Suma wyrazów ciągu arytmetycznego - zadania

Są tacy, którzy z upodobaniem robią sobie selfie. Jeśli zrobisz dziś 50 selfie i wrzucisz je do sieci, a każdego kolejnego dnia zwiększysz ich liczbę o 20, to jak myślisz, ile twoich selfie byłoby w sieci po tygodniu? Do rozwiązywania tego typu zadań przydaje się wiedza o ciągach arytmetycznych. Wiesz już, że wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego to Sn równa się w nawiasie a1 dodać an, zamykamy nawias, razy n, podzielić przez 2. W tej lekcji pokażę ci, jak wykorzystywać ten wzór w różnych zadaniach. Oto pierwsze: oblicz sumę 20 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o wzorze ogólnym 3n dodać 1. Popatrz na wzór i zastanów się, czego potrzebujemy do obliczenia tej sumy. Potrzebujemy wartości pierwszego i 20. wyrazu, czyli a1 i a20. Aby obliczyć wartość pierwszego wyrazu, wykorzystujemy wzór ogólny. Wstawiamy w miejsce n jeden. Otrzymujemy a1 równa się 3 razy 1 dodać 1, czyli 4. W ten sam sposób liczymy a20, wstawiając w miejsce n w tym wzorze liczbę 20. Mamy 3 razy 20 dodać 1, czyli 61. Mamy już wszystkie dane potrzebne do obliczenia sumy 20 początkowych wyrazów tego ciągu. W miejsce n wpisujemy 20, bo liczymy sumę 20 początkowych wyrazów ciągu. W miejsce a1 wpisujemy 4, a w miejsce a20: 61. Otrzymujemy: S20 równa się w nawiasie 4 dodać 61, zamykamy nawias, razy 20, podzielić przez 2. Suma liczb w nawiasie to 65. Skracamy 2 i 20, otrzymując 65 razy 10, a to jest 650. Możemy zapisać odpowiedź. Suma 20 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o wzorze ogólnym 3n dodać jeden wynosi 650. Przejdźmy do zadania drugiego. Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego równa się 3, a czwarty wyraz tego ciągu to 15. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu. Pokażę ci, jak poradzić sobie z tym zadaniem bez wykorzystywania wzoru. Mamy obliczyć sumę tylko sześciu początkowych wyrazów. Na dodatek znane nam wyrazy nie są dużymi liczbami. W tym przypadku możemy pokusić się o znalezienie wartości każdego z nich. Spróbujmy zilustrować dane z zadania rysunkiem. Mamy wyraz pierwszy, czyli 3, i wyraz czwarty, czyli 15. Pomiędzy nimi są jeszcze dwa wyrazy, a2 oraz a3. Do obliczenia pozostałych wyrazów ciągu arytmetycznego musimy znaleźć jego różnicę. Masz jakiś pomysł, jak to zrobić? Zauważ, że wyraz czwarty powstaje z wyrazu pierwszego poprzez trzykrotne dodanie r. Możemy więc zapisać zależność: 3 dodać 3r równa się 15. Stąd wynika, że r równa się 4. Skoro znasz już różnicę tego ciągu, oblicz samodzielnie wartości brakujących wyrazów z sześciu początkowych. a2 to 3 dodać 4, czyli 7. a3 to 7 dodać 4, czyli 11. a5 to 15 dodać 4, czyli 19. a a6 to 19 dodać 4, czyli 23. Oblicz teraz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu. Suma tych liczb to 78. To jest poprawna odpowiedź. Przejdźmy do kolejnego zadania. Dany jest ciąg 3, 8, 13, 18 i tak dalej. Oblicz sumę wyrazów od 50. do 70. włącznie. Pokażę ci metodę rozwiązania tego zadania na prostszym przykładzie. Weźmy sześć liczb: 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Jak obliczyć a5 dodać a6? Oczywiście możemy dodać do siebie 5 i 6 i otrzymamy 11. Teraz obliczę to sposobem, który wykorzystamy