Co to jest ciąg arytmetyczny?

Wiele osób odkłada pieniądze na realizację swoich marzeń: egzotyczne wakacje, motor, albo nowy tablet. Uwierz mi, że i do tego przydaje się matematyka. Dzięki tej lekcji dowiesz się, jak wykorzystywać wzory matematyczne do obliczania, ile pieniędzy uda ci się zgromadzić w określonym czasie, w zależności od warunków oszczędzania. Wyobraź sobie, że pierwszego stycznia masz na koncie 145 zł. Postanawiasz od lutego wpłacać na konto każdego miesiąca po 100 zł. Zakładając, że nic z niego nie wypłacisz, ile pieniędzy będziesz mieć na koncie po siedmiu miesiącach? A ile po 23 latach? O ile dla siedmiu miesięcy da się wykonać obliczenia w pamięci, o tyle dla 23 lat nie będzie to już takie proste. Do symulacji oszczędzania przez 7 miesięcy wykorzystamy tabelę. W pierwszym wierszu znajdą się numery kolejnych miesięcy począwszy od stycznia, a w drugim wierszu kwoty na koncie. W styczniu na koncie mamy kwotę początkową, z którą rozpoczęliśmy oszczędzanie, czyli 145 zł. W drugim miesiącu na konto wpłacamy 100 zł. Mamy już 245 zł. Spróbuj samodzielnie wypełnić resztę tabeli. W trzecim miesiącu na koncie będzie 345 zł, w czwartym 445 zł, w piątym 545 zł, w szóstym 645 zł, a w siódmym 745 zł. Po siedmiu miesiącach na koncie będzie 745 zł. Widzisz jakąś prawidłowość? W każdym kolejnym miesiącu kwota na koncie powiększa się o stałą wartość, w tym przypadku wynoszącą 100 zł. Taki ciąg nazywamy ciągiem arytmetycznym. Ciąg arytmetyczny to taki ciąg liczb, w którym każda kolejna liczba różni się od poprzedniej o stałą wartość, dodatnią, ujemną lub zero. Ta wartość nazywa się różnicą ciągu arytmetycznego. Różnicą tego ciągu jest kwota 100 zł. Zastanówmy się teraz, ile pieniędzy znajdzie się na twoim koncie po 23 latach. Liczenie tego na piechotę nie ma sensu. Pokażę ci, jak w sprytny sposób znaleźć odpowiedź na to pytanie. Przeanalizujmy proces oszczędzania, który widzisz w tabeli. Pierwszego miesiąca mieliśmy na koncie 145 zł. Kwotę pieniędzy w pierwszym miesiącu oznaczmy literą m z indeksem dolnym 1. Kwotę na koncie w drugim miesiącu obliczyliśmy, dodając do kwoty z miesiąca poprzedniego 100 zł. Kwotę z miesiąca trzeciego obliczyliśmy dodając do kwoty z miesiąca poprzedniego 100 zł. Tak samo postępowaliśmy w czwartym, piątym, szóstym i siódmym miesiącu. Do tej pory kolejną wartość w ciągu obliczaliśmy dodając do wyrazu poprzedniego ustaloną kwotę 100 zł. Mamy tutaj do czynienia z niczym innym jak z rekurencją. Zapiszmy jej wzór. Początkowa wartość, czyli m1, wynosiła 145 zł. Kwota na koncie w dowolnym miesiącu, czyli mn, powstaje przez dodanie do kwoty z miesiąca poprzedniego 100 zł. To jest wzór rekurencyjny naszego ciągu arytmetycznego. Czy ten wzór przyda się jednak do wygodnego obliczenia kwoty na koncie po 23 latach? No nie za bardzo. Spróbujmy znaleźć inny sposób. Wróćmy raz jeszcze do tabeli. Starajmy się myśleć o tym ciągu inaczej. Teraz skupimy się na kwocie początkowej, która wynosi 145 zł. Zapamiętaj ją, bo od tego momentu będziemy cały czas z niej korzystać. W drugim miesiącu mamy kwotę z pierwszego dodać 1 razy 100 zł. m2 równa się 145 zł dodać 1 razy 100 zł, czyli 245 zł. W trzecim mamy kwotę początkową dodać 2 razy 100 zł. m3, czyli kwota w trzecim miesiącu to 145 zł dodać 