Leonardo Fibonacci dużo podróżował. Najpierw z ojcem, później samodzielnie. Odwiedził między innymi Egipt Syrię, Grecję i Sycylię. Czy jego podróże można by ułożyć w jakiś logiczny ciąg? I co trzeba zrobić, by jakiś zbiór zdarzeń określić mianem ciągu? Dowiesz się tego w tej lekcji! Wiesz już, że kolejne wielokrotności liczby 2, tworzą ciąg. Wypiszmy kilka początkowych wyrazów tego ciągu i przypomnijmy stosowane wcześniej oznaczenia. Pierwszym wyrazem tego ciągu jest liczba 2. Drugim liczba 4, trzecim 6, czwartym 8 piątym 10, szóstym 12 i tak dalej. Pamiętasz zapewne, że wzór ogólny tego ciągu to: an równa się 2n. Widzisz, że czwarty wyraz tego ciągu to liczba 8, a piąty to liczba 10. Zastanówmy się, czy możemy obliczyć piąty wyraz ciągu wykorzystując wyraz czwarty. Wiemy, że wzór ogólny ciągu to: an równa się 2n. Wiemy też, że jeśli w miejsce n wstawię 4 to obliczę a4, czyli czwarty wyraz ciągu. Jeśli w miejsce n wstawię 5 to obliczę piąty wyraz ciągu. Wiemy także, że 4 dodać 1 równa się 5. Co się stanie, jeżeli w miejsce n wstawię 4 dodać 1? Czy wynik będzie taki sam jak dla a5? Policzmy wyraz a4, a5 i a4 dodać 1. Gdy n równa się 4 to a4 równa się 2 razy 4, czyli 8. Gdy n równa się 5, to a5 równa się 2 razy 5, czyli 10. Gdy n równa się 4 dodać 1 to a4 dodać 1 równa się 2 razy, w nawiasie 4 dodać 1 czyli 2 razy 5, a to równa się 10. Jak widać, wyrazy a4 dodać 1 oraz a5 są takie same. Zapewne zastanawiasz się po co obliczać wyraz następny z wyrazu poprzedniego, skoro mamy wzór ogólny. Umiejętność ta jest bardzo ważna w matematyce, ponieważ pozwala nam określić jakie są zależności między kolejnymi wyrazami ciągu. Na przykład, czy każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego mniejszy, a może jest taki sam. Popatrzmy jeszcze raz na nasz ciąg. Wiesz, że kolejne wyrazy różnią się o 2. Jak to udowodnić? W matematyce nie możemy powiedzieć „bo to widać”. Z naszego ciągu możemy odczytać że a1 równa się 2. a1 plus 1, czyli a2, równa się 4. Różnica między tymi wyrazami wynosi a2 odjąć a1 czyli 4 odjąć 2, a to równa się 2. Oczywiście zgadza się to z naszym spostrzeżeniem. Sprawdziliśmy to jednak tylko dla jednej pary wyrazów. Nie możemy na tej podstawie uogólnić zależności na wszystkie wyrazy tego ciągu. Musielibyśmy w tym celu policzyć różnicę dla wszystkich możliwych par a tych jest przecież nieskończenie wiele. Jak więc inaczej to zrobić? Posłużymy się do tego wzorami. an oznacza liczbę stojącą na n–tej pozycji w ciągu. Wzorem możemy też opisać dowolne wyrazy występujące po niej. Skoro an to wyraz na n–tym miejscu kolejne miejsce ma numer o 1 większy czyli n plus 1. Wzór na an już znamy, to 2 razy n. Aby znaleźć wzór na n plus pierwszy wyraz ciągu, wystarczy w miejsce litery n wstawić w nawiasie n plus 1. Otrzymamy 2 razy, w nawiasie n plus 1 a to możemy uprościć, otrzymując 2 razy n dodać 2. Obliczamy różnicę dwóch kolejnych wyrazów korzystając z poznanych wzorów na n–ty wyraz i na n plus pierwszy wyraz. an plus 1 odjąć an równa się 2 razy n dodać 2 odjąć 2n, czyli 2. Na tej podstawie możemy stwierdzić że różnica każdych kolejnych dwóch wyrazów tego ciągu wynosi 2. Umiejętność wyznaczania następnego wyrazu ciągu, a także wyznaczania wyrazów na miejscach odległych o 3, 5 albo inną liczbę miejsc przydaje się też do określania innych ciągów, albo nawet kolejnych wyrazów tego samego ciągu. Wiele takich przykładów poznasz z filmu o ciągu rekurencyjnym. Teraz rozpatrzmy takie zadanie w którym wykorzystamy znany ciąg dodatnich wielokrotności liczby 2. Nazwijmy go an. Wzór tego ciągu to an równa się 2n. Ciąg cn powstaje