Ludowa mądrość głosi, że według statystyk my i psy mamy po trzy nogi. W ciągach arytmetycznych istnieje podobna, ale zawsze sprawdzająca się zasada. Dowiesz się o niej w tej lekcji. Pewien ciąg arytmetyczny jest opisany wzorem an równa się 2n dodać 4. Wypisz samodzielnie pięć pierwszych wyrazów tego ciągu. Pierwszy wyraz to 6, drugi to 8, trzeci to 10, czwarty to 12, a piąty to 14. Wybierz teraz trzy dowolne kolejne wyrazy tego ciągu. Oblicz średnią arytmetyczną wartości pierwszego i ostatniego z tej trójki. Ja wybieram trzy pierwsze wyrazy. Na pierwszym miejscu jest 6, a na ostatnim 10. Średnia arytmetyczna to 6 dodać 10 podzielić przez 2, czyli 8. Zauważ, że wyraz między 6 a 10 to właśnie 8. Ciekawe, czy tak jest zawsze. Weźmy inne trzy wyrazy stojące obok siebie, na przykład 8, 10 i 12. Policzmy średnią arytmetyczną skrajnych wyrazów. 8 dodać 12, podzielić przez 2, to 10. Znowu nasz wynik jest taki sam, jak wartość środkowego wyrazu. Sprawdźmy jeszcze, czy będzie tak dla trzech ostatnich wyrazów, które wypisaliśmy. Średnia arytmetyczna skrajnych wartości to 10 dodać 14, podzielić przez 2, czyli 12. Znowu otrzymaliśmy wyraz środkowy. W pokazanych przypadkach średnia arytmetyczna skrajnych wyrazów jest równa wyrazowi środkowemu. Jak sprawdzić, czy taka własność zachodzi dla trzech dowolnych, kolejnych wyrazów występujących w tym ciągu? Pamiętaj, że mamy do dyspozycji wzór ogólny. n-ty wyraz tego ciągu obliczamy mnożąc 2 przez n i do tego dodając 4. Jaki numer będzie miał wyraz stojący przed n-tym wyrazem? n minus jeden. A jaki będzie wzór na a_n_minus_1? Spróbuj wyznaczyć go samodzielnie. Aby wyznaczyć wzór na a_n_minus_jeden, wystarczy do tego wzoru w miejsce n wstawić w nawiasie n minus 1. a_n_minus_jeden to 2 razy otwieramy nawias, w nawiasie n minus 1, zamykamy nawias, dodać 4. Po uproszczeniu otrzymamy 2 n dodać 2. A jaki numer będzie miał wyraz stojący po n-tym wyrazie? n plus jeden. Jaki będzie wzór na a_n_plus_1? a_n_plus_1 to 2 razy, otwieramy nawias, n plus 1, zamykamy nawias, dodać 4. Po uproszczeniu otrzymamy 2 n dodać 6. Trzy wyrazy stojące obok siebie to a_n_minus_1, a_n oraz a_n_plus_1. Z obliczonych wcześniej przykładów wiemy, że wartość wyrazu środkowego to średnia arytmetyczna wyrazów stojących po obu jego stronach. Oznacza to, że n-ty wyraz to a_n_minus_jeden dodać a_n_plus_jeden, podzielić przez dwa. Spróbuj obliczyć średnią arytmetyczną skrajnych wyrazów, korzystając z wyznaczonych przed chwilą wzorów. na a_n_minus_1 i a_n_plus_1. Dodajemy do siebie 2 n dodać 2 dodać 2 n, dodać 6 i tę sumę dzielimy przez 2. Upraszczamy licznik otrzymując 4 n dodać 8 i dzielimy go przez 2. Teraz każdy składnik sumy skracamy z dwójką. 4 n podzielić przez 2 to 2 n, a 8 podzielić przez 2 to 4. Otrzymujemy 2 n dodać 4. Zauważ, że to nic innego jak środkowy wyraz naszej trójki. Tym samym udowodniliśmy, że dla dowolnych kolejnych trzech wyrazów w ciągu a_n równa się 2 n dodać 4 średnia arytmetyczna skrajnych wyrazów jest taka sama jak wyraz środkowy. Matematycy odkryli, że taka własność zachodzi w każdym ciągu, który jest arytmetyczny. Za chwilę pokażę ci, jak to udowodnić. Niech ciąg a_n będzie ciągiem arytmetycznym. Znamy tylko nazwę ciągu i wiemy, że jest arytmetyczny. Weźmy trzy dowolne, kolejne wyrazy tego ciągu na przykład a_n_minus_1, a_n oraz a_n_plus_1. W ciągu arytmetycznym wartość wyrazu poprzedniego, czyli a_n_minus_1 otrzymujemy odejmując od wyrazu następnego, czyli a_n, różnicę, którą oznaczamy literą r. N_plus_pierwszy wyraz otrzymamy dodając różnicę do wyrazu a_n. a_n_minus_1 równa się zatem a_n minus r, a a_n_plus_1 równa się a_n dodać r. Obliczmy średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych, czyli a_n_minus_1 oraz a_n_plus_1, korzystając z tych wzorów. Zapisujemy: a_n minus r dodać a_n plus r, podzielić przez 2, czyli 2 a_n podzielić przez 2, a to wynosi a_n. Tym samym udowodniliśmy, że w każdym ciągu arytmetycznym średnia arytmetyczna wyrazów skrajnych dla dowolnej trójki wyrazów jest taka sama jak wyraz środkowy. Znajomość tej własności ciągu arytmetycznego jest często sprawdzana na egzaminach. Rozważmy teraz jedno z typowych zadań egzaminacyjnych. Liczby 4x plus 2, 12 oraz 32x plus 4 są kolejno pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x. W tym zadaniu należy skorzystać z poznanej własności. Wiemy, że średnia arytmetyczna wyrazów skrajnych jest taka sama, jak wyraz środkowy. Spróbuj zapisać to samodzielnie. Wyraz środkowy to 12. To równa się średniej arytmetycznej 4x plus 2 oraz 32x plus 4. Teraz samodzielnie rozwiąż to równanie. Najpierw upraszczamy licznik. Otrzymujemy 12 równa się 36x dodać 6, podzielić przez 2. Następnie obie strony mnożymy przez 2, żeby pozbyć się mianownika. 24 równa się 36x dodać 6. Teraz od obu stron równania odejmujemy 6 i otrzymujemy 18 równa się 36x. Następnie dzielimy obie strony równania przez 36. Otrzymujemy 18/36 równa się x. Skracamy ułamek i otrzymujemy, że x to 1/2. Możemy wykonać jeszcze sprawdzenie. Zamieńmy x na 1/2. Otrzymamy 4 razy 1/2 dodać 2, 12 oraz 32 razy 1/2 dodać 4. Wykonajmy obliczenia. Otrzymujemy 4, 12 i 20. Czy te trzy liczby tworzą w tej kolejności ciąg arytmetyczny? Różnica między pierwszym a drugim wyrazem to 8. Różnica między drugim a trzecim to też 8. Różnica między kolejnymi wyrazami tego ciągu wynosi 8. Mamy więc ciąg arytmetyczny. Wszystko się zgadza. Wykonaliśmy wszystkie zadania. Gratulacje! W ciągu arytmetycznym każdy wyraz oprócz pierwszego jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich. Można to opisać wzorem a_n równa się a_n_odjąć_1 dodać a_n_dodać_1 podzielić przez 2, dla enów większych bądź równych dwóm. Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o ciągu arytmetycznym, obejrzyj pozostałe lekcje z tej playlisty. Wszystkie działy znajdziesz na naszej stronie internetowej, pistacja.tv.