2 razy 100 zł. W czwartym miesiącu ile razy do kwoty początkowej dodajemy 100 zł? Jeden, dwa, trzy razy. m4 równa się zatem 145 zł dodać 3 razy 100 zł. W siódmym miesiącu do 145 zł dodajemy 6 razy 100 zł. m7, czyli siódmy wyraz to 145 zł dodać 6 razy 100 zł. Widzisz jakąś zależność? Weźmy na przykład czwarty miesiąc. Obliczając kwotę w tym miesiącu do 145 zł dodaliśmy 100 zł razy 3, czyli liczbę o 1 mniejszą niż numer tego miesiąca. Weźmy teraz siódmy miesiąc. Obliczając kwotę w tym miesiącu do 145 zł dodaliśmy 100 zł razy 6, czyli liczbę o 1 mniejszą niż numer tego miesiąca. Jak widzisz, żeby znaleźć kwotę na koncie w danym miesiącu, do kwoty 145 zł dodajemy 100 zł, czyli różnicę naszego ciągu, o 1 raz mniej niż numer danego miesiąca oszczędzania. To, co powiedziałem, możemy zapisać za pomocą wzoru. Obliczając kwotę w dowolnym miesiącu – co zapisujemy jako m z indeksem dolnym n – do kwoty w pierwszym miesiącu, czyli do 145 zł dodajemy 100 zł, czyli różnicę naszego ciągu, o 1 raz mniej niż numer danego miesiąca oszczędzania, czyli 100 zł razy, w nawiasie, n minus 1. Pamiętaj, że w tym przypadku n oznacza liczbę miesięcy oszczędzania. To ile pieniędzy będziemy mieć po 23 latach? Najpierw musimy 23 lata zamienić na miesiące. 23 razy 12 to 276. Po 276 miesiącach na koncie będzie 145 zł dodać 100 razy… o 1 miesiąc mniej niż 276, czyli 275. Otrzymujemy 27 645 zł. Wzór ciągu, dzięki któremu możemy obliczyć dowolny wyraz w zależności od numeru miejsca w ciągu, nazywamy wzorem ogólnym. To jest to wzór ogólny naszego ciągu arytmetycznego. Akurat w tym ciągu wartość początkowa wynosi 145 zł, a różnica 100 zł. W innym ciągu arytmetycznym obie wartości mogą być inne. Wartość początkową w ciągu mn oznacza się symbolem m1. Różnicę ciągu arytmetycznego zapisuje się za pomocą litery r od słowa „różnica”. Wzór ogólny dowolnego ciągu arytmetycznego mn równa się zatem wartości początkowej m1 dodać w nawiasie n minus 1 razy różnica, czyli r. m1 to pierwszy wyraz, a r to różnica ciągu. Zapamiętaj ten wzór. Będziemy z niego często korzystać. Poćwiczymy sobie teraz rozpoznawanie ciągów arytmetycznych. Oto pierwszy ciąg. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 i tak dalej. Czy ten ciąg jest arytmetyczny? Aby odpowiedzieć na to pytanie, patrzymy na wyraz pierwszy, który wynosi 1. Drugi wyraz to też 1. Ile należy dodać do pierwszego wyrazu, aby otrzymać drugi? Zero. W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie do poprzedniego takiej samej liczby. Trzeci wyraz wynosi jednak 2. Do drugiego wyrazu należy zatem dodać 1, aby otrzymać wyraz trzeci. Widzimy już, że to nie jest ciąg arytmetyczny. Spójrz teraz na taki ciąg. 2, 4, 8, 16, 32 i tak dalej. Czy to jest ciąg arytmetyczny? Aby otrzymać drugi wyraz, należy do pierwszego dodać 2. Jeżeli do drugiego wyrazu dodalibyśmy 2 otrzymalibyśmy 6, a tutaj mamy 8. To nie jest ciąg arytmetyczny. Zbadajmy kolejny ciąg 1, 2, 3, 4, 5, 6 i tak dalej. Aby otrzymać drugi wyraz, należy do pierwszego dodać 1. Dodając 1 do drugiego wyrazu otrzymujemy 3. Dodając 1 do trzeciego wyrazu otrzymujemy 4. Widzimy, że kolejny wyraz jest zawsze o 1 większy od poprzedniego. Aby stwierdzić, że ciąg jest arytmetyczny, nie wystarczy sprawdzić kilku początkowych wyrazów. Nie wiemy, jakie