Wyprowadzenie wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego

Czy można w ciągu pięciu sekund obliczyć sumę wszystkich liczb naturalnych od 1 do 10? Jeśli znasz pewną sztuczkę, to ci się uda. Patrz: ta suma to tyle samo, co 11 razy 10 podzielić przez 2, czyli 55. Zastanawia cię pewnie skąd wiem, że to prawda. Pokażę ci w tej lekcji. Sumę wszystkich liczb naturalnych od 1 do 10 obliczyłem, korzystając z pewnej sztuczki. Pomnożyłem 11 przez 10 i wynik mnożenia podzieliłem przez 2. Wyszło nam 55. Pokażę ci teraz, na czym polega ta sztuczka. Na początek wypiszmy w kolumnie wszystkie liczby naturalne, które mamy do siebie dodać, czyli 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i 10. Obok wypiszmy jeszcze raz te same liczby, ale w odwrotnej kolejności – od 10 do jednego. Popatrz uważnie. Czy już wiesz, skąd wzięły się nasze obliczenia? Mamy 10 wierszy, a suma liczb w każdym wierszu wynosi 11. Ogółem uzyskaliśmy 11 razy 10, czyli 110 Pamiętam jednak o tym, że każdą liczbę wypisaliśmy dwukrotnie. Stąd 11 razy 10 dzielimy przez 2. Wyszło nam 55. Czy tą metodą da się obliczyć jakąś inną sumę, na przykład wszystkich wszystkich liczb parzystych dwucyfrowych? Przekonajmy się. Naszym zadaniem jest obliczenie sumy liczb parzystych dwucyfrowych. Zacznijmy wypisywanie. 10, 12, 14 i tak dalej aż do 94, 96 i 98. Obok wypisujemy te same liczby zaczynając od końca. Zastanówmy się, ile mamy wierszy. Jest ich 45, bo liczb dwucyfrowych jest 90 – od 10 do 99, a połowa z nich to liczby parzyste. Ile wynosi suma liczb w jednym wierszu? 108. Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie policzyć, ile wynosi suma liczb parzystych dwucyfrowych. Mamy 45 wierszy, więc mnożymy 108 przez 45 i całość dzielimy przez 2. Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy 2430. Ta sztuczka jest fajna, ale da się ją zastosować tylko, gdy dodajemy do siebie liczby tworzące ciąg arytmetyczny. Nie wierzysz? To patrz: liczby 1, 8 i 5 nie tworzą ciągu arytmetycznego. Postępując zgodnie z poznanym przepisem, zapisalibyśmy w kolumnie obok liczby od tyłu, czyli 5, 8 i 1. Czy suma liczb w każdym wierszu jest taka sama? Suma liczb z pierwszego i ostatniego wiersza to sześć, a z drugiego to 16. Skoro suma jest inna, to sztuczka nie zadziała. Pokażę ci za to, że dzięki tej sztuczce można znaleźć przepis na obliczenie sumy dowolnej liczby początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Niech a1, a2 i tak dalej, aż do an będą kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy r. Każdy poza pierwszym wyrazem ciągu powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego takiej samej liczby, którą nazywamy różnicą i oznaczamy r. Wypiszmy w pierwszej kolumnie kilka początkowych wyrazów tego ciągu. Zacznijmy od a1. Kolejny wyraz to a2, który wynosi a1 dodać r. a3 to a2 dodać r. Skoro a2 to a1 dodać r, to a2 dodać r wynosi a1 dodać r dodać r, albo krócej: a1 dodać 2r. Każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie do pierwszego liczby różnic o jeden mniejszej od pozycji tego wyrazu w ciągu. Nie będziemy robić tego dla wszystkich wyrazów, więc napiszę w kolejnym wierszu trzy kropki, a pod spodem zapiszemy dwa ostatnie, interesujące nas wyrazy tego ciągu. an minus 1 równa się a1 dodać: w nawiasie n minus 2, zamykamy nawias, razy r, a an to a1 dodać, w nawiasie n minus 1, zamykamy nawias, razy r. Wypiszmy teraz te same wyrazy w drugiej kolumnie, ale od końca, czyli zaczynając od an. Wyraz an podobnie jak a1 pozostawimy bez zmian. Rozpatrujemy ciąg arytmetyczny. Z definicji wiemy, że każdy następny wyraz powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego różnicy. To znaczy, że aby obliczyć wyraz poprzedni, tę różnicę należy odjąć. Wykorzystajmy ten fakt dopisując do an minus 1, że to an odjąć r; do an minus 2, że to an odjąć 2r; a do an minus 3, to an odjąć 3r. Pomińmy wyrazy środkowe i rozpiszmy dwa pierwsze, czyli a2 i a1. Zastanówmy się, jak zapisać w ten sposób a1. Żeby obliczyć an należy do a1 dodać n minus 1 różnic. Przenosząc n minus 1 razy r na drugą stronę równania, mamy a1 równa się an odjąć, w nawiasie n minus 1, zamykamy nawias, razy r. Na tej samej zasadzie możemy zamiast a2 wpisać an odjąć, w nawiasie n minus 2, zamykamy nawias, razy r. Spróbujmy dodać do siebie oba wyrazy jednego wiersza. Czy widzisz, że wszędzie otrzymujemy a1 dodać an? A czy pamiętasz, co chcieliśmy zrobić? Udowodnić, że sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego można policzyć sprytnie. Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego to wyraz pierwszy dodać wyraz drugi dodać wyraz trzeci i tak dalej aż do wyrazów o numerach n minus 1 oraz n. Pamiętasz, jak to robiliśmy w poprzednich przykładach? Sumę liczb w wierszu mnożyliśmy przez liczbę wierszy i dzieliliśmy przez 2. To jak to będzie wyglądało teraz? Suma liczb w każdym wierszu to a1 dodać an. A ile mamy wierszy? n. Wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu możemy zapisać jako: w liczniku w nawiasie a1 dodać an, zamykamy nawias, razy n, podzielić przez 2. Jest to wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. To znaczy, że sumę liczb a1 dodać a2 dodać a3,... , dodać a(n minus 1), dodać an można policzyć według tego wzoru i nie trzeba tych wyrazów dodawać po kolei. Taką sumę oznaczamy Sn. S jak suma, a indeks n oznacza, ile początkowych wyrazów do siebie dodajemy. W kolejnej lekcji pokażę ci, jak wykorzystywać ten wzór rozwiązując zadania dotyczące sumy wyrazów ciągu arytmetycznego. Sumę n początkowych wyrazów ciągu oznaczamy Sn. W ciągu arytmetycznym sumę n początkowych wyrazów możemy też policzyć jako średnią arytmetyczną wyrazów pierwszego i ostatniego pomnożoną przez liczbę wyrazów. Ta playlista dotyczy ciągu arytmetycznego. Jeśli chcesz być na bieżąco z nowym materiałem, zasubskrybuj kanał.