tym wzorze wstawić liczbę 236. 236 równa się 2 razy n. To równanie dzielimy obustronnie przez 2. Otrzymujemy, że n równa się 118. Oznacza to, że liczba 236 jest sto osiemnastym wyrazem tego ciągu. Możemy to zapisać krócej: a 118 równa się 236. Przejdźmy teraz do kolejnego przykładu. Mamy ciąg an opisany wzorem. an równa się n do potęgi czwartej odjąć n do potęgi drugiej. Mamy obliczyć drugi wyraz tego ciągu. Jak to zrobić? Drugi wyraz to a2. Aby obliczyć a2, w miejsce litery n w tym wzorze wstawiamy liczbę 2. a2 równa się zatem 2 do potęgi czwartej odjąć 2 do potęgi drugiej. To równa się 12. Spróbuj teraz samodzielnie obliczyć pierwszy i czwarty wyraz tego ciągu. Pierwszy wyraz tego ciągu to a1. Aby obliczyć a1 w tym wzorze w miejsce litery n wstawiamy liczbę 1. Otrzymujemy 1 do potęgi czwartej odjąć 1 do potęgi drugiej. To równa się 1 odjąć 1, a to wynosi 0. Pierwszy wyraz tego ciągu to 0. A jaki jest czwarty wyraz tego ciągu? Aby obliczyć czwarty wyraz tego ciągu w miejsce litery n wstawiamy 4. a4 równa się zatem 4 do potęgi czwartej odjąć 4 do potęgi drugiej a to równa się 256 odjąć 16 a ta różnica wynosi 240. Przejdźmy teraz do kolejnego zadania. Teraz mamy do czynienia z ciągiem bn który jest opisany wzorem –1 do potęgi n–tej razy n. Tym razem spróbuj samodzielnie obliczyć piąty i dziesiąty wyraz tego ciągu. Piąty wyraz tego ciągu to b5. Aby obliczyć b5 w tym wzorze w miejsce litery n wstawiamy liczbę 5. Otrzymujemy –1 do potęgi piątej razy 5. –1 do potęgi piątej to –1 a to pomnożone przez 5 daje nam –5. To jest piąty wyraz tego ciągu. Teraz obliczę dziesiąty wyraz tego ciągu czyli b10. b10 to –1 do potęgi dziesiątej razy 10. –1 do potęgi 10 to 1, a 1 razy 10 to 10. Dziesiątym wyrazem tego ciągu jest liczba 10. Przejdźmy teraz do ostatniego zadania. Czy liczba 26 jest wyrazem ciągu cn równa się 2n plus 3? Jeśli tak, to którym? Spróbuj odpowiedzieć na te pytania samodzielnie. Jeżeli liczba 26 jest którymś wyrazem tego ciągu, to oznacza to, że da się ją obliczyć korzystając z tej formuły pamiętając o tym, że n oznacza liczbę naturalną dodatnią. Sprawdźmy, czy taka liczba istnieje rozwiązując odpowiednie równanie. Tym równaniem jest 26 równa się 2n plus 3. Najpierw od obu stron tego równania odejmujemy liczbę 3. Otrzymujemy 23 równa się 2n. Teraz dzielimy to równanie obustronnie przez 2, otrzymując n równa się 11,5. Zastanów się teraz, czy coś może stać na miejscu o numerze 11,5? No nie! Dlatego liczba 26 nie jest wyrazem tego ciągu. Nie musimy odpowiadać na pytanie „jeśli tak to którym?” bo liczba 26 nie jest wyrazem tego ciągu. Wzór ogólny ciągu to wzór na n–ty wyraz tego ciągu. Na przykład, wzór ogólny ciągu an to 2n minus 1. Wzór ten pozwala na obliczenie wyrazu ciągu o dowolnym numerze. Na przykład, jeśli chcemy obliczyć wyraz stojący na piątym miejscu to w miejsce litery n we wzorze ogólnym wstawiamy liczbę 5. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych lekcji z wprowadzenia do ciągów oraz do polubienia naszej strony na Facebooku.