w naszym zadaniu. Zobacz, suma dwóch ostatnich wyrazów to suma wszystkich wyrazów odjąć suma pierwszych czterech. Suma wszystkich liczb to 21. Suma pierwszych czterech to 10. Odejmując od 21 dziesięć, otrzymamy 11. Skoro w tym zadaniu mamy obliczyć sumę od 50. do 70. wyrazu włącznie, to wystarczy od sumy 70 wyrazów odjąć sumę czterdziestu dziewięciu. Zacznijmy od obliczenia sumy 70 wyrazów. Wzór na S70 to: w nawiasie a1 dodać a70, zamykamy nawias, razy 70, podzielić przez 2. Znamy a1, to 3. Nie znamy wartości 70. wyrazu. Musimy ją obliczyć. Jak to zrobić? Umożliwi nam to wzór ogólny tego ciągu. Pierwszy wyraz to 3, a różnica to na przykład 8 odjąć 3, czyli 5. Jaki jest wzór ogólny tego ciągu? Wzór ogólny to: an równa się 3 dodać w nawiasie n minus 1, zamykamy nawias, razy 5. a70 równa się zatem 3 dodać w nawiasie 70 odjąć 1, zamykamy nawias, razy 5, a to jest 348. Teraz możemy obliczyć sumę pierwszych 70 wyrazów, prawda? W miejsce a1 w tym wzorze wstawiamy 3, w miejsce a70 wstawiamy 348 i otrzymujemy: w nawiasie 3 dodać 348, zamykamy nawias, razy 70, podzielić przez 2. Po wykonaniu obliczeń mamy 12285. Spróbuj teraz analogicznie obliczyć S49. S49 to: w nawiasie a1 dodać a49, zamykamy nawias, razy 49, podzielić przez 2. Potrzebujemy a49. a49 to 3 dodać, w nawiasie 49 odjąć 1, zamykamy nawias, razy 5, a to daje nam 243. S49 równa się zatem w nawiasie 3 dodać 243, zamykamy nawias, razy 49, podzielić przez 2. Po wykonaniu obliczeń mamy 6027. Suma kolejnych wyrazów od 50. do 70. to S70 odjąć S49, czyli 12285 odjąć 6027, a to jest 6258. Wykonaliśmy nasze zadanie. Dobra robota. Przejdźmy do ostatniego zadania. Suma dziesięciu początkowych wyrazów rosnącego ciągu arytmetycznego jest równa 35. Pierwszy wyraz tego ciągu to 3. Jaki jest 11. wyraz tego ciągu? Zapiszmy wzór na sumę 10 wyrazów, bo ona jest podana w treści zadania. S10 równa się w nawiasie a1 dodać a10, zamykamy nawias, razy 10, podzielić przez 2. Wstawmy do niego informacje z zadania. a1 to 3, a S10 to 35. Otrzymujemy: 35 równa się w nawiasie 3 dodać a10, zamykamy nawias, razy 10, podzielić przez 2. Po skróceniu dwójki i dziesiątki mamy 35 równa się w nawiasie 3 dodać a10, zamykamy nawias, razy 5. Możemy zauważyć, że nawias jest równy 7, bo 7 razy 5 to 35, a stąd widać, że a10 równa się 4. Aby obliczyć 11. wyraz, musimy znać różnicę ciągu. Obliczmy ją ze wzoru ogólnego. an równa się a1 dodać w nawiasie n minus 1, zamykamy nawias, razy r. Wiemy, że a10 to 4. Wstawiając do wzoru ogólnego liczbę 10 w miejsce litery n otrzymamy a10 równa się a1 dodać w nawiasie 10 odjąć 1, zamykamy nawias, razy r. a10 to 4, a1 to 3. Otrzymujemy 4 równa się 3 plus 9r. Stąd r to jedna dziewiąta. Wyraz 11. jest większy od wyrazu 10. o 1/9, czyli a11 równa się 4 dodać 1/9, a to daje nam 4 całe i 1/9. Mamy odpowiedź na nasze pytanie. 11. wyraz tego ciągu to 4 i 1/9. Wykonaliśmy wszystkie zadania. Gratulacje! Aby policzyć sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, możesz wyznaczyć te wyrazy ze wzoru ogólnego i dodać je do siebie, albo zastosować wzór na sumę wyrazów w ciągu arytmetycznym. Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji z tego działu oraz do polubienia naszej strony na Facebooku.