przez dodanie pewnych wyrazów ciągu an według poniższej reguły: cn równa się an plus 1 dodać an plus 2. Naszym zadaniem jest wyznaczenie wzoru ogólnego tego ciągu. Skoro znamy wzór na an to możemy wyznaczyć wzór na n plus pierwszy wyraz ciągu wstawiając w miejsce litery n do wzoru na an wyrażenie n plus 1 w nawiasie. an plus 1 równa się zatem 2 razy, w nawiasie n plus 1 czyli 2n plus 2. Aby wyznaczyć n plus drugi wyraz ciągu wystarczy literę n zastąpić wyrażeniem n plus 2 w nawiasie. Otrzymujemy: an plus 2 równa się 2 razy, w nawiasie n plus 2 czyli 2n plus 4. Podstawiając wyniki do wzoru na wyraz cn otrzymujemy: cn równa się an plus 1 dodać an plus 2, czyli 2n plus 2 dodać 2n plus 4. Po uproszczeniu otrzymujemy 4n plus 6. Jak sprawdzić, czy to poprawny wzór? Weźmy n równe 2. Drugi wyraz ciągu cn to c2 równa się a2 plus 1 dodać a2 plus 2 czyli a3 dodać a4. Wiemy, że a3 równa się 6 a a4 równa się 8. c2 równa się zatem 6 dodać 8, czyli 14. Wiemy też, że wzór na cn to 4n dodać 6. Z tego wzoru również możemy obliczyć c2 które wynosi 4 razy 2 dodać 6, czyli 14. Widzisz, że obliczając c2 każdą z tych metod, otrzymamy identyczny wynik. Wszystko się zgadza. Przejdźmy dalej. Polecenie brzmi następująco: wykaż, że suma dwóch kolejnych wyrazów ciągu bn, który jest opisany wzorem 2n do kwadratu dodać 2n jest kwadratem liczby naturalnej. Dwa kolejne wyrazy ciągu to wyrazy stojące na miejscach: n oraz n plus 1. Wzór na bn już mamy. Spróbuj samodzielnie znaleźć wzór na n plus pierwszy wyraz ciągu. Aby znaleźć wzór na n plus pierwszy wyraz ciągu, wystarczy we wzorze na bn w miejsce litery n wstawić w nawiasie wyrażenie n plus 1. Otrzymujemy: bn plus 1 równa się 2 razy, w nawiasie n plus jeden i ten nawias podnosimy do kwadratu dodać 2 razy, w nawiasie n plus 1. Z treści zadania wiemy, że mamy zbadać sumę dwóch kolejnych wyrazów. Dodajemy zatem do siebie bn oraz bn plus 1. Otrzymujemy: 2n do kwadratu dodać 2n dodać 2 razy, w nawiasie n plus 1 i ten nawias podnosimy do kwadratu dodać 2 razy, w nawiasie n plus 1. Uprośćmy to wyrażenie stosując wzór skróconego mnożenia. Otrzymujemy: 2n do kwadratu dodać 2n dodać 2 razy, w nawiasie n do kwadratu dodać 2n dodać 1, zamykamy nawias dodać 2 razy, w nawiasie n plus 1. Dalej upraszczamy to wyrażenie. Otrzymujemy 2n do kwadratu dodać 2n dodać 2n do kwadratu dodać 4n dodać 2 dodać 2n dodać 2. To równa się 4n do kwadratu dodać 8n dodać 4. Wyciągnijmy czwórkę przed nawias. Dostaniemy 4 razy, w nawiasie n do kwadratu dodać 2n dodać 1 a to możemy zapisać jako 4 razy, w nawiasie n plus 1 zamykamy nawias, do kwadratu. Gdybyśmy zapisali czwórkę w postaci potęgi liczby 2 to moglibyśmy skorzystać z własności działań na potęgach. 4 to 2 do potęgi drugiej. Mamy zatem 2 do kwadratu razy n plus 1 w nawiasie, do kwadratu. Iloczyn dwóch kwadratów to kwadrat iloczynu, czyli mamy nawias kwadratowy a w nim 2 razy w nawiasie okrągłym n plus 1 i ten nawias kwadratowy podnosimy do kwadratu. Teraz wystarczy pokazać, że podstawa tej potęgi jest liczbą naturalną. n plus 1 oznacza kolejną pozycję w ciągu a jak wiesz, pozycje w ciągu są liczbami naturalnymi. Iloczyn liczby naturalnej i dwójki też jest liczbą naturalną. Dokładnie to mieliśmy udowodnić. Wykonaliśmy nasze zadanie. Gratulacje! 2 kolejne wyrazy ciągu to na przykład wyraz an i wyraz an plus 1. Wyraz an plus 1 otrzymujemy wstawiając do wzoru ogólnego n plus 1 w miejsce n. Nie zapominaj o nawiasie! Jeśli chcesz zgłębić tajniki ciągów liczbowych, to obejrzyj pozostałe lekcje z tej playlisty. Wszystkie działy znajdziesz na naszej stronie internetowej pistacja.tv