są kolejne wyrazy. Załóżmy więc, że reguła obliczania kolejnych wyrazów się nie zmieni. Przy tym założeniu możemy odpowiedzieć na nasze pytanie. To jest ciąg arytmetyczny. Ile wynosi jego różnica? Jeden. Ten ciąg możemy zatem opisać wzorem ogólnym. Czy pamiętasz, jak możemy zapisać każdy ciąg arytmetyczny wzorem ogólnym? Nazwijmy ten ciąg an. W ciągu arytmetycznym n-ty wyraz otrzymujemy dodając do wyrazu pierwszego, czyli w tym przypadku do jedynki, n minus 1 razy różnicę ciągu, czyli n minus 1 razy 1. To wyrażenie możemy sobie uprościć i otrzymamy 1 dodać n minus 1, czyli m. Ciąg an równa się n. Przejdźmy do kolejnej planszy. Spójrz teraz na taki ciąg. 6, 13, 20, 27, 34 i tak dalej. Czy to jest ciąg arytmetyczny? Spróbuj odpowiedzieć samodzielnie. Widzimy, że w tym ciągu drugi wyraz jest większy od pierwszego o 7. Trzeci wyraz jest większy od drugiego też o 7. Czwarty wyraz jest większy od trzeciego też o 7. Piąty wyraz jest większy od poprzedniego też o 7. Aby stwierdzić, że ciąg jest arytmetyczny, nie wystarczy sprawdzić kilku początkowych wyrazów. Nie wiemy, jakie są kolejne wyrazy. Załóżmy więc, że reguła obliczania kolejnych wyrazów się nie zmieni. Przy tym założeniu możemy odpowiedzieć na nasze pytanie. Każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego o stałą wartość, która wynosi 7. To jest ciąg arytmetyczny. Spróbuj samodzielnie zapisać wzór ogólny tego ciągu. Do zapisania wzoru ogólnego potrzebujemy dwóch wartości: pierwszego wyrazu oraz różnicy. W tym przypadku pierwszy wyraz to 6, a różnica to 7. Nazwijmy ten ciąg bn. bn równa się 6 dodać w nawiasie n minus 1 razy 7. Co powiesz na taki ciąg? 12, 6, 0, minus 6, minus 12 i tak dalej. Czy to jest ciąg arytmetyczny? W tym ciągu drugi wyraz jest o 6 mniejszy od pierwszego, trzeci jest o 6 mniejszy od drugiego, czwarty jest o 6 mniejszy od trzeciego, a piąty o 6 mniejszy od czwartego. Każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o tę samą wartość, która w tym przypadku wynosi minus 6. To jest ciąg arytmetyczny. Spróbuj samodzielnie zapisać wzór ogólny tego ciągu. Nazwijmy ten ciąg cn. Do pierwszego wyrazu, czyli do liczby 12, dodajemy w nawiasie n minus 1 razy różnicę, czyli minus 6. Gotowe. Oczywiście wzory ogólne zapisane w ten sposób możemy sobie upraszczać. Mnożymy każdy element tego nawiasu przez minus 6. Otrzymujemy 12 odjąć 6n dodać 6, co daje nam 18 odjąć 6n. cn równa się 18 odjąć 6n. Zbadajmy teraz ostatni ciąg. 5, 5, 5, 5, 5 i 5. To jest ciąg stały. Jak myślisz, czy to jest ciąg arytmetyczny? Oczywiście, że tak! Jest to ciąg arytmetyczny, którego pierwszym wyrazem jest liczba 5, a różnica wynosi 0. Jaki jest wzór ogólny tego ciągu? Nazwijmy go dn. Do pierwszego wyrazu, czyli 5 dodajemy n minus 1 w nawiasie razy różnicę, czyli 0. dn równa się zatem 5. To jest wzór ogólny tego ciągu stałego. Ciąg liczbowy an nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeśli istnieje taka liczba r, że każdy wyraz tego ciągu oprócz pierwszego powstaje przez dodanie tej liczby do wyrazu poprzedniego. an plus 1 równa się an dodać r dla n należących do liczb naturalnych dodatnich. Liczbę r nazywamy różnicą ciągu. Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji o ciągach oraz do zasubskrybowania naszego kanału.