Wzór ogólny ciągu arytmetycznego - zadania część 1

Stare powiedzenie brzmi: grosz do grosza, a będzie kokosza. Jak myślisz, ile dni trzeba, by odkładając grosz do grosza kupić kokoszę za 100 groszy? Na takie pytanie odpowiada ciąg arytmetyczny. Wiesz już, że ciąg arytmetyczny to taki, w którym pierwszy wyraz jest dowolną liczbą, a każdy następny powstaje poprzez dodanie do poprzedniego z góry ustalonej i niezmiennej liczby, tak zwanej różnicy. W tym przypadku pierwszym wyrazem jest liczba minus 5, a każdy następny wyraz powstaje przez dodanie do poprzedniego liczby 2. Wiesz także, że liczbę, którą dodajemy – by powstały następne wyrazy – nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy literą r. Różnicą tego ciągu jest liczba 2. Co jeszcze należy wiedzieć o ciągu arytmetycznym? Znać jego wzór ogólny. Czy potrafisz go podać? Wzór ogólny ciągu arytmetycznego to an równa się a1 dodać w nawiasie n minus 1, zamykamy nawias, razy r. Spróbuj samodzielnie zapisać wzór ogólny ciągu, którego pierwszym wyrazem jest liczba minus 5, a różnicą liczba 2. Wzorem ogólnym tego ciągu jest formuła: minus 5 dodać n minus 1 w nawiasie razy 2. To wyrażenie można uprościć, otrzymując minus 5 dodać 2n minus 2, czyli minus 7 dodać 2n. Przejdźmy do kolejnego zadania. Pierwszym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego jest liczba minus 15. Różnica ciągu to 6. Wypisz pięć kolejnych wyrazów tego ciągu. Zauważ, że na pierwszym miejscu stoi liczba minus 15. Obliczmy wyraz drugi. W jaki sposób? Najprościej, jak się da. Skoro to jest ciąg arytmetyczny to znaczy, że drugi wyraz powstaje poprzez dodanie do pierwszego liczby, która jest różnicą ciągu. U nas pierwszy wyraz to minus 15, a różnica 6, więc minus 15 dodać 6 daje minus 9 i to jest drugi wyraz. Teraz obliczmy wyraz trzeci. Minus 9 dodać 6 to minus 3. Czy potrafisz podać kolejne wyrazy? Czwarty wyraz to 3, bo minus 3 dodać 6 daje 3, a piąty wyraz to 9, bo to 3 dodać 6. Moglibyśmy to zadanie rozwiązać także innym sposobem, korzystając ze wzoru ogólnego na ciąg arytmetyczny. Potrzebujemy do tego pierwszego wyrazu i różnicy. Pierwszy wyraz ciągu wynosi minus 15 i tę wartość wstawiamy w miejsce a1. Do tego dodajemy w nawiasie n minus 1 i ten nawias mnożymy przez różnicę, czyli przez 6. Otrzymaliśmy wzór ogólny tego ciągu arytmetycznego. Wzór ogólny ma tę zaletę, że dzięki niemu możemy obliczyć dowolny wyraz ciągu znając wyłącznie jego pozycję. Zobacz: aby obliczyć drugi wyraz w tym ciągu, w miejsce litery n w tym wzorze wstawiamy liczbę 2. Otrzymujemy: a2 równa się minus 15 dodać w nawiasie 2 minus 1, zamykamy nawias, razy 6. To równa się minus 9. Ta metoda dała takie same wyniki, jak poprzednia. Mamy już dwa wyrazy ciągu. Brakuje nam trzech. Spróbuj obliczyć a3, a4 i a5 korzystając ze wzoru ogólnego. a3 to minus 15 dodać, w nawiasie 3 minus 1, zamknąć nawias, razy 6 i to daje nam minus 3. a4 to minus 15 dodać, w nawiasie 4 minus 1, zamykamy nawias, razy 6, a to równa się 3. a5 to minus 15 dodać, w nawiasie 5 minus 1, zamykamy nawias, razy 6, a to równa się 9. Widzisz, że te wyniki są takie same, jak w poprzedniej metodzie. Pamiętaj jednak, że wzór ogólny ma tę zaletę, że dzięki niemu możemy obliczyć dowolny wyraz podając tylko jego pozycję. Mam teraz zadanie dla ciebie. Spróbuj samodzielnie obliczyć 111-ty wyraz tego ciągu. Aby obliczyć 111-ty wyraz ciągu, do wzoru ogólnego podstawiamy w miejsce litery n liczbę 111. Otrzymujemy a111 równa się minus 15 dodać, w nawiasie 111 odjąć 1, zamknąć nawias, razy 6. Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy 645. Gdybyśmy chcieli obliczyć 111-ty wyraz dodając do poprzednich wyrazów liczbę 6, to zajęłoby to nam mnóstwo czasu i miejsca. Korzystanie ze wzoru ogólnego jest dużo szybsze. Przejdźmy do kolejnego zadania. Wyznacz 60-ty wyraz ciągu arytmetycznego, w którym a1 równa się 4, a r równa się minus 1. W jaki sposób najszybciej rozwiązać to zadanie? Nie będziemy liczyć po kolei wszystkich wyrazów do 60. bo będzie ich za dużo. Wiemy, że dzięki wzorowi ogólnemu możemy obliczyć wartość dowolnego wyrazu znając jego pozycję. Obydwie wartości – a1 i r – są podane w treści zadania. Wstawiamy zatem w miejsce a1 liczbę 4, a w miejsce r liczbę minus 1. Otrzymujemy: an równa się 4 dodać, w nawiasie n minus 1, zamykamy nawias, razy minus 1. Skoro mamy policzyć 60. wyraz, to znaczy, że nasze n równa się 60. Wstawmy zatem we wzorze w miejsce litery n liczbę 60 i obliczmy. a60 równa się 4 odjąć, w nawiasie 60 minus 1. Współczynnik minus 1, przez który mnożymy nawias nie zmienia jego wartości, a jedynie jego znak. Dlatego przed nawiasem jest minus. a60 równa się zatem 4 odjąć 59, a to wynosi minus 55. Możemy już udzielić odpowiedzi. a60 równa się minus 55. Przejdźmy do kolejnego zadania. Pierwszym wyrazem ciągu bn jest liczba 20. Różnica ciągu wynosi minus 8. Zapisz wzór ogólny tego ciągu oraz oblicz b15, b31 i b1001. Rozwiąż to zadanie samodzielnie. Aby zapisać wzór ogólny ciągu arytmetycznego, potrzebujemy pierwszego wyrazu i różnicy, a te są podane w treści zadania. Wzór ogólny ciągu bn to b1, czyli 20, dodać n odjąć 1 w nawiasie, razy r, czyli minus 8. Aby obliczyć 15-ty wyraz ciągu, w miejsce litery n we wzorze ogólnym wstawiamy liczbę 15. Otrzymujemy: b15 równa się 20 dodać, w nawiasie 15 odjąć 1, zamykamy nawias, razy minus 8, a to po wykonaniu obliczeń daje nam minus 92. Podobnie b31 równa się 20 dodać, w nawiasie 31 odjąć 1, zamykamy nawias, razy minus 8 i to po wykonaniu obliczeń wynosi minus 220. b1001 równa się 20 dodać w nawiasie 1001 odjąć 1, zamykamy nawias, razy minus 8 i to po wykonaniu obliczeń daje nam minus 7980. Możemy zatem podać odpowiedź. b15 równa się minus 92, b31 równa się minus 220 i b1001 równa się minus 7980. Przejdźmy do ostatniego zadania. W ciągu arytmetycznym cn różnica wynosi 2, a wartość c20 to 17. Ile wynosi pierwszy wyraz tego ciągu? Możemy policzyć to na dwa sposoby. Znamy wyraz dwudziesty. Skoro różnica to 2, wyraz dwudziesty jest o 2 większy od dziewiętnastego. Inaczej mówiąc, wyraz 19-ty jest o 2 mniejszy od 20-go A osiemnasty? O 2 mniejszy od 19-go. Aby dojść do pierwszego wyrazu, musielibyśmy trochę się naodejmować. Dużo liczenia, prawda?! Chcąc zaoszczędzić czas, przeczytajmy jeszcze raz, co wiemy o tym ciągu. Jego dwudziesty wyraz ma wartość 17. 20 to numer wyrazu ciągu, czyli n równa się 20. Może więc do obliczeń da się wykorzystać jakoś wzór ogólny ciągu arytmetycznego? Zapiszmy go. cn równa się c1 dodać, w nawiasie n minus 1, zamykamy nawias, razy r. Teraz spróbujmy wstawić do niego znane dane z treści zadania. r to 2. 20-ty wyraz ciągu to 17. Zatem dla n równego 20 formuła przyjmie wartość 17. W miejsce cn wstawmy zatem 17, a w miejsce n liczbę 20. Co otrzymaliśmy? 17 równa się c1 dodać w nawiasie 20 odjąć 1, zamknąć nawias, razy 2. Mamy tutaj równanie z niewiadomą c1. Rozwiąż je samodzielnie. 20 odjąć 1 to 19, a 19 razy 2 to 38. Otrzymujemy 17 równa się c1 dodać 38. Odejmując od obu stron równania liczbę 38 otrzymujemy c1 równa się 17 odjąć 38, a to równa się minus 21. Możemy już zapisać odpowiedź. c1 równa się minus 21. Tyle wynosi pierwszy wyraz. Wykonaliśmy nasze zadanie. Gratulacje! Wzór ogólny ciągu arytmetycznego an o pierwszym wyrazie a1 i różnicy r ma postać: an równa się a1 dodać w nawiasie n odjąć 1, zamykamy nawias, razy r. Znając pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego i jego różnicę, z powyższego wzoru obliczymy dowolny wyraz ciągu. Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji z tej playlisty oraz do polubienia naszej strony na Facebooku.